2024-2025学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.若分式3x−5有意义，则x满足的条件是(

)A.x=0 B.x≠0 C.x=5 D.x≠53.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有(

)A.AC=BD B.AB=6，BC=8，AC=10

C.AC⊥BD D.∠1=∠24.正八边形的外角和为(

)A.45° B.135° C.360° D.1080°5.如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案(图中画图部分)，小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为(

)

A.6m2 B.5m2 C.6.祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为(

)A.(3+x)(50+10x)=120 B.(3−x)(50+10x)=120C.(3+x)(50−10x)=120 D.(3−x)(50−10x)=1207.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为(

)A.2.4

B.3

C.4.8

D.48.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则CE的长为(

)A.75B.125

C.145二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.因式分解：x2y−4y=______．10.直线l1：y1=k1x+b与直线l2：y2=k211.如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为______．12.已知α、β是方程x2−2x−1=0的两个根，则α2+2β=

13.如图，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在AB上，∠A=2∠BCD，则CD的长为______．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

(1)解方程：x2−6x+8=0；

(2)解不等式：x−115.(本小题5分)

先化简：(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4，并在−2，−1，0，116.(本小题7分)

为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．

(1)m=______%，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图；

(2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；

(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人(三男一女)中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？17.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AC=BC，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．

(1)作出线段BC的中点F(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；

(2)根据(1)中作图，连接DF.求证：四边形DECF是菱形．

(3)若AB=10，BC=13，求四边形DECF的面积．18.(本小题10分)生活中的数学

沿着黄金海岸线的盐田海滨栈道其美丽的风光吸引很多市民选购自行车用以骑行．信息1某自行车店计划购进A，B两种型号的公路自行车，其中每辆B型公路自行车比每辆A型公路自行车多600元，用5000元购进的A型公路自行车与用8000元购进的B型公路自行车数量相同．信息2A型公路自行车每辆售价为1500元，B型公路自行车每辆售价为2000元．信息3该自行车店计划购进A、B两种型号的公路自行车共50辆，计划最多投入68000元，且B型公路自行车的数量不能低于A型公路自行车的数量．任务1(1)求A，B两种型号公路自行车的进货单价；任务2(2)根据进货要求，自行车店有

______种进货方案；任务3(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？19.(本小题10分)

阅读材料，并解决问题．

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x−35=0为例，构造方法如下：

首先将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x−2=0，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为x2+32x−1=0，即x(______)=1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；

【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为320.(本小题12分)

我们知道平行四边形有很多性质.现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．

【发现与证明】

▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．

结论1：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；

结论2：B′D//AC．

…

(1)请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论)．

【理解与应用】

在▱ABCD中，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D．

(2)如图2，已知∠B=30°，若AB>BC，∠AB′D=15°，则∠ACB=______°；

【探究与拓展】

在▱ABCD中，将△ABC沿AC翻折至△AB′C.连结B′D．

(3)已知∠B=30°，AB=6，翻折后四边形为ACB′D时，如果AB′平分∠CB′D，求BC的值；

(4)已知∠B=30°，AB=6，当△AB′D是直角三角形时，则BC=______．

参考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.A

6.B

7.A

8.C

9.y(x−2)(x+2)

10.x>2

11.46°

12.5

13.1214.解：(1)(x−4)(x−2)=0，

x−4=0或x−2=0，

所以x1=4，x2=2；

(2)去分母，得x−1<3(x−2)，

去括号，得x−1<3x−6，

移项，得x−3x<−6+1，

合并同类项，得−2x<−5，

系数化为115.解：(1−1x+2)÷x2+2x+1x2−4

=x+2−1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2

=x+1x+2⋅(x+2)(x−2)(x+1)2

=x−216.解：(1)20；50；

如图所示；50×20%=10(人)．

(2)360；

(3)列表如下：男1男2男3女男1男2，男1男3，男1女，男1男2男1，男2男3，男2女，男2男3男1，男3男2，男3女，男3女男1，女男2，女男3，女∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．

∴抽到一男一女的概率P=61217.(1)解：如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点F，

则点F即为所求．

(2)证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

∴DF=12AC=CE，DE=12BC=CF，

∵AC=BC，

∴DF=CE=DE=CF，

∴四边形DECF是菱形．

(3)解：连接EF，

∵四边形DECF是菱形，

∴CD⊥EF．

∵E，F分别是AC，BC的中点，

∴EF=12AB=12×10=5．

∵AC=BC，

∴△ABC为等腰三角形，

∵点D是AB的中点，

∴BD=12AB=518.(1)设A种型号公路自行车的进货单价是x元，则B种型号公路自行车的进货单价是(x+600)元，

根据题意得：5000x=8000x+600，

解得x=1000，

经检验，x=1000是原方程的解，

∴x+600=1000+600=1600，

答：A种型号公路自行车的进货单价是1000元，B种型号公路自行车的进货单价是1600元；

(2)6；

(3)设该商店利润为W元，

根据题意得：W=(1500−1000)m+(2000−1600)(50−m)=100m+20000，

∵100>0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m=25时，W有最大值，

W最大=100×25+20000=22500，

答：该商店购进A型公路自行车25辆，B型公路自行车25辆能获得最大利润，此时最大利润是22500元．

19.【理解应用】②；

【类比迁移】x+32，(x+x+32)2=4×1+(20.(1)证明：如图：

由翻折得∠ACB=∠ACB′，

∵▱ABCD，

∴AD//BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∴∠CAD=∠ACB′，

∴EA=EC．

∴△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形△EAC是等腰三角形．

∴结论1成立．

由翻折得CB=CB′，

∵▱ABCD，

∴BC=AD，

∴CB′=AD，

∴CB′−EC=AD−AE，

∴EB′=ED，

又∠AEC=∠DEB′，

∴等腰△EAC和等腰△EDB′的顶角相等，

∴底角∠EAC=∠EDB′，

∴结论2：B′D//AC．

∴结论2成立．

(2)解：由(1)得EA=EC，ED=EB′．

由翻折得∠AB′C=∠B=30°，

∴∠EDB′=∠AB′D=15°，

∴∠ECA=∠EAC=15°，

由翻折得∠BAC=∠CAE=15°，

∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=95°．

故答案为：95°．

(3)解：如图：延长BC交AB′于H．

由(1)得MA=MC，MD=MB′，

∴∠MAC=∠MCA，∠MB′D=∠MDB′，

由翻折得∠AB′C=∠ABC=30°，

∵AB′平分∠CB′D，

∴∠AB′D=∠AB′C=30°，

∴∠MB′D=∠MDB′=30°，

∴∠AMD=∠MB′D+∠MDB′=60°，

∴∠MAC+∠MCA=∠AMD=60°，

∴∠MAC=∠MCA=30°，

∴由翻折得∠BAC=∠B′AC=30°，

∴∠AHB=180°−∠ABC−∠BAC−∠B′AC=90°，

∴AH=12AB=3，

∴BH=3AH=33，

∵∠CAH=30°，

∴CH=AH3=3，

∴BC=BH−CH=23．

(4)解：当∠DAB′=90°时，如图①：

由翻折得AB′=AB=6，∠CB′A=∠B=30°，

∴AE