2024-2025学年湖北省襄阳五中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省襄阳五中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若(1+i)z=2−i，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(1,0,2)，b=(−2,1,−2)，c=(0,1,λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ=A.1 B.2 C.3 D.43.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=πA.0

B.32

C.124.有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，A3表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，A4表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7A.A1与A3为相互独立事件 B.A2与A4为互斥事件

C.A2与A4为相互独立事件5.构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：sin27°+sinA.12 B.13 C.146.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且AP=14AC+λAB，若|A.−76B.76

C.−7.已知在钝角△ABC中，B是钝角，3a=2bsinA,a+c=1，点D是边AC上一点，且AC=2CD，则BD的最小值为(

)A.12 B.13 C.148.排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权.甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为13，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为12.则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为A.1736 B.3136 C.3172二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.从某校随机抽取30名学生参加某项知识测试，得分(十分制)如图所示，则下列选项错误的是(

)A.这30名学生测试得分的中位数为6 B.这30名学生测试得分的众数与中位数相等

C.这30名学生测试得分的极差为8 D.这30名学生测试得分的平均数比中位数大10.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件B=“两个球中至多一个黑球”，事件C=“两个球均为白球”，则(

)A.P(A)=35 B.P(A+C)=910 C.11.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点P是BC中点，点Q在CDA.λ=12时，PQ//平面AB1D1

B.λ=12时，平面PQC1//平面AB1D1

C.任意A∈[0,1]，三棱锥P−A1B1Q的体积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，若点B关于平面yOz的对称点为C，则A，C两点间的距离为______．13.抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为______．14.如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=3，BD⊥BC，BC=3BD，若∠BAD=23π，则四边形ABCD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA．

(1)求C的大小；

16.(本小题15分)

近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有100个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．

(1)应抽取小吃类商家多少家？

(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率直方图如图②所示．

(i)估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；

(ii)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．17.(本小题15分)

如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．

(1)当PB=2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；

(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．18.(本小题17分)

目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合”，韩国的“肉丁组合”，中国的“凤凰组合”.据统计，每场比赛“雅思组合”战胜“肉丁组合”的概率为p，“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的概率为q(p>q)，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛(参加比赛的组合均能相遇一次)，“雅思组合”，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为310，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为1120．

(1)求p和q的值；

(2)三个组合参加双循环赛(参加比赛的组合均能相遇两次)，求“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率．19.(本小题17分)

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为2π3，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB=AC．

(1)证明：CN⊥平面ABB1A1；

(2)若AA1=2

参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.C

7.C

8.C

9.ABC

10.AB

11.ACD

12.4113.71214.94+215.解：(1)利用正弦定理得b2+c2−a2ab=2sinB−sinAsinA=2b−aa，

∴ab=b2+a2−c2，

∴cosC=b2+a2−c22ab=12，

∵C∈(0,π)，

∴C=π3．

16.解：(1)根据分层抽样知：

应抽取小吃类80×(1−30%−15%−10%−5%−5%)=28家，

∴应抽取小吃类28家；

(2)(i)根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1，

解得a=0.004，

设75百分位数为x，∵(0.002+0.004+0.006)×50=0.6，

∴(x−450)×0.004+0.6=0.75，

解得x=487.5，

∴该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元；

(ii)∵(500−48050×0.004+0.002+0.002)×50×100=28，

∴估计该直播平台“优秀商家”的个数为17.解：(1)以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

点P在线段AB上，点Q在线段DC上．

由题意知点A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(1,1,1)，

当PB=2AP时，P(1,13,23)，M(−1,13,−23)，

∴|PM|=(1+1)2+(13−13)2+(23+23)2=21318.(1)解：设事件A=“雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”，

B=“雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”，

由于每场比赛结果互不影响，所以P(A)=pq，

P(B)=p(1−q)+(1−p)q，

由题意可得pq=310p(1−q)+q(1−p)=1120，解得p=34q=25或p=25q=34，

因为p>q，所以p=34,q=25；

(2)设事件Ci=“‘雅思组合’胜‘肉丁组合’i场”，

事件Di=“‘凤凰组合’胜‘肉丁组合’i场”，i=0，1，2，

事件E=“‘雅思组合’比‘凤凰组合’19.解：(1)证明：因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC，AB⊂平面ABC，

所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，

所以点A的曲率为2π−2×π2−∠BAC=2π3，得∠BAC=π3，

因为AB=AC，所以△ABC为等边三角形，

因为N为AB的中点，

所以CN⊥AB，因为AA1⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，

所以AA1⊥CN，

因为AA1∩AB=A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，

所以CN⊥平面ABB1A1