2024-2025学年河南省郑州市中牟第一高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州市中牟第一高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,−1,3),b=(−4,2,x)，且a/​/b，则A.103 B.−103 C.62.若{a,b,c}A.a B.a+2b C.a+23.已知三棱锥P−ABC，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=a，PB=b，PC=c，用a,A.12(a+b−c) 4.三棱锥O−ABC中，点P∈面ABC，且OP=12OA+kA.−12 B.12 C.15.已知点Pn(1,2,3)是法向量为n=(1,1,1)的平面ABC内的一点，则下列各点中，不在平面ABC内的是A.(3,2,1) B.(−2,5,4) C.(−3,4,5) D.(2,−4,8)6.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是AA.155 B.105 C.7.如图，已知二面角α−l−β的大小为60°，A∈α，B∈β，C，D∈l，AC⊥l，BD⊥l且AC=BD=3，CD=5，则AB=(

)A.34B.6C.2138.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都是1，M是BC的中点，CN=λA.12

B.13

C.14二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量m=(−1,−1,1)，n=(1,1,−1)分别为平面α，β的法向量，c=(1,0,1)为直线l的方向向量，且l⊄β，则A.m⊥β B.1//β C.1⊥α D.10.若平面α，β的法向量分别是n1=(3,−4,2)，n2=(−2,0,3)，直线l的方向向量为a=(2,0,−3)，直线m的方向向量为A.α⊥β B.l//α

C.l与m为相交直线 D.a在b上的投影向量为(0,11.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1=C1A.13

B.45

C.23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系中，已知三点A(3,2,−1)，B(2,1,2)，C(3,1,−1)，则点C到直线AB的距离为______．13.在空间直角坐标系Oxyz中，若点P(a,b,2a)关于平面xOz对称的点为Q(2−a,−b,b+5)，则点P的坐标为______．14.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A(1,0,2)，B(0,2,1)，点C，D分别在x轴，y轴上，且AD⊥BC，那么|CD|的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设AB=a，AC=b，AD=c．

(1)用a，b，c分别表示向量DM，CN；

(2)求异面直线16.(本小题15分)

已知正三棱柱ABC−A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．17.(本小题15分)

在三棱锥P−ABC中，PC=AB=AC=22BC=1，PC⊥平面ABC，点M是棱PA上的动点，点N是棱BC上的动点，且PM=CN=x(0<x<2)．

(1)当x=22时，求证：18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE//平面PAD；

(2)平面PCD⊥平面PAD．19.(本小题17分)

如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中PO是圆锥的高，AB是圆锥底面的一条直径，PO=2，OA=1，C是AB的中点．

(1)求直线BC与PA所成角的余弦值；

(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.B

6.A

7.A

8.C

9.AB

10.AD

11.BD

12.11013.(1,−3,2)

14.215.解：如图，∵M为棱BC的中点，AB=a.AC=b,AD=c，

∴DM=12(DB+DC)=12[(AB−AD)+(AC−AD)]=12(a+b−2c)，

又N为棱AB的中点，∴CN16.解：(Ⅰ)设正三棱柱的侧棱长为ℎ，

由题意得

A(0,−1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,−1,ℎ)，B1(3,0,ℎ)，C1(0,1,ℎ)．

AB1=(3,1,ℎ),BC1=(−3,1,ℎ)，

AB117.证明：(1)在平面ABC内过点C作CD⊥AC，使得点D与点B在AC同侧，

∵PC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PC⊥AC，PC⊥CD，则PC，AC，CD两两互相垂直．

以C为坐标原点，CA,CD,CP正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)；

由AB=AC=22BC得，AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∴B(1,1,0)；

同理可得：△APC为等腰直角三角形，

当x=22时，AM=12AP,CN=12CB，∴M，N分别是AP，CB中点，

∴M(12,0,12),N(12,12,0)，∴MN=(0,12,−12),CA=(1,0,0)，

∴MN⋅CA=0×1+12×0+(−12)×0=0，∴MN⊥AC；

(2)由(1)可得：A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，△ABC，△APC为等腰直角三角形，

∴M(22x,0,1−22x),N(22x,22x,0)，

则M18.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，

又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，

依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则BE=(0,1,1)，

所以AB=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，

又BE⋅AB=(0,1,1)⋅(1,0,0)=0，所以BE⊥AB，

又BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．

(2)由(1)知平面PAD的法向量AB=(1,0,0)，PD=(0,2,−2)，DC=(2,0,0)，

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅PD=0n⋅DC=0，即2y−2z=02x=0，令y=1，可得z=119.解：(1)以O为原点，OC,OB,OP的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，B(0,1,0)，P(0,0,2)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,−1,−2)，BC