2023年九年级中考数学一轮练习 特殊平行四边形2 (三)(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习一一点、直线、圆的位置关

系2（解答题部分）

一、解答题（本大题共22小题）

L（辽宁省大连市2022年）AB是的直径，。是8上一点，BC,垂足为。，

过点A作：。的切线，与。0的廷长线相交于点E.

图1图2

（1）如图1,求证NB=NE；

（2）如图2,连接AO,若。。的半径为2,。£=3,求A0的长.

2.（辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）如图，在中，N4CB=90。，，。£石厂的顶

点O,D在斜边4B上，顶点E,产分别在边BC,AC上，以点O为圆心，Q4长为半径

的。恰好经过点。和点£

（1）求证：BC与相切；

3

（2）若sinNB4C=w，CE=6,求）的长.

3.（江苏省扬州市2022年）如图，AB为O。的弦，0c_L04交48于点P,交过点B的

直线于点C,且C8=CP.

（1）试判断直线3c与O的位置关系，并说明理由;

⑵若sinA=4^,OA=8,求CB的长.

4.(湖北省荆州市2022年)如图1,在矩形A8CO中，AB=4,AZ)=3,点O是边AB

上一个动点(不与点4重合)，连接。。，将404。沿0。折叠，得到△OEO；再以

。为圆心，0A的长为半径作半圆，交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于凡

连接EG,设OA=x.

(1)求证：OE是半圆。的切线；

(2)当点E落在B。上时，求x的值；

(3)当点E落在8。下方时，设AAGE与户8面积的比值为y,确定y与x之间的函

数关系式；

(4)直接与中：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围.

5.(湖北省恩施州2022年)如图，尸为。。外一点，PA,P8为。。的切线，切点分别

为A、B,直线PO交。。于点0、E,交A8于点C.

(1)求证：ZADE=ZPAE.

(2)若NAOE=30。，求证：AE=PE.

(3)若尸E=4,CD=6,求CE的长.

6.(湖南省湘潭市2022年)已知4(3,0)、8(0,4)是平面直角坐标系中两点，连接AB.

(1)如图①，点P在线段A8上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反

比例函数表达式；

(2)如图②，点N是线段08上一点，连接AN,将..AON沿AN翻折，使得点O与线段

AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.

7.(湖南省娄底市2022年)如图，已知8。是的角平分线，点。是斜边A8上的

动点，以点。为圆心，06长为半径的。。经过点。，与。4相交于点E.

(1)判定AC与CO的位置关系，为什么？

3

(2)若BC=3,CD=-,

①求sinNDBC、sinZABC的值；

②试用sinND8c和cosND8c表示sinNA8C,猜测sin"与sina,cosa的关系，并用

a=300给予验证.

8.(湖南省郴州市2022年)如图，在SBC中，AB=AC.以AB为直径的与线段

BC交于点D,过点。作OE_LAC,垂足为E,的延长线与4B的延长线交于点P.

(1)求证：直线尸石是的切线；

(2)若：。的半径为6,/尸=30。，求CE的长.

12.(湖北省十堰市2022年)如图，-ABC中，AB=ACf。为AC上一点，以。。为直

径的二。与AB相切于点石，交5c于点尸，FGLAB,垂足为G.

(1)求证：FG是。的切线；

(2)若8G=1,BF=3t求C户的长.

13.(四川省遂宁市2022年)如图，OO是.A6c的外接圆，点O在8C上，的角

平分线交于点。，连接5Q,CD,过点。作8C的平行线与AC的延长线相交于点

(1)求证：P。是。的切线；

(2)求证：公ABDs,.DCP；

(3)若A4=6,AC=8,求点。到4。的距离.

14.(四川省内江市2022年)如图，AABC内接于。O,AB是。。的直径，。。的切线

PC交84的延长线于点P,OF//BC交AC于点E,交PC于点F,连接4F.

(1)判断直线AF与。0的位置关系并说明理由；

(2)若。。的半径为6,Ar=26，求AC的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

15.(湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市2022年)如图，。是A8C的外接圆，A。是

。的直径，3C与过点A的切线EF平行，BC,AO相交于点G.

D

(1)求证：AB=ACx

(2)若ZX?=5C=16,求AB的长.

16.(四川省南充市2022年)如图，AB为。。的直径，点。是。。上一点，点。是

。。外一点，NBCD=NBAC,连接。。交BC于点E.

(1)求证：。是。。的切线.

4

(2)若CE=OAsinN64C=M，求tanNCEO的值.

17.(四川省眉山市2022年)如图，AB为。。的直径，点。是。。上一点，。与O。相

切于点C,过点8作3D_LDC,连接AC,BC.

D

(1)求证：8C是NA8D的角平分线；

(2)若加＞=3,AB=4,求的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

18.(四川省泸州市2022年)如图，点。在以AB为直径的。上，C0平分/AC8交

于点。，交AB于点E,过点。作0。的切线交CO的延长线于点尸.

c

(1)求证：FD//AB-,

(2)若AC=26，8C=石，求即的长.

19.(2022年四川省乐山市)如图，线段AC为。。的直径，点。、E在。O上，CD=

连结CE交DF于点G.

3

(2)已知。O的半径为6,sinZACE=-,延长AC至点B,使3c=4.求证：8。是。O

的切线.

20.(湖北省鄂州市2022年)如图，AA8c内接于。O,P是。O的直径A5延长线上一

点，ZPC8=ZOAC,过点。作8c的平行线交尸C的延长线于点D.

(1)试判断PC与。O的位置关系，并说明理由；

(2)若尸C=4,tanA=1,求△OC。的面积.

21.(四川省凉山州2022年)如图，已知半径为5的。M经过x轴上一点C,与y轴交

于A、B两点，连接AM、AC,AC平分NOAM,AO+CO=6

(2)求AB的长：

(3)连接并延长交圆M于点D,连接CO,求直线CO的解析式.

22.(湖南省株洲市2022年)如图所示，介他。的顶点A、B在。O上，顶点C在。O

外，边AC与。。相交于点O,ZBAC=45°,连接08、OD,已知O£>〃6c.

(1)求证：直线BC是。。的切线；

(2)若线段。。与线段A8相交于点E,连接80.

①求证：AABZKUDBE；

②若48・8£=6,求。。的半径的长度.

参考答案

1.【答案】(1)见解析

⑵孚

【分析】

(I)证明/。£>3=/。4石=90。，NDOB=ZAOE,即可得出N8=NE；

(2)证明△O£>8:^OAE,求出OO,由勾股定理求出08,由垂径定理求出8C,进

而利用勾股定理求出4C，AD.

(1)

解：•・•ODABC,

：.N88=90。，

VA£是8的切线，

AZQAE=90°,

在AOQB和AO4E中，ZODB=^OAE=90°f/DOB=ZAOE,

：.ZB=NE；

(2)

解：如图，连接AC.

B

A

VOO的半径为2,

，04=08=2,AB=4,

在AO力B和AOAE中，

ZODB=ZOAE=9(rt4DOB：=ZAOEf

/.tsODB:AOAE,

工叽”即空二,

OA0E23

4

・•・OD=-

3f

在RtAQDB中，由勾股定理得:OD2+DB2=OB2,

，DB=>IOB2-OD2=卜2_(gW-

VOD^BC,OD经过G。的圆心，

・•・CD=DB=—,

3

ABC=2DB=—.

3

〈AB是CX>的直径，C是OO上一点,

/.ZACB=90°,

在RtAACB中，由勾股定理得：，4。2+叱2=452,

8

：•AC=ylAB2-BC2

3

在RtAACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,

2后

・•・AD=>JAC2+CD2=

3

2.【答案】(1)见解析

(2)2710

【分析】

(1)连接OE,先证明四边形AOE尸是平行四边形，得到OE〃AC,即可证明

NOEB=NACB=90°,由此即可证明结论；

(2)过点尸作H/A04于点儿先解直角△CE尸求出E尸的长，再证明四边形40E尸

是菱形，得至IJO4,A尸的长，再解直角△4”尸，求出AH,FH,进而求出。“，即可

利用勾股定理求出OF.

(1)

证明：连接0E,

•・•四边形8EF是平行四边形，

:.EF//OD；EF=OD,

*/OA=OD,

：.EF//OD；EF=OA,

，四边形AO瓦'是平行四边形,

:.OE//AC,

：.NOEB=ZACB,

VZACB=90°

ZO£B=90°,

:.OEJ.BC,

*/OE是O。的半径，

・•・6c与CO相切；

(2)

解：过点尸作中入。4于点H,

•・♦四边形AOEF是平行四边形

:.EF//OA.

：.4CFE=NCAB,

3

/.sinZCFE=sin/CAB=|,

在Rt.CEF中,NAC6=90。，

CF

=CE=6,sinZCFE=—,

EF

eCE6s

..sinZCFE3,

5

•・•四边形AO样是平行四边形，且。4=OE,

:.「AO所是菱形，

，AF=AO=EF=\^,

在次AA/T/中，ZA//F=90°,

VAF=10,sinZC4fi=—,

AF

:.FH=AF-sinZCAfi=IOx|=6,

,**AH2=AF2-FH2^

,AH=y]AF2-FH2=V102-62=8*

AOH=AO-AH=10-S=2,

在RhQFH中,NF"。=90。，

•・•OF'OH'FH?,

••OF=ylOH2+FH2=722+62=2710•

3.【答案】（1）相切，证明见详解

(2)6

【分析】

(1)连接。8,根据等腰三角形的性须得出NA=NQ84,NCPB=NCBP,从而求出

NAOC=NO8C=90°,再根据切线的判定得出结论；

(2)分别作交AB于点M,CN工AB交AB于N,根据sinA=*,0A=8求

出OP,AP的长，利用垂径定理求出A8的长，进而求出8P的长，然后在等腰三角形

CP8中求解CB即可.

(1)

证明：连接如图所示：

.CP=CB,OA=OB,

：.ZA=ZOBAfNCPB=NCBP,

♦:ZAPO=4CPB,

ZAPO=^CBP,

QOC±OA,即NAOP=90°,

,\ZA+ZAPO=90°=Z.OBA+NCBP=Z.OBC,

:.OB±BC,

QO8为半径，经过点0,

直线BC与。。的位置关系是相切.

(2)

分别作交AB于点M,CN_L45交AB于N,如图所示:

CP=CB,AOJ-CO,

/.ZA+ZAPO=^PCN+ZCPN,PN=BN,4PCN=4BCN

:.ZA=NPCN=NBCN

sin4=—,OA=8,

5

.AOMOPy/5

二.smA=---------=-----9

OAAP5

"还,AMOP=4,4P=46,

5

32。

AB=2AM

5

.■.PN=BN=-PB=-(AB-AP)=-x_4⑹考

222

sinA=sinNBCN,

CB5

..CB=X/5B/V=>/5X^=6.

4.【答案】(1)见详解

-I

9r23

(3)y=-^--(0<x<9

4x+362

(4)2<XM3或史<x《4

28

【分析】

(1)根据切线的判定定理求解即可；

(2)如图，在RrAOEB,根据勾股定理列方程求解即可；

(3)先证皿求出4£然后证明AAEGs&W尸，根据相似三角形面积比

等于相似比的平方即可求解；

(4)结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围.

(1)

证明：在矩形ABC。中，ZZMB=90°,

△OED是40A。沿0D折叠得到的,

:.NOED=NDAB=90。,^OE±DE,

OE是半圆。的切线；

(2)

解：△OED是A0A。沿0。折叠得到的，

:.DE=AD=XOA=OE=xt

OB=AB-OA=4—x,

在R/ADAB中，DB=VAD2+AB2=732+42=5»

..EB=DB-DE=5-3=2f

在&AOEB中，OE2+EB2=OB2,

.\X2+22=(4-X)2,解得工二］,

(3)

解：在RtADAO中，DO=ylAff+AO2=y/l^+x2=79+x2»

△OED是〉OAO沿。。折叠得到的，

AE.LOD,

.4G是。的直径，

ZAEG=90°,即AEJ.EG,

.OD//EG,^DAO=ZAEG=9(r

ZAOD=ZEGA,

..M)AO^MEG,

,DODA

''AG~~AE'

22

V9+x34_6x

------------=——,AE=----------，

2xAE次寿

;ZAEG=NABC=90°,ZE4G=£BAF,

.-.^AEG^AABF,

DC

3

解：由（2）知，当E在08上时，x=-f

如图，当点E在£>C上时，x=3,

当半圆O经过点。时，半圆。与△BCD的边有两个交点,

连接0C,在mAOBC中，OB=4-x,OC=x,BC=3,

-OB2+BC~=OC2,

.-.（4-X）2+32=X2,解得x=N，

o

2s

，当丁4工《4时，半圆。与△BCO的边有两个交点；

O

3

综上所述，当半圆0与△BCO的边有两个交点时，X的取值范围为：或

5.【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）CE的长为2.

【分析】

(I)连接0A，根据切线的性质得到NO4E+NPAE=90。，根据圆周角定理得到

NOAE+NOAO=90。，据此即可证明NAOE=NPAE；

(2)由(1)得NAOE=NP4E=30。，ZAED=60°,利用三角形外角的性质得到

ZAPE=ZA£D-ZPAE=30°,再根据等角对等边即可证明AE=PEi

(3)证明RtaEACsRi^AOC,RtAOAC^RtAAPC,推出。CxCE=OCxPC,设

CE=x,据此列方程求解即可.

(1)

证明：连接。A,

•••PA为。。的切线,

/.OALPA,即NOA尸=90°,

AZOAE+ZPAE=90Q,

YOE为。。的直径，

ZDA£=90°,即NOAE+N040=90。，

：.ZDAO=ZPAE,

,/OA=OD,

：.ZDAO=ZADE,

:./ADE=/PAE；

(2)

证明：VZADF=30°,

由(1)ADE=7PAF.=30°,Z4ED=900-Z4DE=60°.

JZAPE=ZAED-ZPAE=30°,

/.NAPE=NPAE=30。，

：.AE=PE；

(3)

解：TPA、PB为。。的切线，切点分别为4、B,直线PO交A8于点C.

：.ABLPD,

•••/OAE=90°,NOAP=90°,

，NOAC+NC4E=90。，ZOAC-ZPAC=90Q,

・.・ND4C+NQ=90。，NOAC+NAOG90。，

：.ZCAE=ZD,ZPAC=ZAOC,

ARtAEACSRSADC,RtAOACSRSAPC,

22

：.AC=DCxCE,AC=OCxPCt

即DCxCE=OCxPC,

YYY

设CE=x,则。E=6+x,0E=3+—,OC=3+--x=3--,PC=4+x

222t

Y

A6x=(3-y)(4+x),

整理得：x2+10x-24=0,

解得：x=2(负值已舍).

:.CE的长为2.

6.【答案】(1)丁=詈144

49x

小13

⑵y=一产］

【分析】

(1)根据AB的坐标，可得直线48的解析式，根据题意点P为丁=%与4B的交点，求

得交点P的坐标，即可求解；

(2)设N(0,〃)，0<W<4,根据题意求得人8=5,根据轴对称的性质结合图形求得

BM,MN,BN,在RtABMN中，BN?=+NM?即可求得〃的值，进而待定系数法求

解析式即可求解.

(1)

v4(3,0)>5(0,4)

(3k+b=0

设直线AB的解析式为)，=履+〃，则'彳，

p=4

2

解得3,

b=4

4

则直线AB的解析式为y=x+4,

以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则C=%,

・•・点P为y=x与A8的交点，

12

x=一

解得］7；，

y=7

则喈用,

设点P的反比例函数表达式为)=k%，则内=关144，

144

-•y——；

49x

(2)

设N(0,〃)，0<w<4

将AON沿AN翻折，使得点。与线段AB上的点M重合，

:.ON=OM,OA=AM

A(3,0)、8(0,4)

..OA=3.O5=4

RtZXAOB中，AB=y/AO12*5+BO2=5

..I3M=AB-AM=AB-AO=2tMN=ON=n,BN=4—n

在中，BN2=BM2+NM2

即(4-«)2=22+/J2

解得〃、

则NR,?

设直线AN的解析式为y=M+f

3s+f=0

则《3

f=~

1

s=——

2

解得3

t=-

2

13

，直线AN的解析式为y=--x+|.

7.【答案】(1)相切，原因见解析

(2)®sinZ.DBC=—,sinZ.ABC=；②sin2a=2sinacosa,验证见解析

55

【分析】

(1)连接0。，根据角之间的关系可推断出00/8。，即可求得NO0A的角度，故可

求出圆与边的位置关系为相切；

(2)①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sinNDBC,sinNABC的

值；②先表示出来sinNDBC、cosN08C和sinN4BC的关系，进而猜测sin2a与sina,

cosa的关系，然后将a=30。代入进去加以验证.

(1)

解：连接0。如图所示

B

•••8。为NA3c的角平分线

，ZABD=4CBD

又・・.8过点8、D,设OO半径为r

:.OB=OD=r

：.NODB=NOBD=NCBD

：.OD//BC(内错角相等，两直线平行)

*/ODA.AC

・・・AC与O的位置关系为相切.

(2)

3

@V5C=3,CD=-

2

・•・BD=y/BC2+CD2=—

2

过点D作DFLAB交于一点F,如图所示

：.CD=DF（角平分线的性质定理）

:.BF=BC=3

：.OF=BF・OB=3・r,OF=CD=」

:.0D2=OF2+DF2即?=(3-r):+

VODUBC

：.ZABC=NFOD

DF4

sinZ.ABC=sinZ.FOD=-----

OD5

Js4

..sinNDBC=—,sinN4BC=-

55

@cosZDBC=—=—

BD5

，sinZDBCxcosNDBC=—x—=-

555

/.sinZABC=2sinNDBCxcosNDBC

猜测sin2a=2sinacosa

当a=30。时2a=60。

万

•••sin2a-sin60°=——

2

sina=sin30°=—

2

cosa=cos30°=—

2

，sin2a=2sinacosa=2x,x正=立=sinla

222

sin2a=2sinacosa.

8.【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】

（1）连接A。、OD,根据等腰三角形的性质可证得NC=N2,根据平行线的判定与性

质可证得然后根据切线的判定即可证得结论；

（2）根据含30。角的直角三角形的性质求得C。、CE即可.

（1）

证明：连接A。、OD,记NAB£）=/1,NODB=N2,

VDEA.AC,

，ZCED=90°.

VAB=ACt

:.Z1=ZC.

.：OB=OD,

:.Z1=Z2,

:.NC=N2,

OD//AC,

:.NODE=NCED=90P,

PE±OD,

又•:。。是。。的半径，

工直线PE是。。的切线.

（2）

连接AD,

TAB是直径，

/.ZADB=90°,

:.ADIBC.

又＜AB=ACf

:.CD=-BC

2f

VZP=30°,ZP£4=90°,

/.ZE4£;=60°,

又＜AB=AC,

・・・JABC为等边三角形，

ZC=60\BC=AB=\2,

:.CD=-BC=6

2t

CE

在Rt^COE中，VcosC=—,

CD

CE=CDcos60°=6x—=3.

2

9.【答案】（1）相切，见解析

Q）DE=6

【分析】

（1）先证得：ZODC=ZODE=90°,再证8DEgOBE,得到/OBE=NODE=90°，

即可求出答案；

(2)设半径为「；则：r2+42=(2+r)2,即可求得半径，再在直角三角形CBE中，利用

勾股定理8。2+8炉=。炉，求解即可.

(1)

证明：连接OZ).

•・・Q）为。。切线,

・:20DC=40DE=*）。,

又，：OE//M），

・•・切。=NEOB,ZADO=ZEOD,

且ZWO=NZ）A。，

•••NEOD=NEOB,

在式）DE与△OBE中；

OD=OB

♦：<NEOD=NEOB,

OE=OE

；・aODE^dOBE,

・•・NOBE=NODE=9QP,

工直线BE与。O相切.

(2)

设半径为r；

则：r2+42=(2+r)2,得r=3;

在直角三角形CBE中，BC?+B^=CE?,

(2+3+3)2+DE2=(4+DE)2,解得DE=6

10.【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)tanZOAC=—

4

【分析】

(1)如图，过。作。H1AB于",证明0C=0”,即可得到结论；

(2)证明？4CE2OCD?ODC,再结合？CAE?D4C,从而可得结论;

4"AC1

(3)由相似三角形的性质可得嘤=三二工设=贝iJ4C=2x,AO=4x,而

ACAD2

AD=AE+DE=x+12,从而建立方程求解x,从而可得答案.

(1)

证明：如图，过。作0H1AB于”,

NACB=90。，AO是△ABC的角平分线,

\OC=OH,

。为圆心，。。为半径，

.♦.AB是。。的切线.

(2)

%为;10的直径，

\?DCE90??DCO?OCE,

Q2ACB90??ACE?BCE,

\?DCO?ACE,

vOD=OC.

NODC=NOCD,

\1ACE?ADC,

Q2CAE?DAC,

\YACE尔ADC.

(3)

Ap1

QVACEsVADC,器=j

、AE_AC

就一而一/，

设Af=x,贝ijAC=2x,AO=4x,[fijAD=AE+DE=x+\2t

\4x=x+12,解得x=4,

\AE=4,AC=8,AO=16,

/〜八OC63

••tanNOAC=----=-=-.

AC84

11.【答案】(1)/645=45。，AC=3应

(2)F£)=2&

【分析】

(1)由圆周角定理得NACB=90°,由C为4B的中点，得AC=BC，从而AC=8C,

即可求得NC4B的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；

(2)证明四边形ECFZ)为矩形，FD=CE=^CB,由勾股定理求得8c的长，即可得

出答案.

(1)

VAB为。。的直径，

・..ZACB=90%

由C为AB的中点，得AC=3C，

AAC=BC,得/48C=NC4B,

在心.ABC中,ZABC+NCAB=%。,

・•・ZC4B=45°；

根据勾股定理，有AC2+8C2=AB2,

又AB=6,得2AC?=36,

:.AC=3y/2;

(2)

•・,FD是1)0的切线，

：・0D工FD,即NODF=90。，

♦：0DLCB,垂足为E,

JZCro=90°,CE=-CB,

2

同(1)可得ZAC3=90。，有NFCE=90。，

・•・Z.FCE=ZCED=Z.0DF=90°,

・•・四边形EC4)为矩形，

:・FD=CE,于是fO=《C8,

2

在用二ABC中，由AB=6,AC=2,得CB7AB?-AC2=4①，

AFD=2&.

12.【答案】(1)见解析

【分析】

(1)连接",。尸，设NODF=ZOFD=0,40FC=a,根据已知条件以及直径所对

的圆周角相等，证明。+夕=90。，进而求得=尸。=?，即可证明咫是0。

的切线；

(2)根据已知条件结合(1)的结论可得四边形GE0F是正方形，进而求得。C的长,

根据N8FG=NF£>C=£,sin^=—=—,即可求解.

BFDC

(1)

如图，连接拉氏。尸，

♦：OF=OD,

则NODF=NOFD,

设4)DF=4)FD=0,ZOFC=a,

,OF=OC,

:.Z.OFC=AOCF=a,

・・・oc为oo的直径，

.•"FC=90。，

^DFO+OFC-4DFC-90°，

即a+P=90。，

・・・A8=AC,

."B=ZACB=a,

•;FGLAB,

/GFB=90°-ZB=90°-a=^.

・・•ZD昨ZDFC=90°,

ZDFG=90°-4GFB=90°-/7=a,

.•.ZGFO=GFD+DFO=a+尸=90。,

OF为OO的半径，

是OO的切线；

(2)

如图，连接OE,

QAB是。O的切线，则OE1AB，又。/_L依_LA8,

••四边形GEQF是矩形，

♦：OE=OF,

.・四边形GEO尸是正方形，

GF=OF=-DC,

2

在Rt^G阳中，BG=T,BF=3,

:.FG=dBF2-GB2=26，

DC=4x/2,

由(1)可得NBFG=/FDC=0,

,FGA-AByDF±FC,

cGBFC

sinp=——=——,

BFDC

IFC

亍碰，

解得尸。=逑.

3

13.【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)点。到人。的距离为变

2

【分析】

(1)连接OD,证明0。八8。，则OD1DP,即可得证；

(2)由BC〃DP,ZACB=ZADB,可得NP二NADB，根据四边形ABOC为圆内接四

边形，又NDC尸+NACD=180。，可得ZABD二/DCP,即可证明△ABQs二℃尸；

(3)过点。作0E1的于点E,由△ABQs二℃p,根据相似三角形的性质可求得CP,

证明SB4DSJD4P，继而求得力2E。，在RtVOEQ中，利用勾股定理即可求解.

(1)

证明：连接OD,

TA。平分NMC,

•\BAD=ZDAC,

；・BD二DC.

又・・・8C为直径，

・・・。为BC中点，

：•OBBC.

VBC//DP,

；・0D上DP.

又・・・。。为半径，

工尸。是G>O的切线；

(2)

证明：VBC//DP,

・•・ZACB=AP.

VZACB=ZADB.

；・4二ZADB.

•・•四边形48OC为圆内接四边形，

:.Z4BD+Z4CD=180°.

又：ZDCP+Z4CD=180°,

：•ZABD=NDCP,

・•・AABDSLDCP.

0)

过点。作0E1的于点E,

•・・5C为直径,

/.ZBAC=90°.

VAB=6,4c=8，

•••BC-y]AB2+AC2-10-

又•；BD=DC,

，BD2+DC2=2BD2=BC2,

，BD=DC=54i.

由(2)知△ABDsJXT,

.ABBD

••~~,

DCCP

.fBDDC5025

..C〃=----------=—=一,

AB63

2549

・•.AP=AC+CP=8+—=—.

33

又•；ZADB=ZACB=NP,ZR4D=NQ4P，

•*­LBAD^^DAP^

.ABAD

••----=-----,

ADAP

:.AD2=ABAP=9S,

工AD=7&.

V0E1AD,

・•・ED=-AD=^-.

22

在RtVOED中，OE=4OD2-ED?=

・•.点。到A。的距离为退.

2

14•【答案】(I)直线A/与。。相切.理由见解析

(2)6

(3)186-6兀.

【分析】

(1)连接OC,证明△A。尸会4。0尸(S4S),由全等三角形的判定与性质得出

NOAF=NOCF=90。,由切线的判定可得出结论；

(2)由直角三角形的性质求出NA。尸=30。，可得出AE=3OA=3,则可求出答案；

(3)证明△AOC是等边三角形，求出NAOC=60。，OC=6,由三角形面积公式和扇形

的面积公式可得出答案.

(1)

直线A尸与。O相切.

理由如下：连接。C,

・・•尸。为圆O切线,

ACP_LOC,

AZOCP=90°,

*/OF//BC,

:,Z.AOF=4B,NCOF=NOCB,

VOC=OB,

・・・NOCB=NB,

AZAOF=ZCOFt

•・•在aAOr和△CO尸中，

OA=OC

•/AO尸=NCOF,

OF=OF

:.△AOFW4COF(SAS'),

AZOAF=ZOCF=90°,

•"尸"LOA,

又TOA为圆O的半径，

・・・A尸为圆。的切线；

(2)

,:△AOF9XCOF,

：.ZAOF=ZCOFf

t：OA=OC,

・・・E为AC中点,

即AE=CE=-AC,OE1AC,

2

,:ZOAF=90\OA=6,AF=2>/3f

.・.皿4。尸="=毡=近

OA63

,NAOr=30°,

:.AE=-OA=3,

2

AC=2AE=6；

(3)

•・・AC=OA=6,OC=OA,

••.△AOC是等边三角形，

・・・NAOC=60。，OC=6,

VZOCP=90°,

CP=y/3OC=6x/3,

・•・S/OCP=gOC•CP=；X6X66=185S^=6。瑟6,=,

AOC6;r

，阴影部分的面积=S40cp-S质形AOC=18>/3-6^.

15.【答案】(1)证明见解析

⑵4百

【分析】

(1)由切线的性质和6c〃历可得扪1BC,由垂径定理可得BG=CG,从而得到AO

垂直平分BC,最后利用垂直平分线的性质即可得证；

(2)先利用勾股定理得到8。=86，然后利用两组对应角相等证明△AGBs/SBGO,

从而得到空=49,代入数据计算即可.

BDDG

(1)

证明：•・•直线EF切OO于点A，AD是OO的直径，

工AD1EF，

・•・ADAE=ZDAF=90°,

VBC//EF,

・•・ZDGB=ZDAE=900,

•\AD1BC,

・•・BG;CG,

・•・AQ垂直平分BC,

:.AB=AC：

(2)

如图，连接BD，

由(1)知：ADLBC,BG=CG,

・•・NDGB=ZAGB=90。，

,:DG=BC=16,

・•・BG=-BC=8,

2

在RhDGB中,BD=jBG\DG2=7S2+162=8>/5>

,:AO是OO的直径，

・•・ZABD=90°,

・•・Z4BG+ZZ)BG=90。，

又,：？BDG2DBG90?,

：・ZABG=NBDG,

又丁NDGB=ZAGB=%。

:.AAGBs^BGD,

,ABBG

.・—=—，

BDDG

anAB_S

即演二市

AB=46，

即AB的长为4石.

16.【答案】(1)见解析；

(2)3

【分析】

(I)连接0C,根据圆周角定理得到NAC8=90。，根据OA=OC推出N8CO=NACO,

即可得到NBCZ)+NOC8=90。，由此得到结论；

(2)过点。作OFJ_BC于尸，设8C=4x,则AB=5x,OA=CE=2.5x,BE=\.5x,勾股

opOR

定理求出4C,根据O尸〃AC,得到==2=1,证得O尸为△ABC的中位线，求出

CFOA

OF&EF,即可求出tan/CEO的值.

(1)

JZACB=90°,

ZACO+ZOCB=90°,

'：OA=OC,

・・・NA=/ACO,

•・,NBCD=NBAC,

・・・NBCO=NACO,

，N8CO+NOCB=90。，

・•・OC±CD,

・・・CD是。0的切线.

(2)

解：过点。作。/_LBC于F,

4

♦:CE=OAsin/BAC=-，

，设BC=4x,则AB=5x,OA=CE=2.5xf

BE=BC-CE=1.5xt

VZC=90°,

AC-slAB2-BC~=3x，

•：OA=OB,OF//AC,

.BFOB、

•♦----=-----=1f

CFOA

；.CF=BF=2x,EF=CE-CF=0.5xf

・・・0尸为△ABC的中位线，

OF=—AC=1.5x,

2

17•【答案】(1)见解析

Q)BC=26

⑶c72万-gfT

【分析】

(1)连接OC，先证明OC〃BZ),然后由平行线的性质和等腰三角形的性质，即可证

明结论成立；

(2)证明△ABCS^CB。即可，根据题目中的条件，可以得到NABONC8。，

ZACB=ZDt从而可以得到△ABCS^CB。，即可求出8C的长度；.

(3)先证明△AOC是等边三角形，然后求出扇形A。。和AAOC的面积，即可得到答

案

(1)

证明：连接OC,如图

•••C。与GO相切于点C,

・•・OCLCD

VBD1CD,

：.OC//BD

・•・NOCB=/DBC.

又,：OC=OB,

・•・20CB=20BC，

・,・功BC=ZOBC，

:.BC平分/A8Q.

(2)

解：根据题意，

・・,线段AB是直径,

:.4。3=90。=/£),

VBC平分NABQ，

：.ZABC=ZCBD,

：.QABCS^CBD,

,AB_B£

一而一而‘

VBD=3,AB=4，

:.BC2=3x4=12»

:.BC=2x/3；

(3)

解：作CE_LAO于£如图:

在直角△ABC中，AC=Q『-QEy=2,

・•・A0=AC=C0=2,

•••△AOC是等边三角形，

AZ4OC=60°,0E=\,

:.CE=6

・•・阴影部分的面积为：

XX

S=60£2；_1X2X75=21_75

36023

18.【答案】（1）见解析

【分析】

(1)连接OO,由CO平分NAC8,可知AO=8O，得/4。。=/8。。=90。，由。尸是

切线可知/。。尸=90。=乙4。。，可证结论；

(2)过C作CM_L4B于M,已求出CM、BM.0M的值，再证明△。。/s^MCO,

俎CMOM.

得而二而'代入可"

(1)

证明：连接0。，如图，

•••CO平分NACB,

,AD=»

・・・NAOZ)=N8OO=90。,

YQF是。。的切线，

JZODF=90°

：・/ODF=/BOD,

J.DF//AB.

(2)

解：过。作CM_LA8于M,如图,

•••48是直径，

/.ZACB=90°,

22

・•・A8=VAC+BC=J(2石)2+仍)2=5•

：.-AB>CM=-AC^BC,

22

即L?5・CM1仓必君J5,

22

••・CM=2,

.**BM=ylBC2-CM2=7(\/5)2-22=1，

I3

；・OM=OB-BM=T51=-,

22

VDF//AB,

：.40FD=4C0M,

又VZODF=ZCMO=900,

:ADOFsRMCO,

.CM_0M

'~OD~~FD

3

呜

2

・m—15

8

19.【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】

(1)连接A。，得到N4OF+NFOC=90。，由。5J_4C,得至ljN40尸+ND4尸=90。，再

由CD=DE，可推出NOCE=/FOC,即可证明CG=OG：

(2)要证明8。是。O的切线，只要证明。。_LB。，只要证明8D〃CE,通过计算求

得sin/8=1,即可证明结论.

(1)

证明：连接4。，

TAC为。。的直径，・・・/AOC=90。，则NA。尸+N尸。C=90。,

VDF±4C,AZAFD=90°,则尸+NOAF=90。，

：・NFDC=/DAF,

*.*CD=DE，*,•NDCE=ZDAC,

：.ZDCE=ZFDC,

JCG=DG；

(2)

证明：连接。D，设。。与CE相交于点H,

E

A

OF

•CD=DE»

:.OD±EC,

:。尸_LAC,

AZODF=ZOCH=ZACE,

3

VsinZAC£=-

5

oCFOH4

sinZODF=sinZOCH=~,即---=----=-,

5ODOC5

・・.。尸=旦

5

24

由勾股定理得DF=—,

5

FC=OC-OF