28高中数学新教材课堂导学案（变化率问题、导数概念及几何意义）及答案

课堂导学（5.1变化率问题、导数的概念及其几何意义）【知识点】1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.2.平均变化率的概念：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为，把比值，即叫做函数从到的平均变化率.3.瞬时变化率（导数的物理意义）的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.4.导数的几何意义：函数在处的导数就是在点的斜率，即.这就是导数的几何意义.【典例】例1.（课本P59改编）全红婵在一次跳水中，身体重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，记为，请回答以下问题：（1）全红婵参加的项目是（B）A.女子三米跳板B.女子十米跳台C.男子三米跳板D.男子十米跳台（2）当时，全红婵达到最高，最高时；（3）计算全红婵从起跳到达到最高点的这个时段的平均速度为；（4）计算当，全红婵的平均速度；（5）当时，①在之前或之后任意取一个时刻（且）计算与之间的平均速度；②当无限趋近于0时，无限趋近于定值，即为全红婵在时的瞬时速度.解：（1）当时，，所以身体重心离水面11米，是十米跳台；（2）抛物线的对称轴公式时，；（3）即当时，（米/秒）（4）当时，；（5）①②当无限趋近于0时，无限趋近于定值，即为全红婵在时的瞬时速度.总结：平均速度与瞬时速度的区别与联系1.区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关；2.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.例2.已知函数，回答以下问题（1）当时候，函数的平均变化率为；（2）当时候，函数的平均变化率为；（3）当时，函数的瞬时变化率为.解：（1）；（2）；（3）先算再取极限，当时，导数的定义：对于函数，记，若当无限趋近于0时，无限趋向于一个确定的值，则记这个值为，即.例3.（割线斜率与切线斜率）已知函数，回答以下问题（1）函数在与（且）两点间的割线斜率为；（2）当无限趋近与0是，割线斜率无限趋近于定值，即为在时的切线斜率；（3）当时，函数的切线斜率为.例4.已知函数，求在处的切线方程.【作业】三、练习检测1.函数，当自变量由变化到时，函数的变化率（D）（A）（B）（C）（D）2.若函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为(C)A.-5 B.-3 C.3 D.52.答案：C解析：由题意，得，即，解得.3.曲线在点处的切线方程为(C)A. B.C. D.3.答案：C解析：因为，则曲线在点处的切线斜率，则切线方程为，即为.4.在曲线y＝x2＋1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1＋Δx，2＋Δy），则为（C）A.Δx＋＋2 B.Δx－－2C.Δx＋2 D.2＋Δx－4.【答案】C【解析】∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝（1＋Δx）2＋1－2＝2Δx＋（Δx）2，∴＝2＋Δx。5.（多选）若当时，，则下列结论中正确的是(AD)A.当时，B.当时，C.曲线上点处的切线斜率为-1D.曲线上点处的切线斜率为-25.答案：AD解析：由题意，得曲线上点处的切线斜率为-2，故C错误，D正确；当时，，则当时，，故A正确，B错误.故选AD.6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示。在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，其三者的大小关系是________。6.【答案】3>2>1【解析】∵，，由图象可知：kMA<kAB<kBC，∴3>2>1。解答题7.若一物体运动方程如下（位移：m，时间：s）：求：（1）物体在t∈[3，5]内的平均速度；（2）物体在t＝1时的瞬时速度；（3）物体的初速度v0。【思路分析】（1）求，注意解析式的选择。（2）先求，再求瞬时速度s′（1）。（3）初速度v0为t＝0时的瞬时速度s′（0）。【解析】（1）∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，∴物体在t∈[3，5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24（m/s）。（2）物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率。∵物体在t＝1附近的平均变化率为，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为s′（1）＝＝（3Δt－12）＝－12（m/s），即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s。（3）求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度。∵物体在t＝0附近的平均变化率为，∴物体在t＝0处的瞬时速度为s′（0）＝＝（3Δt－18）＝－18（m/s），即物体的初速度为－18m/s。8.求函数y＝3x2在x＝1处的切线方程.【思路分析】求函数f（x）在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′（x0）。【解析】