第一章 勾股定理 课后作业 2024~2025学年北师大版数学八年级上册

1.1探索勾股定理（第1课时）图1一、基础性作业（必做题，请在20分钟之内完成）图11．三个正方形的面积如图1所示，则的值为A．3B．12 C．9 D．42．下列说法中正确的是（）A．已知a、b、c是三角形的三边长，则aB．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在Rt∆ABC中，若∠C=90D．在Rt∆ABC中，若∠B3．在Rt∆ABC中，斜边AB=3，则4．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为．5．如图2，∆ABC中，AB=AC，是的平分线．已知，，则的长为__________．6．如图3，在∆ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=4．四边形7．如图4，、、是正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于，，大小关系是__________．图图4图3图3图2图58．如图5，在∆ABC中，于点，，，．求与的长．图5二、拓展性作业（选做题）1．如图6是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若，，，的边长分别是5，3，3，2，则最大的正方形的面积为__________．图72．如图7，∆ABC中，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是____________．图7图图73．如图8，在∆ABC中，，，，求∆ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作于，设，用含的代数式表示，则；（2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值；（3）利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．AADBCDBC图8图81.1探索勾股定理（第2课时）一、基础性作业（必做题，请在20分钟内完成）1．已知一直角三角形，三边的平方和为，则斜边长为A． B． C． D．不能确定2．如图1，一棵大树在汶川大地震中于离地面6m处折断倒下，树顶落在离树根8m处，大树在折断之前高为A．8mB．10mC．16mD．18m3．如图2是“赵爽弦图”，、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于A．8 B．6 C．4 D．24．如图3，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为10米，问船向岸边移动了米．图45．如图4是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从处先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走往东拐，仅走就到达了．问、两点之间的距离为________．图4图3图3图2图1图16．如图5，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，求旗杆的高度为（滑轮部分忽略不计）．图图5二、拓展性作业（选做题）1．中，，，边上的高，则的长为_________．图62．如图6，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，求的长．图63．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，所以，即．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在上面的网格中，并标出字母，所表示的线段．1.2一定是直角三角形吗一、基础性作业（必做题，请在20分钟内完成）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是A．6，8，10 B．10，15，20 C．5，12，13 D．7，24，252．下列各组数中，是勾股数的是A．0.3，0.4，0.5 B．32,42,52 C．133．已知的三边长分别为,,,由下列条件不能判断∆ABC是直角三角形的是图1A． B． 图1C． D．4．如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、、在小正方形的格点上，连接，，则．5．一个三角形的三边长之比是，且周长是60，则它的面积是．图26．在中，，，边上的中线，则的图2周长为．7．如图2所示，四边形中，，，，，，该四边形的面积是．8．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图3，在中，，是上的一点，，，．图3（1）判断的形状，并说明理由；图3（2）求线段的长．二、拓展性作业（选做题）1．如图4，直角三角形以、为直角边，为斜边，现向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，若上述四种情况的面积关系满足图形的个数有_____个．图图4图图52．如图5，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角，的顶点均在格点上，则．3．如图6，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当秒时，求的长；图6（2）在运动过程中，能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出的值．图61.3勾股定理的应用一、基础性作业（必做题，请在20分钟之内完成）1．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm2．已知一个三角形工件尺寸如图1所示，则高h的长度为（）A．3 B．4 C． D．53．如图2，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm4．如图3，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm图4图3图2图1图4图3图2图15．我国古代数学作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图4所示，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为．6．为了积极宣传防疫知识，某地政府采用了移动车进行广播．如图5，小明家在一条笔直的公路MN的一侧点A处，且到公路MN的距离AB为600m．若广播车周围1000m以内都能听到广播宣传，则当广播车以250m/min的速度在公路MN上沿MN方向行驶时，在小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传．图5图5二、拓展性作业（选做题）1．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．2．如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．（1）这个梯子底端B离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．3．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由．（2）若“远航”号沿北偏东60°方向航行，经过两个小时后位于F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里．他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由．

第一章勾股定理的复习课一、基础性作业（必做题，请在20分钟之内完成）1．如图1是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割拼接，巧妙地证明了勾股定理这位伟大的数学家是（）杨辉 B．刘徽 C．祖冲之 D．赵爽2．下列说法不正确的是（）A．△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若b2﹣c2＝a2，则△ABC是直角三角形 C．△ABC的三边之比是5：12：13，则△ABC是直角三角形 D．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形3．如图2，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4图2图3图4图1图2图3图4图14．如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB，垂足为H，则CH＝．5．如图4，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，即水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是．6．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN与点D，主梁上有两根拉索分别为AB、AC．（1）若拉索AB⊥AC，AB、BC的长度分别为10米、26米，则拉索AC＝米；（2）若AB、AC的长分别为13米，20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．二、拓展性作业（选做题）1．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022 B．2021C．2020 D．12．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝13km，BC＝12km，AC＝5km，要从C修一条公路CD直达AB．（1）试判断△ABC的形状；（2）求这条公路CD的最短长度．3．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．（1）出发5秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）出发几秒钟时，遥控信号将会开始产生相互干扰？1.1探索勾股定理（第1课时）一、基础性作业1．C；2．C；3．18；4．9或41；5．8；6．20；7．8．解：∵CD⊥AB，，，，，在中，由勾股定理得：BC∴BC=15在中，由勾股定理得：AD2=．答：的长为25，的长为15．二、拓展性作业1．解：∵A，B，C，D的边长分别是5，3，3，2，，，，，∵所有的三角都是直角三角形，，，2．解：作于，由垂线段最短可知，此时最小，由勾股定理得，AB2=，即，解得，，故答案为：．3．解：（1）∵BC＝14，，，故答案为：；（2）∵，，，，解得：；（3）由（2）得：AD2=∴S∆1.1探索勾股定理（第2课时）一、基础性作业1．A；2．C；3．D；4．9；5．136．解：设旗杆高度为，则，，，在中，，即，解得：，即旗杆的高度为17米．故答案为：17．二、拓展性作业1．14或4．2．解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，所以：，解得：，所以，，3．解：（1）梯形的面积为，也利用表示为，，即；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，斜边为5，∵设斜边上的高为，直角三角形的面积为，，（3）∵图形面积为：，边长为，由此可画出的图形为：1.2一定是直角三角形吗一、基础性作业1．B；2．D；3．A；4．45°；5．120；6．36；7．1448．解：（1）是直角三角形，理由如下：∵BE＝12，，，，是直角三角形，且，，是直角三角形；（2）设，∵AB＝AC，，在中，，，，．一、拓展性作业1．4；2．如图，由勾股定理得，，，，，是直角三角形，∵EB＝EC，是等腰直角三角形，由可证，，．3．解：（1）由勾股定理得：AC=当秒时，，所以；（2）能为直角三角形，理由是：分为两种情况：①时，∵S，由勾股定理得：CD=9，所以，②当时，此时点和重合，，的值是4.5或12.51.3勾股定理的应用一、基础性作业1．B；2．B；3．C；4．20；5．（x﹣1）2+52＝x26．解：小明能听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴小明能听到宣传；如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），∴PQ＝1600米，∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），∴他总共能听到6.4分钟的广播．二、拓展性作业1．解：过A作AC⊥OB于C，在Rt△AOC中，由题意得∠COA＝90°﹣60°＝30°，OA＝320，则AC＝AO＝×320＝160＜200，故该城市会受到台风影响；以A为圆心，200km为半径画弧，交OB于D，E，则AD＝AE＝200km，∵AC⊥OB，∴CD＝CE，在Rt△ACD中，CD＝＝＝120（km），∴CE＝120km，∴DE＝240km，∴遭受这次台风影响的时间为：240÷4＝6（小时）．2．解：（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，在直角△ABC中，∠C＝90°，∴BC2+AC2＝AB2，∴米，∴这个梯子底端离墙有7米；（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），在直角△CDE中，∠C＝90°，∴BD2+CE2＝DE2，∴（米），BE＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．3．解：（1）∵OA＝16×1.5＝24，OB＝12×1.5＝18，AB＝30，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠AON＝45°，∴∠BON＝90°﹣45°＝45°，∴“海天”号沿西北方向航行；（2）过点F作FD⊥PE于D，OF＝16×2＝32，∵∠N