基本不等式 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式学习目标1.理解基本不等式的内容及证明．2.能应用基本不等式基本不等式若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.适用范围：a>0,b>0..学..科..网.新课引入求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值一、基本不等式基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推导过程aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:AB是圆O的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=_____,半径AO=_____几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长。注意:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。能否证明不等式：思考：调和平均数平方平均数证明:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数二、利用基本不等式求最值解：利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足(1)a，b必须是正数.（一正）(2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；

在ab为定值时，便可以知道a+b的最小值.（二定）(3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）已知x<0,求函数的最大值x<0，-x>0,-x+≥2,∴x+≤-21-x1x当且仅当-x=,即x=-1时取得最大值-21-x利用基本不等式求最值，首先要满足“一正”例2.求函数

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1解:

∵

x＞-1，∴x+1>0.∴

f(x)=x

+

1x+1

=(x

+1)+

-11x+1=1，≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时，

函数

f(x)

的最小值是

1.x+1=，即

x=0

时，1x+1

练习:1.已知函数求函数的最小值

当x=3是函数有最小值6

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值．当x=6,y=4时,最小值为482.已知x<0，求的最大值.巩固练习3.求x＞-1时，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴=(x

+1)+

-11x+1x

+

1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当

x=0

时,取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

时,1x+1提高练习2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y的最小值是___.181.若

0<x<,求x(1-2x)

的最大值.12解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤

∙[]22x+(1-2x)21218=.

当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即

x=

14∴当

x=时,

函数

x(1-2x)

的最大值是.1418小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知

x，y

都是正数，P，S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅