第十一章 三角形之三条线的性质 讲义2024－2025学年人教版数学八年级上册

三角形之三条线的性质三角形之三条线的性质三角形之三条线的性质常考一：中线平分三角形的面积常考一：中线平分三角形的面积三角形中线平分面积的题型通常具有以下特征：首先要明确中线的定义，即连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。需要利用到三角形的一条中线将对边平分，并且将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质。在解题过程中，可能会需要构造辅助线或者辅助图形，如平行线、高线、相似或全等三角形等，以利用几何性质来证明面积相等。代数运算：在证明过程中可能会涉及到代数运算，比如计算线段的长度、三角形的面积公式（底乘高除以二），或者通过比例关系来证明面积相等。1.如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为．解析：解决这道题，可能乍一看没有思路，其实寻找思路的关键是把题目给的条件全部翻译出来，何为翻译，题目给的条件往往是不能直接用的，总是会绕一个圈子，我们要做的是把题目的条件化到我们需要的上面去，接下来是整个解题步骤解析：解决这道题，可能乍一看没有思路，其实寻找思路的关键是把题目给的条件全部翻译出来，何为翻译，题目给的条件往往是不能直接用的，总是会绕一个圈子，我们要做的是把题目的条件化到我们需要的上面去，接下来是整个解题步骤解：∵AD是△ABC的中线∴点D为线段BC中点则BD=DC又∵△ABD与△ADC都在△ABC中∴他们的高相等则S△ABD＝S△ADC=二分之一×24=12同理∵BE是△ABD的中线∴S△ABE=S△BDE=二分之一×12=6∴在△BDE中，S=二分之一×BD×EF=6则2EF=6EF=3答：EF长为3常考二：中线性质之三角形的周长常考二：中线性质之三角形的周长2.如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（

）解析：求这道题的关键是把每个三角形的周长拆开，拆成三条边长相加，而不能停留在题目本身解析：求这道题的关键是把每个三角形的周长拆开，拆成三条边长相加，而不能停留在题目本身解：∵CM是△ABC中线∴AM=BM（中点性质）又∵C△BCM=C△ACM+3∴BC+CM+BM=AM+MC+AC+3∴BC=AC+3∵BC=8∴AC=BC-3=8-3=5答：AC长为5常考三：三角形高的最值性常考三：三角形高的最值性该类题型的特征是，有一个动点在一条直线上移动，问什么时候该动点与三角形顶点的连线的线段有最小值。首先，这条线段在三角形中一定是一条特殊的线（比如垂线，中线，角平分线），绝不是随随便便一条直线，因为只有具有特殊性质的线我们才能根据所学知识求出来。小学我们学过，垂直距离最短。因此当该线段垂直于对应边的时候会有最小值3．如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是．D’D’解析：求AD的最小值，首先明确当D点运动到D’的时候AD有最小值，则题目转化到求AD解析：求AD的最小值，首先明确当D点运动到D’的时候AD有最小值，则题目转化到求AD’的长度【详解】解：根据题意得：当时，有最小值，中，，于E，，，，，故答案为：．常考四：三角形三边关系常考四：三角形三边关系三角形三边关系主要涉及以下几个方面：①任意两边之和大于第三边。即对于三角形ABC，有a+b>c，a+c>b，b+c>a，其中a、b、c分别是三角形的三边。②任意两边之差小于第三边。即对于三角形ABC，有|a-b|<c，|a-c|<b，|b-c|<a。在直角三角形中，勾股定理描述了三边之间的特殊关系。对于直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方和。即如果c是斜边，a和b是直角边，那么axa+bxb=cxc4．已知的三边长为，，，化简的结果是．解析：这道题涉及两个知识点：绝对值与三角形三边关系。如何去绝对值一直都是难点。去绝对值的前提是确定绝对值里面的数是正数还是负数。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（相反数就是在数字前加一个负号）解析：这道题涉及两个知识点：绝对值与三角形三边关系。如何去绝对值一直都是难点。去绝对值的前提是确定绝对值里面的数是正数还是负数。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（相反数就是在数字前加一个负号）如|5|=5，而|-5|=-(-5)=5解：∵根据三角形三边关系a+b>c∴a+b-c>0（一个比c大的数减去c，结果肯定为正数）同理b-a<c所以b-a-c<0所以|a+b-c|=a+b-c（正数的绝对值是它的本身）|b-a-c|=-（b-a-c）化简得a+b-c+b-a-c=2b-2c常考五：割补法求三角形面积常考五：割补法求三角形面积割补法是一种通过将复杂的图形切割成简单的几何形状，或者将简单的几何形状组合成复杂图形来求解面积的方法。以下是使用割补法求解三角形面积的几种常见方法：利用矩形和直角三角形构造矩形：假设有一个三角形，你可以构造一个矩形，使得这个三角形的面积=矩形面积减去剩下的小直角三角形面积5.如图，求三角形ABC的面积？解析：求面积我们总能很快联想到用三角形面积公式，可是在本题你会发现，无论是求高还是求底都十分复杂和困难，因此，采用割补法是解决本题的最佳方法。解析：求面积我们总能很快联想到用三角形面积公式，可是在本题你会发现，无论是求高还是求底都十分复杂和困难，因此，采用割补法是解决本题的最佳方法。三角形ABC的面积=长方形面积-三个直角三角形的面积练习题练习题1．如图，在中，为中