6.6.3球的表面积和体积课件高一下学期数学北师大版

第六章立体几何初步6.3球的表面积和体积北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题.2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题.基础落实·必备知识全过关知识点一

球的基本性质1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆称为球的

;被不经过球心的平面截得的圆称为球的

.

2.球的切线(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球

,这一交点称为直线与球的

.

(2)过球外一点的所有切线的切线长都

,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.

大圆小圆相切切点相等名师点睛1.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即(其中R为球的半径,a,b,c分别为长方体的长、宽、高).2.球面被两个平行截面所截得的圆的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心.过关自诊判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.(

)(2)球面上的任意三点确定一个平面.(

)(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(

)×√√知识点二

球的表面积与体积公式

条件球的半径为R表面积公式S球面=4πR2体积公式V球=πR3

V球=S球面·R名师点睛1.球的表面是曲面,不能展开为平面图形(即球没有表面展开图),也不能用计算平面图形面积的方法去计算其准确面积;2.用球的表面积公式求得的球的表面积是准确值,而不是近似值,球的体积和表面积公式以后可以证明.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(

)(2)若球的直径为1,则球的体积为

.(

)(3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.(

)(4)若球的半径变为原来的2倍,则球的表面积变为原来的2倍.(

)(5)球的体积是关于球半径的一个函数.(

)×√××√2.若球的体积与其表面积数值相等,球的半径为定值吗?提示

是定值,说明如下:设球的半径为R,则4πR2=πR3,解得R=3.3.已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为2,则该球的表面积为

.

64π解析

因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径,重难探究·能力素养全提升探究点一球的表面积与体积【例1】

(1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)已知球的体积为,求它的表面积.规律方法

1.球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题.2.球的表面积之比是半径比的平方,球的体积之比是半径比的立方.变式训练1若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的

倍,表面积变为原来的

倍.

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探究点二球的截面【例2】

在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.规律方法

1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(

)A解析

利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm),设球的半径为R

cm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,解得R=5,探究点三与球有关的切、接问题【例3】

一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:(1)圆锥的侧面积;(2)圆锥内切球的体积.解

(1)如图所示,作出轴截面,则等腰三角形SAB外接圆O,而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R,则有

πR3=972π,∴R3=729,R=9,∴SE=2R=18.∵SD=16,∴ED=2.∵SE是直径,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,AD2=SD×DE=16×2=32,规律方法

1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等.2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.变式训练3若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为(

)A解析

∵球的半径为1,且正方体内接于球,∴球的直径即为正方体的对角线,即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2=,∴正方体的表面积为6a2=6×=8.本节要点归纳1.知识清单:(1)球的截面及性质;(2)与球有关的切、接问题;(3)球的表面积与体积.2.方法归纳:转化与化归,数形结合.3.常见误区:(1)不能定量地分析球的半径变化引起的表面积和体积的变化程度;(2)与球有关的切、接问题中关键要素及其数量关系容易把握不清.成果验收·课堂达标检测12341.一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(

)A解析

设圆柱的底面半径为r,则其高为2r,所以圆柱的表面积S1=2πr×2r+πr2+πr2=6πr2.设球O的半径为R,则其表面积S2=4πR2.12342.(多选)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(

)BD12343.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(

)C12344.如图,边长为2的正方形ABCD中,以B为圆心的圆与AB,BC分别交于点E,F,若tan∠CDF=,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于

.

6π

1234解析

在Rt△DCF中,DC=2,CF=DCtan∠CDF=2×=1