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文档简介

椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的综合运用1.直线与曲线的综合问题,经常要借助于一元二次方程根与系数的关系来解决弦长、弦中点、弦斜率等问题.2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用.3.求直线与椭圆相交时的弦长通常有两种方法:(1)求直线与椭圆的交点,然后利用两点间距离公式求弦长,此方法仅当直线方程和椭圆方程相对简单且易得交点坐标时使用,一般情况下并不采用此法.(2)将直线方程与椭圆方程联立,得到关于x(或y)的一元二次方程,然后运用根与系数的关系,再求弦长,此方法不必求直线与椭圆的交点,是求弦长的常用方法.4.有关椭圆的中点弦问题,通常采用“点差法”求解,通过“点差”易得弦所在直线的斜率与弦中点坐标间的关系.探究点一

直线与椭圆的位置关系

C

[1,5)

[素养小结]判断直线与椭圆的位置关系时,由直线方程与椭圆方程构成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离.

探究点二

弦长及中点弦问题

2x+4y-3=0(2)已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,则直线被椭圆截得的弦最长时,直线的方程是

.

y=x

探究点三

与椭圆有关的最值、范围与证明问题

2.解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种:①利用定义转化为几何问题处理;②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理;③利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;④利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值问题来求解.

1.直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.

2.解决与椭圆有关的中点、弦长问题的方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解.(2)点差法:利用交点在椭圆上,交点坐标满足椭圆方程,将两交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出弦中点坐标和弦所在直线的斜率的关系.具体步骤如下:

3.对于探索性问题,先假设存在满足题意的元素,然后以此为基础推证满足条件的结论.若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设结论成立,再推出条件.

B

B3.已知一条直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A,B两点,弦AB的中点为M(1,1),则直线AB的方程为 (

)A.4x+9y-13=

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