1.2.1空间中的点直线与空间向量课件高二上学期数学人教B版选择性2

第一章空间向量与立体几何空间中的点、直线与空间向量人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.会利用空间直线上的点求直线的方向向量;2.能用直线的方向向量求空间两直线所成的角.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1点的位置向量、直线的方向向量点的位置向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量

唯一确定,此时,

通常称为点P的位置向量直线的方向向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l过关自诊[北师大版教材习题]已知点A(1,2,1),B(0,1,3),(点O为坐标原点),求点C的坐标,并写出直线BC的一个方向向量的坐标.所以直线BC的一个方向向量的坐标为(1,2,1).知识点2空间中两条直线所成的角设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特别地,sinθ=

,cosθ=

;l1⊥l2⇔<v1,v2>=

⇔v1·v2=0.

过关自诊已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k=

.

sin<v1,v2>

|cos<v1,v2>|-2或-1

解析

∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.重难探究·能力素养全提升探究点一利用向量法求解直线的位置关系角度1.判定直线的位置关系【例1】

(1)[2023江苏高二课时练习]已知直线l的方向向量为a=(2,1,3),且直线l经过点A(0,y,6)和点B(-2,-4,z),则y=

,z=

.

-33(2)设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系:①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0).

规律方法

解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R)(1)如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);(2)如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.变式训练1[北师大版教材例题]在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,角度2.证明线线垂直问题【例2】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.证明

由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐规律方法

证明两直线垂直的基本步骤

对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的合理性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.变式训练2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC1.求证:AB1⊥MN.证明

设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.探究点二异面直线所成的角【例3】

如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.规律方法

1.求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘;2.运用向量法常用两种途径(1)基底法在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量;(2)坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出各相关点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为(

)A解析

建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则

成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111.[探究点一(角度1)]已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ等于(

)A.1 B.2

C.3

D.4B12345678910112.[探究点二]空间中异面直线a与b所成角的取值范围是(

)C解析

根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是

12345678910113.[探究点一·2023陕西宝鸡高二期末]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是(

)A.异面但不垂直 B.平行C.异面垂直

D.垂直且相交B12345678910114.[探究点一·2023湖北丹江口高二阶段练习](多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是(

)ABD故选ABD.12345678910115.[探究点二]如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值.1234567891011解

以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,1234567891011B级关键能力提升练6.(多选题)已知空间中四点A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4).下列说法中,正确的有(

)C.A,B,C三点共线

D.A,B,C,D四点共面

ABD12345678910117.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)B解析

∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=1,∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos

60°1234567891011以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,CC1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为0.故选B.12345678910118.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角是

.

12345678910119.

如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是

.

②③④解析

还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN为垂直.123456789101110.

如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.1234567891011证明

如图,连接OP