3探索与表达规律（第1课时图形中的规律探究）

第三章整式及其加减3探索与表达规律第1课时图形中的规律探究练点与图形有关的规律1.

[2023·重庆]用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，

其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木

棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木

棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数

是(

B

)A.39B.44C.49D.541234567891011【点拨】由图可得，第①个图案有4＋5＝9(根)木棍，第②个图案有4＋5×2＝14(根)木棍，第③个图案有4＋5×3＝19(根)木棍，…，所以第

个图案有(4＋5n)根木棍，所以第⑧个图案有4＋5×8＝44(根)木棍.B【答案】12345678910112.

[2024·德州乐陵市期末]如图所示，下列图形都是由相同的

玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个

图形中有120朵玫瑰花，则n的值为(

C

)A.28B.29C.30D.31C【点拨】由图可得，第n个图形中有4n朵玫瑰花，令4n＝

120，得n＝30.12345678910113.

[母题教材P128随堂练习T2]如图是由同样大小的黑棋子

按一定规律摆出的图案，图①中有4枚黑棋子，图②中有9

枚黑棋子，图③中有14枚黑棋子，…，依此规律，第n个

图中有

枚黑棋子.(用含n的代数式表示)(5n－1)

12345678910114.

[2023·山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相

同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中

有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案

中有10个白色圆片，…，依此规律，第n个图案中

有

个白色圆片.(用含n的代数式表示)2(n＋1)

1234567891011【点拨】第1个图案中有2×2＝4(个)白色圆片，第2个图案中有2×3＝6(个)白色圆片，第3个图案中有2×4＝8(个)白色圆片，第4个图案中有2×5＝10(个)白色圆片，…，第n个图案中有2(n＋1)个白色圆片.1234567891011纠易错找图形变化规律时易忽视图形重叠部分而导致重

复计算5.

将灰、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成

若干个图案.(1)第4个图案中有白色地砖

块；18

1234567891011(2)第n个图案中有白色地砖

块(用含n的代数

式表示).【点拨】第1个图案中白色地砖的块数为4×1＋2＝6；第2个图案中白色地砖的块数为4×2＋2＝10；第3个图案中白色地砖的块数为4×3＋2＝14；第4个图案中白色地砖的块数为4×4＋2＝18；…；第n个图案中白色地砖的块数为4n＋2.(4n＋2)

12345678910116.

[2024·济宁兖州区期末]找出如图所示的图形的变化规律，

则第2

024个图形中黑色正方形的数量是(

C

)A.2

024个B.3

035个C.3

036个D.2

023个1234567891011

【点拨】C【答案】12345678910117.

[2024·日照岚山区期末]如图，将图①中的正方形剪开得到

图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开

得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形

剪开得到图④，图④中共有10个正方形；…；如此下去，

则第2

024个图形中共有正方形的个数为(

C

)A.6

066B.6

068C.6

070D.6

0721234567891011【点拨】由所给图形可知，图①中正方形的个数为1＝1×3－2；图②中正方形的个数为4＝2×3－2；图③中正方形的个数为7＝3×3－2；图④中正方形的个数为10＝4×3－2；…，1234567891011依此类推，第n个图形中正方形的个数为3n－2，当n＝2

024时，3n－2＝3×2

024－2＝6

070，即第2

024个图形中正方形的个数为6

070.C【答案】12345678910118.

[2024·济南期末]如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成

各种形状来研究数.例如：称图中的数1，5，12，22，…

为五边形数，则第7个五边形数是(

B

)A.62B.70C.84D.1081234567891011【点拨】由图可知，第1个五边形数为1，第2个五边形数为1＋4＝5，第3个五边形数为1＋4＋7＝12，第4个五边形数为1＋4＋7＋10＝22，观察规律，可得第5个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＝

35，1234567891011第6个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＋16＝51，第7个五边形数为1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＝70.【答案】B12345678910119.

[2024·淄博淄川区期末]如图是一组有规律的图案，它们是

由正五角星和圆形镶嵌而成，第1个图案有6个圆形，第2

个图案有11个圆形，第3个图案有16个圆形，…，依此规

律，第n个图案有

个圆形(用含n的代数式表

示).(5n＋1)

1234567891011【点拨】第1个图案有5＋1＝6(个)圆形，第2个图案有2×5＋1＝11(个)圆形，第3个图案有3×5＋1＝16(个)圆形，…，则第n个图案有(5n＋1)个圆形.123456789101110.

在求1＋2＋3＋…＋100的值时，发现：1＋100＝101，2

＋99＝101，…，从而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50

＝5

050.按此方法可解决下面问题.图①有1个三角形，

记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图②，有

5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图②中间的小三角

形三边中点得到图③，有9个三角形，记作a3＝9；按此

方法继续下去，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝

⁠

.(结果用含n的代数式表示)2n2－

n

1234567891011【点拨】因为a1＝1；a2＝5＝1＋4＝1＋4×1；a3＝9＝1＋4＋4＝1＋4×2；…，所以an＝1＋4(n－1)＝4n－3.因为1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝5

050，1234567891011所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)

＝2n2－n.123456789101111.

[2024·济南莱芜区期末]小明下五子棋的时候，用棋子按

一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去，请

解决下列问题.(1)摆第5个图案需用

颗棋子.21

1234567891011【点拨】由所给图形可知，摆第1个图案需用的棋子颗数为5＝1×4＋1，摆第2个图案需用的棋子颗数为9＝2×4＋1，摆第3个图案需用的棋子颗数为13＝3×4＋1，…，所以摆第n个图案需用的棋子颗数为4n＋1.1234567891011当n＝5时，4n＋1＝4×5＋1＝21，即摆第5个图案需用的棋子颗数为21.1234567891011(2)按照此规律摆下去，摆第n个图案需要

⁠颗

棋子(用含n