7.3.1复数的三角表示式7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义课件高一下学期数学人教A版

第七章复数复数的三角表示式复数乘、除运算的三角表示及其几何意义人教A版

数学

必修第二册课程标准1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.基础落实·必备知识全过关知识点1

复数的三角表示式1.一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是

;θ是以x轴的非负半轴为始边,_________________

(射线

)为终边的角,叫做复数z=a+bi的

.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,

叫做复数的代数表示式,简称代数形式.

复数z的模

向量

所在射线

OZ辐角

a+bi2.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差

.我们规定在

范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作

,即0≤argz<2π.例如,arg1=

,argi=

,arg(-1)=

,arg(-i)=

.

3.两个非零复数相等当且仅当它们的

与

分别相等.

2π的整数倍

0≤θ<2π

argz0π模

辐角的主值过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数0的辐角一定是0.(

)(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.(

)(3)复数i的辐角可以为-π.(

)2.将下列复数表示为三角形式:(1)-5i;(2)-10;(3)2-2i.××√(2)-10=10(cos

π+isin

π).知识点2

复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=

.

这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的

,积的辐角等于各复数的

.

2.复数乘法的几何意义r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]模的积

辐角的和

逆

θ2

顺|θ2|r2过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)用复数的三角形式进行复数的乘法运算时,两个相乘的复数的辐角必须是辐角的主值.(

)(2)通过复数三角形式乘法法则可知,|z1z2|=|z1||z2|.(

)×√知识点3

复数三角形式除法法则与几何意义1.设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),且z2≠0,则这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于

减去

所得的差.

[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]被除数的辐角

除数的辐角

2.复数除法的几何意义

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√×重难探究·能力素养全提升探究点一复数的三角形式【例1】

将下列复数表示成三角形式.(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)模长r=8,辐角主值arg

8=0,所以8=8(cos

0+isin

0).规律方法

复数的代数形式z=a+bi化为复数三角形式的一般步骤是:(1)求复数的模:(2)由tan

θ=及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可);(3)写出复数的三角形式.变式训练1将下列复数中代数形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代数形式.(1)-1;解

(1)模长r=1,辐角主值arg(-1)=π,∴-1=cos

π+isin

π.探究点二复数三角形式的乘法运算【例2】

计算下列各式:(4)(cos36°+isin36°)5.(2)原式=21(cos

π+isin

π)=-21.(4)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos

180°+isin

180°=-1.规律方法

两个复数三角形式乘法的法则可简记为:模数相乘,辐角相加,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)·…·rn(cos

θn+isin

θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos

θ+isin

θ)]n=rn(cos

nθ+isin

nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.变式训练2计算:(+i)(cos60°+isin60°)=

.

2i探究点三复数三角形式的除法运算【例3】

计算下列各式:(2)9(cos270°+isin270°)÷[cos(-90°)+isin(-90°)].(2)原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos

360°+isin

360°)=9.规律方法

进行两个复数的三角形式除法运算时,将模对应相除当模,用被除数辐角减去除数的辐角当作商的辐角,即可得两个复数的除法结果.变式训练3计算下列各式:探究点四复数三角形式的乘法、除法的几何意义变式训练4本节要点归纳1.知识清单:(1)复数的三角形式.(2)复数三角形式的乘法运算.(3)复数三角形式的除法运算.(4)复数三角形式的乘法、除法运算的几何意义.2.方法归纳:数形结合、三角恒等变换.3.常见误区:复数的辐角与辐角的主值易混淆.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练A.cos60°+isin60° B.-cos60°+isin60°C.cos120°+isin60° D.cos120°+isin120°D123456789101112131415161718B123456789101112131415161718D1234567891011121314151617184.[探究点二]复数cos+isin经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(

)A.3 B.12C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)C1234567891011121314151617185.[探究点二][2(cos60°+isin60°)]3=

.

-8解析

原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos

180°+isin

180°)=-8.1234567891011121314151617181234567891011121314151617187.[探究点一]已知复数z1=-+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为

.

1234567891011121314151617181234567891011121314151617189.[探究点一、三]已知复数z=r(cosθ+isinθ),r≠0,求

的三角形式.123456789101112131415161718B级关键能力提升练B123456789101112131415161718D123456789101112131415161718412345678910111213141516171813.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:12345678910111213141516171812345678910111213141516171814.计算下列各式的值:(2)3(cos63°+isin63°)·2(cos99°+isin99°)·5(cos108°+isin108°).(2)3(cos

63°+isin

63°)·2(cos

99°+isin

99°)·5(cos

108°+isin

108°)=30(cos

270°+isin

270°)=-30i.12345678910111213141516171815.求证:123456789101112131415161718123456789101112131415161718C级学科素养创新练17.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)÷(cosB+isinB)·(cosC+isinC)是一个实数,则△ABC是(

)A.锐角三角形

B.钝角