24.1.4.1圆周角定理及其推论课件人教版数学九年级上册

数学

人教版

九年级上册第二十四章圆

24.1圆的有关性质24.1.4

圆周角第1课时

圆周角定理及其推论目录课后小结随堂练习知识讲解情境导入学习目标13524学习目标1．理解圆周角的概念．2．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．（重点）3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．（难点）情境导入

你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？知识讲解知识点1

圆周角及圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.知识讲解知识点1

圆周角及圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.知识讲解知识点1

圆周角及圆周角定理【例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(

)A．25°B．30°C．35°D．50°知识讲解知识点1

圆周角及圆周角定理【例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(

)解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.知识讲解知识点1

圆周角及圆周角定理【例1】如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于(

)A．25°B．30°C．35°D．50°A知识讲解知识点2

圆周角定理的推论圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.知识讲解知识点2

圆周角定理的推论（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例2】如图，在⊙O中，

，∠A＝30°，则∠B＝(

)A．150°

B．75°C．60°

D．15°知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例2】如图，在⊙O中，

，∠A＝30°，则∠B＝(

)解析：因为

，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例2】如图，在⊙O中，

，∠A＝30°，则∠B＝(

)A．150°

B．75°C．60°

D．15°B知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例3】如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，则BC的长为________．解析：由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，因为∠A＝30°，所以BC＝

AB＝×10＝5cm.

5cm知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.点拨：连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得△ACD为直角三角形，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C都是AB所对的圆周角．知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.知识讲解知识点2

圆周角定理的推论【例4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.∵，∴∠E＝∠C，∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.随堂练习1.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB=

．

166°随堂练习2.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.30°随堂练习3.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(

)A．30°

B．45°C．60°

D．75°解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.C随堂练习4.如图，AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数.解析：连接BC，则∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°，∵∠BAD与∠DCB是同弧所对的圆周角，∴∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.随堂练习5.如图，分别求出图中∠x的大小.

解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.图（1）图（2）随堂练习5.如图，分别求出图中∠x的大小.

(2)连接BF，∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.图（2）随堂练习6.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC，AD，BD的长．解析：连接OD．∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.随堂练习6.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC，AD，BD的长．∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴随堂练习7.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．证明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC，∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.

随堂练习8.船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？解析：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外(即⊙O外)，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.随堂练习9.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.（1）解析:BD=CD．理由是：连接AD，∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.随堂练习9.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.