2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第五章 相交线与平行线压轴专练（解析版）

第五章相交线与平行线（压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一平行线中含一个拐点问题】 1【题型二平行线中含两个拐点问题】 6【题型三平行线中含多个拐点问题】 9【题型四平行线中与平移的综合问题】 13【题型一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，，若，，则∠E=______．【答案】##66度【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练】1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】【详解】如下图所示，过点C作，∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，，∴，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∴，∴在原图中，故答案为：．2．已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：(2)请选择其中一个图形进行说明理由．【详解】（1）解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）∠B+∠F=∠C图（2）∠F-∠B=∠C图（3）∠B-∠F=∠C图（4）∠B+∠F+∠C=360°图（5）∠B-∠F=∠C图（6）∠F-∠B=∠C（2）解：图（1）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；图（2）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【题型二平行线中含两个拐点问题】例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．2．（1）如图①，如果，求证：．（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．【详解】（1）证明：过P作，如图，

∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如图，过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案为：；

（3）过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案为：．

【题型三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线，则的度数为___________°．【答案】360【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案为：360．【变式训练】1.如图：(1)如图1，，若，计算并直接写出的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线变成折线，证明：(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线变成折现．请你写出一条关于、的数量关系（无需证明直接写出）【详解】（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．2．猜想说理：（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若，则度；（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．【详解】解：（1）如图1：，如图2：，如图3：，如图1说明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下图：过F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案为：；（3）如下图：，过E作，过F作，∵，∴，∴，，，∴，即；综上所述：由当平行线AB与CD间没有点的时候，，当A、C之间加一个折点F时，；当A、C之间加二个折点E、F时，则；以此类推，如图5，，当、之间加三个折点时，则；…当、之间加n个折点时，则，即的度数是．【题型四平行线中与平移的综合问题】例题：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，线段AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【详解】解：（1）证明：，．，，．（2）如图，过点D作DF∥AE交AB于点F，则．∵，由平移的性质，得，，．，，，，【变式训练】1．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，将沿的方向平移得到．

(1)若，求的度数；(2)若，求平移的距离．【答案】(1)(2)1cm【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；（2）根据，求出的长，即为平移的距离【详解】（1）解：将沿的方向平移得到，∴；（2）解：∵，∴，即：平移的距离为1cm．【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．2．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期中）如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点的对应点分别点．(1)若，则______．(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平移的定义可知，进而可知；（2）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质解答即可．【详解】（1）解：∵将沿射线的方向平移个单位到的位置，∴，∵，∴，故答案为；（2）解：由平移的性质可知：，，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平移的性质，平移的定义，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．3．（2023下·江西南昌·七年级统考期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．

(1)如图1，当点D与点B重合时．判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）(2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)=(2)或，见解析【分析】（1）根据平移的性质得出结论；（2）根据点D的位置可分为点D在点左边和点在点右边两种情形，利用平行线的性质得出结果．【详解】（1）解：，理由如下：∵三角形是由三角形平移得到，∴，∴；（2）解：根据点D的位置可分为两种情形，①若点D在点左边，如图．

由平移的性质可得：，，，∵，∴，∴．②

若点在点右边，如图：

由平移的性质可得：，，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.4．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．

(1)求的度数；(2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接．①如图2，当时，求的度数；②如图3，当时，求的度数；③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案；（2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案；②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解；③分两种情形：图2，图3分别求解即可．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如图2，过点D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如图3，过点D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如图2，当时，由①知，，，∴；如图3，当时，由②知，，，∴

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．

(1)求证：；(2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．①设，求的度数（用含的代数式表示）；②证明：．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【分析】（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知；（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知．【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应，∴由平移性质知，，∴，，∴；（2）①解：∵由（1）知，∴，∵，∴，∵，，∴，由对称性质知，，∴，∴，∴，∵，，∴；

②证明：过作于，于，并连接，∴由对称性质知，的面积与的面积相等，，∵，，∴，∵，∴，过点作于点，则，∴，

．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2023下·北京海淀·七年级期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；(2)过点C作直线．在直线上取点，使．①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②．【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可；（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和