2022高3统考数学文北师大版1轮教师文档：第4章 含答案

第四章

DISIZHANG

平面向量与复数

第一节平面向量的概念及线性运算

回顾教材-夯实基础课本温故追根求源

授课提示：对应学生用书第75页

［基础梳理］

1.向量的有关概念

(1)向量的定义：既有大小,又有方向的量叫向量,常用。或通表示.

(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的自度叫作向量的模，记作同

或画

(3)几个特殊向量：

点

名萩、\长度(模)方向

零向量0任意

单位向量1任意

相等向量相等相同

相反向量相等相反

平行向量相同或相反

2.向量的加法、减法与数乘

定义法则(或几何意义)运算律

石(1)交换律：

求两个向量和的a~\~b=b~\~ai

加法

运算三角形法则(2)结杳诟(a+b)+c

=a+(b+c)

a

平厅四边形法则

yy

向量。加上向量

减法力的相反向量叫a—b=a-\-(—b)

作。与b的差

三角眩法则

⑴附=1加1;

⑴儿⑷=a“)a；

实数A与向量a(2)当Z>0时，痴与。的方向

数乘(2)(2+〃)a=痴+〃a；

的积的运算相同;

(3)1(。+力)=痴+肪

当％<0时，及与。的方向和

反；

当2=0时，z«=0

3.共线向量定理

向量a(aWO)与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使归国.

4.平面向量基本定理

(1)定理：如果0，62是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的

任意向量〃，有且只有一对实数21,丸2,使。=加£1+22£2.

(2)基底：不共线的向量&叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

5.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基

底，该平面内的任一向量Q可表示成。=看+0,由于。与数对(%,y)是一一对应

的，把有序数对(x,y)叫作向量。的坐标，记作a=Cr,v),其中。在x轴上的坐

标是x,。在y轴上的坐标是y.

6.平面向量的坐标运算

设。=(xi,yi),b=g")，则a+==(xi+x2,y1+y2),a-b

向量的加法、减法

=(XL必w一¥2)

向量的数乘设。=(JGy),贝I]a/)

向量坐标的求法设A(xi,yi),8(x2,"),则AB=(X2—阳，Y2—yI)

7.向量共线的坐标表示

若。=(xi,yi),6=(X2,>2),则a%=xiy2—%2月=0.

一知识拓展提升思维能力

1.与向量。共线的单位向量为端

2.两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则.

3.A,B,。三点共线，。为A,B,C所在直线外任一点，则所=2为+〃历且

2+^=1.

4,若协=振，则4,B,。三点共线.

5.P为线段AB的中点所+两.

6.G为△A3C的重心=6X+GA+G±=()=36=；(次+m+沆)(0是平面内

任意一点).

7.尸为△ABC的外心=|成1=1而1=1的.

8.阿一步|区|。功|W|a|+|b|.

9.若。与。不共线，〃+/而=0,则2=〃=0.

［四基自测］

L(基础点:向量共线与三点共线)已知能=(一m，-5n),BC=(-2mf8〃)，CD

=(3/n,—3w),贝！J()

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,力三点共线D.A,C,。三点不共线

答案：A

2.(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量。=(2,3),6=(3,2),则|a—臼=()

A.A/2B.2

C.5啦D.50

答案：A

3.（基础点：平面向量基本定理）已知△ABC,设。是BC边的中点，用篇与衣表

示向量而，则由）=.

答案：

4.（易错点：向量加减法的几何意义）在平行四边形4BC。中，^\ABA-AD\=\AB

-ADI，则四边形ABCQ的形状为.

答案：矩形

考点分类-深度剖析名，币导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第76页

考点一向量的基本概念

挖掘判断向量有关概念的正确性/自主练透

［例］（1）给出下列五个命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|0|=步|,则。=5；

③在。48co中，一定有油=反；

④若m=〃，n=p,则，，2=p；

⑤若b〃c,则。〃c.

其中不正确的个数是（）

A.2B.3

C.4D.5

［解析］两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不

一定有相同的起点和终点，故①不正确；|。|=|可，但4,方方向不确定，所以明

方不一定相等，故②不正确：③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当力

=0时，Q与C不一定平行，故⑤不正确.

［答案］B

（2）给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③脑=0（2为实数），则义必为零.

④九"为实数，若%=〃儿则。与力共线.

其中错误的命题的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为

实数，故可以比较大小.

③错误.当。=0时，不论2为何值，〃=0.

④错误.当五="=0时，）M=jJb=0f此时，。与8可以是任意向量.

［答案］C

［破题技法］把握向量有关概念的关键点

(1)定义，方向和长度，二者缺一不可.

⑵非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点

无关；非零向量的平行也具有传递性.

⑶相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性.

(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；言是与a同方向的单位

向量.

(5)零向量，方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.

(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量.解题时，不要把它与

函数图像的平移混淆.

考点二共线向量定理及其应用

挖掘1判定点或向量共线/刍主练透

［例1］(1)已知平面内一点P及△48C,若成+而+无=通，则点。与△ABC

的位置关系是()

A.点P在线段AB上

B.点”在线段8c上

C.点P在线段AC上

D.点P在△A3。外部

［解析］由成+两+无=卷知：成+而+无=而一戌，即比?=一2成，故点P

在线段AC上.

［答案］C

(2)已知向量eir0,2ER,a=e\+Xe2,b=2e\t若向量a与向量b共线，则()

A.2=0B.€2=0

C.e\//D.ei〃C2或2=0

［解析］设a=kb,

J2火=1,

.•.61+融2=2履1,.*.1,

，=().

当4=0时,a=e\f；・b=2ei.

a与方共线，

当ei〃e2时，。与b也共线.

［答案］D

［破题技法］两向量共线有两种应用形式：

(1)几何形式:a=劝.

(2)代数形式:a=3,yi),b=g").a//b^>x\y2—xiy\=0,其实质都是等式

关系.故〃〃方等价于存在不全为零的实数为，22,使力。+九26=0成立.

挖掘2应用向量共线求参数/互动探究

［例2］⑴已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|/L藐7一卷一公|

=0且S^\ABC=3S^\ABMf则实数2=.

A

［解析］如图，设。为8C的中点,

则感+屐?=2病，

因为|/L藐/一麴一危|=0,

所以XAM-AB-AC=0f

所以痴初=屈+成:=2历,

AM\2

于是A,M,。三点共线，JL-一阂,

\AD\

1

又SAABC=3SAABM,所以q

、八ABCy

q闰班C-lc口ShARM•2

又因为—八AABC,且。——11,

2S/^ABDH：I

所以.=3X条,解得2=±3.

J2SMBD2|X|

［答案］±3

(2)如图所示，在△ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,

4c于不同的两点M,N,若法=而拓AC=nANt则机+〃的值为()

A.1B.2

C.3D.4

［解析］由。是BC的中点，可得历=；辐+加由题意知

AO^mAM^nAN,因为O,M,N三点共线，

所以5〃+/〃=1,则加+〃=2.

(3)(2018・高考全国卷HI)已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(l,A).若c〃Qa

+3，则2=________.

［解析］20+〃=(4,2),因为。〃(2〃+b),所以力=2,得24

［答案1I

［破题技法］共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具

解题过程中常用到结论：“P.4,8三点共线”等价于“对直线外任意一点

。，总存在非零实数人使9=2昂+（1-#丽成立”.即苏与协的系数和为

1.

［拓展］共线定比例

（1）坐标成比例，即若两向量共线，则它们的坐标对应成比例（假设其中一向量两

坐标均不为零）；

（2）基底分解成比例，即已知方不共线，c=pa+qb,d=ma-\-nb,若。〃d,则

'=，（如?WO）,即pn—mq=O.

—同源异考重在触类旁通

己知4,4,A3为平面上三个不共线的定点，平面上点加满足与后=人（信2+

加3）（2是实数），且示1+/2+而3是单位向量，则这样的点用有（）

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

解析：法一：由题意得，麻|=一〃m2+启3）,MA2=M4I-FA7A2,MA3=MAI

+A/3,・・・示1+麻2+雨3=（1—3/1）（汨12+/3）,设。为A2A3的中点，.*.（1

一3人）（由2+4/3）是与加力共起点且共线的一个向量，显然直浅40与以A1为圆

心的单位圆有两个交点，故2有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.

法二：以4为原点建立平面直角坐标系（图略），设A2（4,份，小（相，/?）,则12+

413=（。+m，8+〃），.\M（x.（a+/n）,A（Z?+n））,

/.MAi=（-+th）,—2S+〃）），^7^2=（。-2（。+"。，/?—2（8+九）），MA3=（m—X（a

+m）,〃—"％+〃）），

・••麻1+麻2+血3=（（1—3"。+机），（1-3QS+”））.丁麻i+雨2+必3是单位

向量，

•*.（1-3A）2［（a+w）2+（Z>+n）2］=1,

VAi,A2,A3是平面上三个不共线的定点，・・・m+M2+s+及）2>0,所以关于2

的方程有两解，故满足条件的M有两个，故选C.

答案：C

考点三平面向量的线性运算与基本定理

挖掘1数形结合法解决基本定理的应用/自主练透

［例1］（1）（2018・高考全国卷【）在△A8C中，AO为BC边上的中线，E为49的

中点，则磅=（）

B.^AB—^AC

D.^ABA-^AC

［解析］作出示意图如图所示.

A

够=舒+初=地+班

=^X^（A&4-AC）+^（AB—AC）

=彳八一故选A.

［答案］A

（2）（2020・南昌模拟）如图所示，平面内有三个向量殖，OB,OC,其中所与画的

夹角为120。，所与反的夹角为30。，且|殖|=|丽|=1,|沆|二2/，若历=7宓

+〃彷（九〃£R）,则/1+〃的值为.

［解析］如图所示，构造平行四边形，VZOCD=90°,\OC\=2yj3fNCOO=30。,

・・・|曲=2小又坐

［答案16

（3）给定两个长度为1的平面向量宓和丽，它们的夹角为120。，点C在以。为

圆心的园弧4A上运动,若次?="^+），加.贝心+），的最大值是（）

A.jB.1

c

近2D.2

［解析］以。为原点，0A所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则A(l,0),《一今啜

C(cosasin

9

：dc=xOA^-yOB9

1ri

cos0=x—^y,x=］sin<9+cos/

{sin6=率'，［y=^sin/

.•.x+y=去sin夕+cos9+录sin。=小sin夕+cos9=2sin(9+看.

又知OWewjjr,・飞++翡上1,J当。=鼻时，x+y取最大值2,故选D.

［后题技法］数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的

几何意义，求解模的最值或取值范围的问题.破解此类题的关键点：

⑴借形研究，即利用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量

的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量.

(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，

即可求出向量模的最值或取值范围.

挖掘2代数法(方程)求解向量/互动探究

［例2J(1)(2020•河北武邑中学期中测试)已知在RtAABC中，NBAC=90。，AB

=1,AC=2f。是△ABC内一点，且NOAB=60。，设崩=派+/疵(九〃WR),

则什()

A.乎B,坐

C.3D.2小

［解析］

如图，以A为原点，A8所在直线为/轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标

系，则B点的坐标为(1,0),。点的坐标为(0,2),因为ND4B=60。，所以设。

点的坐标为(加，小加)(m20).

G；

AD=(mf,〃z)=派+/充=2(1,0)+〃(0,2)=(2,2〃)=4=m，〃=与加，则心

2小儿吟人

—3.故选A.

［答案］A

(2)如图所示，在△A3O中，OC=^OAfOD=^OB,AO与8C相交于点M,设为

=a,彷=力.试用°和8表示句量加f.

［解析］设5/="7。+也

则AM=OM—苏="也+，力一a=(m—1)。+汕.

AD=db—dA=^OB—dA=—a-^^b.

又・.・4,M,。三点共线，・•・/(而与屐)共线.

.,.存在实数力使得

即（加一1）。+〃方="—a+g".

，（机-1）。+nb=—ta+^b.

•1t消去，得，m—1=—2n,

n=y

即m+2n=1.①

又•:CM=OM—OC=ma+nb—^a=\m—

CB=OB-OC=b—\a=~\a-\-b.

又・・・C,M,8三点共线，・・・CM与CB共线.

・•・存在实数力，使得诙=力昂，

〃方=△(-%+8)，

11

.g=一加

n=t\.

消去力得，4加+〃=1.②

13

由①®得加=',〃=亍

［破题技法］方程法是指利用平面向量共线或垂直的线性运算或坐标运算，建立

关于参数的方程，从而求出参数值的方法.破解此类题的关键点：

(1)向量问题代数化，即利用平面向量平行或垂直的线性运算或坐标运算进行转

化，得到含参数的方程；

(2)解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适

的平面直角坐标系可以快速打开思路.

挖掘3直线的方向向量/互动探究

［例3］求过点尸0。0,”)与向量42)平行的直线方程.

［解析］当mWO时，则。=0(1,第，

则所求直线的斜率k=~

ait

a)

••直线方程为y—>x)="(x—xo),

即a”-aiy+aiyo-。2%0=0.①

当〃i=0时，直线〃y轴，方程为x=xo,适合①.

综上，所求直线方程为azx—niy+aiyo—々2X0=0.

［破题技法］运算遵法则，基底定分解

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形

法则列出三个向量之间的关系.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基

底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量

在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的.

第二节平面向量的数量积

回顾教材-夯实基础课本温故追根求源

授课提示：对应学生用书第78页

［基础梳理1

1.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

己知两个非零向量

设夕是。与〃的夹。=0。或0=

Q和〃，作苏=访

角，则。的取值范180。。。〃"0=

OB=b,则N40B围是0。忘。忘180。暨

就是a马b的夹角0a4

2.平面向量的数量积

设两个非零向量。，力的夹角为仇则数量㈤固cos9叫作。与b的数

定义

量积，记作。力

lalcos/叫作向量。在b方向上的投影，lOlcos1叫作向量〃在。方向

投影

上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与匕在a的方向上的投影画cos。的乘积

3.数量积的性质

设。，b都是非零向量，e是单位向量，。为a与伙或e)的夹角.则

(l)e-a=a-e=lfl|cos0.

ah

⑵COS。=丽.

(3)a»W|a|固.

4.数量积的运算律

(1)交换律:ab=ba.

(2)数乘结合律：(〃)力=她面=丝曲.

(3)分配律：a(b-\~c)=ab-\-ac.

5.平面向量数量积的坐标表示

设向量。=(巾，yi),b=g户)，向量。与1的夹角为仇则

数量积ah=xiX2-^y\y2

模\a\=A/XT+VI

人工Xi2+yi)2

夹角C°遮+丽+-

向量垂直的

a_Lboab=0<=>—+)'1¥2=0

充要条件

■知识拓展提升思维能力

1.向量的夹角问题

(1)“向量。与〃的夹角为钝角”等价于“〃ivo且出b不共线”.

(2)“向量。与》的夹角为锐角”等价于“。/>0且出力不共线”.

(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，

在△A8C中，〈磊，BC>=兀-5,而不是角丘

2.两种投影

a在b上的投影为胃.

力在。上的投影为整.

3.几个结论，对于向量凡b

(1)(4+〃)2=。2+2。5+)2.

(2)(。+b)-(a—b)=a*12—b2.

(3)。，。同向时，a-b=\a\\b\f

af)反向时，a-b=—\a\\b\.

(4)0是△ABC的垂心u>昂•丽沆=沆・苏.

/+加一a2

(5)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,则Q•危=~~〜——.

［四基自测］

1.(基础点：向量夹角)设〃=(5，—用，则向量。冷的夹角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案：B

2.(基础点：数量积坐标运算)已知筋=(2,3),危=(3,3),则筋•反：=()

A.—3B.—2

C.2D.3

答案：C

3.（易错点：向量的投影）己知〃=（2,3）,。工（-4,7）,则Q在。方向_L的投影

为（）

A.^13B.

D.y[65

答案：C

4.（基础点：求模）已知。与》的夹角为60。，同=2,|例=1,则M+》|=.

答案：巾

考点分类-深度剖析名帅导传以例示法

授课提示：对应学生用书第79页

考点一平面向量数量积的运算

挖掘1定义法、坐标法求数量积/自主练透

［例1］(1)已知筋=(2,3),危=(3,r),|反1=1,则福•求=()

A.—3B.—2

C.2D.3

2

［解析］'：BC=AC-AB=(3f/)-(2,3)=(1,/~3),|BC|=1,(r-3)

=

—1,t3f•*.BC—［\,0),

：.ABBC=2X1+3X0=2.故选C.

［答案］C

(2)(2018・高考全国卷II)己知向量a,b满足⑷=1,ab=-1,则a・(2a—b)=()

A.4B.3

C.2D.0

［解析］a\2a-b)=2ai—a-b=2\a^—a-b.

V|a|=l,ab=-lf・•・原式=2XF+I=3.故选B.

［答案］R

(3)(2018・高考天津卷)如图所示，在平面四边形ABCQ中，ABLBC,ADA.CD,

NBAD=120。,AB=AO=1.若点E为边CD上的动点，则危•砺的最小值为()

CA

on

3

•21-

A•而B.2

C空

c16D.3

［解析］如图所示，以。为坐标原点建立直角坐标系.

连接AC,由题意知NCAQ=/CAB=60。，

NACO=NAC8=30。，则D(0,0),A(l,0),B(|,坐)，C(0,回设E(0,

y）（0WyW小），则屈=（—1,y）,

够=（v厂叫

卷崩='+）?—察'=（）'一用+福

/.当y=乎时，病•能有最小值得.

故选A.

［答案］A

［编题技法］1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解,

即ab=|a||b|cos0（0是。与b的夹角）.

2.坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行

求解.

挖掘2用基底计算数量积/互动探究

［例2］（1）在如图所示的平面图形中，己知OM=1,ON=2,NMON=120。，BM

=2而，CN=2NA,则心•说的值为（）

A.-15

C.一6

［解析］

如图，连接MN.

VBA/=2M4,CN=2NAf

.AM_1_AN

••7B=3=AC,

MN1

:.MN〃BC,且正=1,

，BC=3MN=3（而一OM）,

/.BC-OM=3（ON-OM—OM2）=3（2X1Xcos120。一12）=—6.故选C.

［答案］C

（2）（2019・高考天津卷）在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2小,AD=5fZA=

30。，点E在线段C8的延长线上，且AE=8E,则防•能=.

［解析］法一：VZB/1D=3OC,AD//BC,.・.NABE=30。，又EA=EB,；./EAB

在AEAB中，AB=2®：.EA=EB=2.

以A为坐标原点，直线A£＞为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

BC

则A(0,0),D(5,0),E(l,回8(3,小),

：.BD=(2f一小),AE=(1,V§),

：.BDAE=(21一巾)・(1,V3)=-l.

法二：同法一，求出所=E4=2,

以筋，而为一组基底，

则8ZXAO—初，AE=AB+BE=AB-^Abf

2

：.BDAE=(Ab-AB)(AB-^Ab)

27

=ADAB-AB2^ABAb—^Ab2

=日又5义2小X坐-12-|x25=-1.

［答案］一।

［后题技法］基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律,

最终转化为基向量的数量积，进而求解.

考点二向量的模、夹角、垂直问题

挖掘1向量的夹角/互动探究

［例1］(1)(2019・高考全国卷I)已知非零向量〃，〃满足⑷=2步且3—b)J_b,

则。与b的夹角为()

3

57r

~6

［解析］由（a-〃）_Lb,可得（。一））。=0,b=b2.

xabb11

V\a\=2\b\,cos〈明b）=\a\-\b\=2^=2'

,.・0W〈a,b〉，，・・・a与》的夹角为全故选B.

［答案］B

(2)(2019•高考全国卷HI)已知a,b为单位向量，且ab=0,若c=2a—小b,则

cos〈a,c〉=________.

［解析］由题意,得cos〈a,C〉=［落_嚅

2a2—小ab______2______2

一⑷•标［力薪一］x也不一予

［答案］f2

(3)(2020.石家庄模拟)若两个丰零向量m)满足|a+"=|a—臼=2网，则向量a+

〃与。的夹角为()

兀「2兀

A-3B•不

-5兀一兀

CTD.飞

［解析］设步1=1,则M+"=|a一"=2.

由|“+例=|0一"，得。》=0,故以％分为邻边的平行四边形是矩形，且同=小,

设向量a+b与〃的夹角为8,

(a+b)⑷小

则C0S3=\a\-\a^~b\=\a\-\a+b\=\a+b\=2，

7T

,・・0<0<兀，，0=不故选D.

［答案］D

［破题技法］求向量夹角的方法

方法解读适合题型

定义法8s如,b)一闻一适用于向量的代数运算

数形结

转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算

合法

［拓展］设储，b>=仇当J为锐角时，cos6>0,即。》>0,当。为钝角时,

cosJVO,即。・bV0,反之不成立，要注意a〃〃的情况.

—同源异考重在触类旁通

已知非零向量机，〃满足4|枷=3|川，cos〈机，〃〉=y若“与〃%一〃夹角为钝

角，则实数r的取值范围是()

A.Z<4B.fV4且fWO

C.，W4D.W4且样0

解析：n与tm—n夹角为钝角等价于n(tm—n)<0且〃与tm—n不共线，所以

tmn—n2<0且样0,

31

即/义干尸乂§一层vo,且岸0,解得［V4且1W0.

答案：B

挖掘2向量模的计算/互动探究

［例2］(1)在等腰三角形ABC中，点。是底边4B的中点，若筋=(1,2),CD=

(2,0，则|诙|=()

A.小B.5

C.2小D.20

I解析］由题意知检J_丽，・•・1X2+27=0,

/./=-1,|CD|=^22+(-1)2=^5.

［答案］A

(2)(2020.湖北武汉模拟)已知向量mb满足同=4,b在。方向上的投影为一2,

则|a—3臼的最小值为()

A.12B.1()

C.V10D.2

［解析］设。与b的夹角为。.

由于》在。方向上的投影为一2,

a-h

所以|0|cos。=丁［~=—2,所以0。=—8,

又向cos夕=一2,所以烟22,则一3例=-6a所+9从=，64+9必

2、64+9义22=10,即|0一3川的最小值为10,故选B.

［答案］B

(3)如图，在△4BC中，ZBAC=^fAD=2DBfP为CD上一点,且满足份=加危

+短，若△A8C的面积为2vL则的的最小值为()

3

[解析]:历=2访，：.AB=^ADf

AP—mAC+^AB,.'.AP=wAC+^Ab,

VC,P,。三点共线，

31.]*]j

即机=不,\AP=^AC-^2^B,

：.AP2=^AC2+^AB2+^AC-AB^2X||AC||AB|+||AC||AB|cos|=||AC||AB|,

•・•5八诋=；|德丽si吟=24，

・・・|危］丽1=8,.*.AP2^|X8=3,

：.\AP\^y［39故选B.

［答案jB

［最题技法］求向量的模的方法

(1)公式法：利用⑷=，就及(4±〃)2=|aF±2a・b+步『，把向量模的运算转化为数量

积运算.

(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三

角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

挖掘3向量的垂直问题/互动探究

［例3］(1)已知向量。=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)〃=cJL(a+

b),贝ijc=()

eg,目D.V，T)

［解析］设c=(m，n),贝4a+c=(l+/〃，2+〃)，a+松=(3,—1),因为(c+a)〃瓦

77

则有一3(1+6)=2(2+〃)；又c_L(a+b),则有3〃z—〃=0,解得加=一§,〃=一1.

77

-

所以c=(一一-3

夕

［答案1D

⑵(2019・高考北京卷)已知向量a=(—4,3),。=(6,tn),且0_1_人则m=.

［解析］・・・Q_Lb,：.ab=(-4f3)(6,〃。=一24+3相=0,Z./n=8.

［答案18

［破题技法］1.当已知两个向量的夹角为90。时，即。，5时，则。功=0.反之也成

立，(aWO且6W0).

2.如果。=(为，yi),b=(X2,*)，a±b<^>x\X2-\-y\yi=0.

*同源异考重在触类旁通

如图所示，|成|=5,|油=小，ABA£=O,且油=2茄，AC=3AE,连接BE,

CO交于点尸，则|而=.

A

解析：由三点共线可知，AF=/AB+(i-A)AE=2AAD+(l-A)AE(A^R)t①

同理，酢=〃屐)+(1—〃)病

=〃病+3(1一〃)画WR),②

4=22,r5，

则①得2w.3解得1d

f2f3f

故病=5筋+-^AE.

••\AF\=A/^|AB|2+^|A£］2+Z|AB-AE=火"

答案：呼

考点三数量积运算的最值或取值范围

［例］已知3c是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则成•（成+

心的最小值是（）

A.-2B.-z

如图，丽+危=2防（。为5c中点），则庆•（而+危）=2用）/,

A

第二步：确定尸点的大致位置使成•用最小.

要使成•用最小，需成，用方向相反，即P点在线段AO上，所以（2历•"）min

=一2|成卜|①|,即求I历卜|成I最大值.

第三步：利用基本不等式求最值.

又国|+|历1=1屐）|=2X曰=小，则I的两经陷；PDI2=（当2号,

33

所以（2疝•可）1而1=-2乂4=一3故选B.

法二：坐标法.

第一步：建立平面直角坐标系.

以8c中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0,S),8(—1,0),C(l,

0).

第二步：设出户点的坐标(x,y),将向量成，两，元:表示出来.

设尸。，y),则"=(一x,^3-y),而=(一Lx,—y),PC=(l-xt-y),第三

步：用x,)，表示庆•(而+无)，转化为函数关系式求最值.

・••成•(两+元)=2?—2S)，+2)2=2/+°—芈了一(,其最小值为2义(一胃=

一/,此时x=0,•故选艮

[答案]B

[破题技法]求解平面向量数量积最值或取值范围问题的2个策略

(1)图形化策略

所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，

借助图形思考解决问题.图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思

想和函数与方程思想也深蕴其中.

利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作

用.如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷

入“僵局

(2)代数化策略

所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，

借助代数运算解决所面临的问题.代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方

程思想.通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解

决向量问题的一般方法.

—同源异考重在触类旁通

平行四边形A5CO中，AB=4fAD=2f筋屐)=4,点P在边CD上，则鬲・丽

的取值范围是()

A.[-1,8]B.[-1,+8)

C.[0,8]D.[-1,0]

解析：由题意得油•疝=丽・|衲＜05/840=4,解得.以A为原点，

A8所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0),5(4,0),C(5,小)，

D(l,小)，因为点P在边CQ上，所以不妨设点尸的坐标为3,小)(1W〃W5),

则成•丽=（一出一小）•（4一〃，一小）=/-4。+3=（。-2）2—1,则当〃=2时,

成.而取得最小值一1,当4=5时，成.两取得最大值8,故选A.

答案：A

第三节平面向量的综合应用

回顾教材-夯实基础课本温故追根求源

授课提示：对应学生用书第82页

［基础梳理］

1.向量在平面几何中的应用

（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型所用知识公式表示

线平行、点共a//b^>a=x^<=>xiV2-X2Vi=0,

共线向量定理

线等问题其中。=(xi,yi),b=(x2,*),5WO

a_Lb=a,b=0<=»xiX2+yiy2=0,

垂直问题数量积的运算性质

其中。=3，yi),b=(X2fV2),且a,b

为非零向量

cos"=尚曾（。为向量。，b的夹角），其中

夹角问题数量积的定义

a，力为非零向量

|a|=V?=y/e+y2,其中。=a，y），a

长度问题数量积的定义

为非零向量

（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面儿何问题幽堇向量问题立邕解决向量问题必里解决几何问题.

2.向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主

要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解

答，坐标的运算是考查的主体.

3.平面向量在物理中的应用

（1）由丁物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法

和减法相似,可以用向量的知识来解决.

（2）物理学中的功是一个标量，是力尸与位移s的数量积，即卬=尸$=|尸Iklcos伙。

为尸与s的夹角）.

4.向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数（三角函数）、解析几何结合，常通过向量的线

性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.

IS知识拓展提升思维能力

1.向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能

进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

⑵基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的

方程进行求解.

2.平面向量与三角函数综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等

式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三南函数式进行化简，

结合三角函数的图像与性质进行求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解

题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.

［四基自测］

1.(基础点：向量在平面几何中的应用)已知aABC的三个顶点的坐标分别为A(3,

4),8(5,2),C(-l,-4),则该三角形为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

解析：A&=(2,-2),AC=(-4,-8),BC=(-6,-6),

：.\AB\=也2+(―2)2=2啦,|而=216+64=4小,|反1=，36+36=6也,

.二丽F十画三曲?，

・•・△ABC为直角三角形.

答案：B

2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力Fl,尸2,尸3(单

位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知Fl,尸2成60。角，且凡的大小分别

为2和4,则正3的大小为()

A.2巾B.2小

C.2D.6

解析：如题图所示，由已知得尸1+尸2+尸3=0,则尸3=一(尸］+正2),

即F3=FT+F2+2FI-F2=FT+F2+2|FIMF2|-COS60。=28.故|尸3|=2币.

答案：A

3.(基础点：向量在平面解析几何中的应用)平面直角坐标系中，若定点4(1,

2)与动点尸。，y)满足决・①=4,则点尸的轨迹方程是.

解析：由成•宓=4,得(x,y).(l,2)=4,即x+2y=4.

答案：x+2y—4=0

4.(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量机=QinA,与向量〃=(3,sin

4+小cosA)共线，其中4是△4BC的内角，则角A的大小为.

解析：因为相〃凡所以sinA(sinA+，§cosA)—1=0,

所以2sin2A+2，5sinAcosA=3,

可化为l-cos2A+小sin2A=3,

所以sin(24—詈=1,

因为AW(O,7i),所以3—W£(一去制.

IFTTJT

因此24一亲=会解得4=宗

答案：|

^■_考点分类-深度剖析名帅导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第83页

考点一向量在平面几何中的应用

挖掘用向量表示三角形的“心”/自主练透

［例］(1)己知。，N,尸在△ABC所在平面内，且|醇|=|彷|=|戌1，