北师大版高中数学必修第一册单元测试题及答案（下）

北师大版高中数学必修第一册单元测试题及答案

（第5-7章测试题，含期末试题，共4套）

第五章综合测试

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.下列函数中没有零点的是（）

2

A./(x)=log2x-7B./(x)=\fxC./(-v)=—D./(x)=x

2.方程Inx+x-4=0的实根所在的区间为（)

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.函数〃x）=：-lnx的零点个数为（）

A.OB.1C.2D.3

4.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%）,仍可获利10%（相对进货价），则该家具的

进货价是（）

A.118元B.105元C.106元D.108元

5.用二分法求方程〃力=0在区间（1,2）内的唯一实数解与时，经计算得〃1）=百/（2）=-5,/图=9,

则下列结论正确的是（）

Bx

A.七三（琦）-o=-|C.D.x0=1

6.关于x的方程方+。一1=0在（0,1））内有实根，则实数。的取值范围是（）

A.a>\B.a<-C.-<a<lD.々V」或心1

222

7.函数/（刈=,2一61+8|—女只有两个零点，贝IJ（）

A.k=0B.k>\C.O^k<lD.QI或&=0

8.设函数〃力=卜-+辰+°"近°若〃_4）=〃0）,〃-2）=-2,则关于x的方程=x的解的个数为

2,x>0,

（）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.若函数/（x）唯一的一个零点同时在区间［0,16］,［0,8］,［0,4］,［0,2］内，那么下列说法中正确的是（)

A.函数“X）在区间［0,1］内有零点

B.函数“力在区间［0,1］或［1,2］内有零点

C.函数外力在区间（2,16］内无零点

D.函数/（力在区间［1,16］内无零点

10.如下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象.根据这个函数

图象，关于这两个旅行者的信息正确的是（）

孑立556时间提

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时

B.骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者

D.骑自行车者实际骑行的时间为6小时

11.己知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价

格如下表所示：

型号小包装大包装

重量100克300克

包装费用0.5元0.7元

销售价格3.00元8.40元

则下列说法中正确的是（）

A.买小包装实惠B.买大包装实惠

C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多

12.已知函数〃力=<°：则使函数g（x）=/（x）+x-帆有零点的实数用的取值范围可以是（）

29

A.［2,+oo）B.（l,+oo）C.（-oo,0］D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13.己知函数/（x）=%2一1,则函数2）的零点是.

14.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经

历的时间称为它的半衰期，记为T』.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间，变化的6组数据如下：

2

Z（单位时间）03691215

A")3202261601138057

从以上记录可知这种元素的半衰期约为个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A（/）=

15.方程一吆工=2的实数根的个数为.

16.若关于x的方程V-x一（帆+1）=0在卜川上有解，则的取值范围是.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）若函数（人。0）有一个零点3,求函数g（x）=bf+3内的零点.

18.（本小题满分12分）在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每

件日租金50元，每天都客满.五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金.经调查，如果每件的日租金每增加

5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？

19.（本小题满分12分）已知函数/（月=2/-8彳+加+3为R上的连续函数.

（1）若帆=T,试判断f（x）=O在内是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为

0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根％存在的区间.

（2）若函数/（力在区间内存在零点，求/数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）有时可用函数/（%）=X—44"一”，描述学习某学科知识的掌握程度,

其中K表示某学科知识的学习次数（xsN*）,/（屋和寸疹学科知识的掌握程度，正实数。与学科知识有

关.

（1）证明：当x27时，掌握程度的增长量/（x+1）-/（X）总是下降的；

（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的。的取值区间分别为（115,121Ml21,127],（127,133].当学习某学科

知识6次时，掌握程度是85%,请确定相应的学科（参考数据：ZO5«1.O512）.

21.（本小题满分12分）已知函数,，=〃x）是定义在R上的奇函数，且xX）时，/（x）=Iog/x+^l

(1)求/(X)的解析式；

(2)若用={/函数g(x)=|/(x)卜皿mwR)}有两个零点，求集合M.

22.(本小题满分12分)

如上图，将宽和长都分别为x，y(xVy)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为石.(注:

正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂更的图形.)

(1)求y关于％的函数解析式；

(2)当乂y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小？并求出其最小值.

第五章综合测试

答案解析

、

1.【答案】C

【解析】由于函数/(x)=L中，对任意自变量X的值，均有1工0,故该函数不存在零点.

X入

2.【答案】B

【解析】设函数/(x)=lnx+^-4(.r>0),故/(x)是(0,+8)上的单调递增函数.因为

/(2)x/(3)=(ln2-2)x(ln3-l)<0,故函数f(x)在区间(2,3)上有零点,即方程lnx+x-4=0在区间

(2,3)上有实根，故选B.

3.【答案】B

［解析］yi

如上图，在同一坐标系中作出y=，与y=lnx的图象：

x

可知/(x)='-lnx只有一个零点.

X

4.【答案】D

【解析】设该家具的进货价是x元，由题意得132(l-10%)-x=x・10%,解得x=108元.

5.【答案】C

【解析】由于/(1)/(2)V0,则与£与2).

6.【答案】C

【解析】只需F(O)/(1)VO即可，即解得gvaVl,・,•选C.

7.【答案】D

【解析】令M=|f-6x+8|,%=&，由题意函数只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，

利用数形结合思想，作出两函数图象(如下图)，可得选D.

8.【答案】C

【解析】依题意x=—2是y=F+bx+c的对称轴,

：.b=4：：f(-2)=-2,：.c=2f

x2+4x+2x40人“、r.--

故/(')=,令/(x)=x,解得x=T,-2,2,

2,x>0''

・•・方程/(x)=X的解的个数为3.选C.

—•、

9.【答案】BC

【解析】由题意可得，函数在［0,2］内有零点，在(2,16］内无零点，故选BC.

10.【答案】ABC

【解析】由图象可得，骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，A正确；骑自行车者是变

速运动，骑摩托车者是匀速运动，B正确；骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，C正确;

骑自行车者实际骑行的时间为5小时，D错误.故选ABC.

11.【答案】BD

【解析】买小包装时每克费用为工■元，买大包装时每克费用为刍士二空(元)，—,所以买大

100300100100100

包装实惠.卖3小包的利润为3x(3-1.8-0.5)=2.1(元)，卖1大包的利润是8.4—1.8x3—O.7=2.3(元，

2.3>2.1,所以卖1大包比卖3小包盈利多.因此BD正确，故选BD.

12.【答案】BC

【解析】函数g(x)=/(x)+x-〃，的零点就是方程+x=的根，

作出A(x)=1''的图象，如下图所示，

''2v+x,x>0

观察它与直线y=帆的交点，

得知当机《)或加>1时有交点，

即函数g(x)=/(x)+x-/w有零点的实数的取值范围是(YO,0)U(L+8).故选BC.

-ZZ2-、

13.【答案】I或3

【解析】/(3-2)=(工-2)2-1="2一4%+3=0,x=l或x=3.

14.【答案】6320・2—二”20)

6

【解析】从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为4=320,则经过时间f的剩余质量为

出,32。・2-/部).

A(，)=A

2

15.【答案】2

【解析】分别画出)，=g/-2与y=lgx的图象，有2个交点.

16.【答案】

4

【解析】依题意一=当4=’时，m的最小值为-2；当x=-l时，阳的最大值

rs-]I2j424

为1.所以〃ze—>1.

四、

17.【答案】函数/(x)=or-b的一个零点是3.

.,./(3)=0,即b=3a,g(x)=3ax2+3ax,

令g(x)=0得x=0或x=T,

的零点是x=0或x=-l.

18.【答案】设每件棉衣日租金提高4个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少出租6x件，又设棉衣日租金

的总收入为y元.

Ay=(50+5x)x(120-6x),

.•・y=-30(x-5)2+6750

・•・当工=5时，yg、=6750,这时每件棉衣口租金为50+50x=50+5x5=75(元)，

工棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6750元.

19.【答案】(1)当时，/(x)=0,KP/(X)=2X2-8X-1=0.

可以求出f(—l)=9,/(1)=-7,则/(一1)/(1)<0.

又/(x)为R上的连续函数，

・•・/(/)=0在(-1,1)内必有根存在.

取中点0,计算得/(0)=—1V0,/(-1)/(0)<0,

计算得了1-1LZ>O,

AXOG(-1,0),取其中点

2)2

•'•Xoe(―2,0),取其中点二,计算得dpR>0,

41-4>18

,计算得f［

——>0jt取其中点=—>0.

818J32

•'•Xow(―W，0),又—@1—0V0.2,工％存在的区间为‘g,0).

88

(2)•・•函数/(力=2/-8“+m+3的对称轴为％=2.