2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象（教师用书）教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象（教师用书）教案新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学第1章三角函数1.4节三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象

2.教学年级和班级：高中一年级

3.授课时间：2024年10月15日，第4节课

4.教学时数：45分钟

本节课将围绕新人教A版必修4教材，引导学生学习正切函数的性质与图象，通过实际例题和图形展示，让学生深入理解正切函数的特点，并掌握其应用。课程将重点关注正切函数的定义、性质、图象以及其在实际问题中的应用。二、核心素养目标1.理解并掌握正切函数的定义、性质及其图象特征，提高数学抽象和逻辑推理能力；

2.能够运用正切函数解决实际问题，增强数学建模和数学应用能力；

3.通过对正切函数图象与性质的研究，提升直观想象和数据分析素养，培养探究精神与团队合作意识。三、重点难点及解决办法重点：正切函数的定义、性质、图象及其在实际问题中的应用。

难点：正切函数图象与性质的深入理解，以及在实际问题中的灵活运用。

解决办法及突破策略：

1.通过多媒体演示和手绘图形，帮助学生直观理解正切函数的图象特征，强调其在关键点处的性质变化。

2.设计典型例题，引导学生运用正切函数性质解决具体问题，加强知识点的巩固。

3.采用小组讨论和互助学习的方式，让学生在合作中发现问题、解决问题，提高对难点知识的理解。

4.针对不同难度层次的学生，提供适当难度的练习题，使学生在练习中逐步突破难点，提高解题能力。四、教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：通过清晰讲解正切函数的定义、性质，使学生系统掌握知识点；

(2)讨论法：组织学生就正切函数图象与性质的探究进行小组讨论，激发学生思考与互动；

(3)问题驱动法：设计具有挑战性的问题，引导学生主动探索正切函数在实际问题中的应用。

2.教学手段：

(1)多媒体演示：利用PPT、几何画板等展示正切函数图象，增强直观感知；

(2)教学软件：运用数学软件辅助学生进行正切函数图象的绘制与分析，提高学习效率；

(3)实物教具：使用三角板、量角器等实物教具，帮助学生更好地理解正切函数的概念。五、教学过程设计1.导入环节（5分钟）

创设情境：通过展示实际生活中与正切函数相关的现象，如太阳高度角的变化、建筑物的倾斜度等，提出问题：“这些现象中是否包含着某种规律？如何用数学方法来描述这些规律？”激发学生的好奇心和求知欲。

2.讲授新课（20分钟）

（1）正切函数的定义：回顾正弦函数、余弦函数的定义，引导学生发现并理解正切函数的定义。

（2）正切函数的性质：通过讲解和图形展示，使学生掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。

（3）正切函数的图象：利用多媒体展示正切函数的图象，分析其特点，引导学生观察图象与性质之间的关系。

3.巩固练习（10分钟）

（1）课堂提问：针对正切函数的定义、性质、图象等方面进行提问，检查学生对知识点的掌握情况。

（2）小组讨论：给出具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同解决，培养学生合作解决问题的能力。

（3）个人练习：布置适量练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4.互动环节（5分钟）

创新设计：让学生自己发现生活中的正切函数实例，并分享给其他同学。此环节旨在培养学生的观察力、创新意识和表达能力。

5.课堂小结（3分钟）

教师引导学生总结本节课所学内容，强调正切函数的定义、性质、图象及其在实际问题中的应用。

6.作业布置（2分钟）

布置适量的课后作业，巩固学生对正切函数的理解和应用。

7.课堂反馈（2分钟）

鼓励学生提出在学习过程中遇到的问题和困惑，教师给予解答，确保学生对知识点的充分理解。

教学过程设计总用时：45分钟

在教学过程中，注重师生互动，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的核心素养。通过创设情境、提问、讨论等多种方式，激发学生的学习兴趣，使其在轻松愉快的氛围中掌握知识。同时，注重课后反馈，及时解决学生的问题，确保教学质量。六、学生学习效果1.理解并掌握正切函数的定义，能够区分正切函数与其他三角函数的关系。

2.掌握正切函数的基本性质，包括周期性、奇偶性、单调性等，并能够运用这些性质分析实际问题。

3.识别正切函数的图象，理解图象与性质之间的关系，并能够利用图象解决具体问题。

4.能够运用正切函数解决生活中的实际问题，如计算物体的高度、角度等，增强数学应用能力。

5.通过小组讨论和互动环节，提高团队合作能力和口语表达能力。

6.培养直观想象和数据分析的核心素养，提升数学思维和逻辑推理能力。

7.增强对数学学科的兴趣和自信心，激发学习主动性，为后续学习奠定坚实基础。

本节课的学习效果与教材紧密关联，学生在掌握正切函数相关知识的同时，也能够将所学应用于实际问题，从而达到学以致用的目的。通过本节课的学习，学生不仅提高了数学学科素养，还为解决复杂问题打下了坚实的基础。七、板书设计①重点知识点：

-正切函数的定义

-正切函数的性质（周期性、奇偶性、单调性）

-正切函数的图象特点

-正切函数在实际问题中的应用

②关键词与句：

-“正切函数：y=tan(x)”

-“周期性：正切函数的周期为π”

-“奇偶性：正切函数是奇函数”

-“单调性：正切函数在每个周期内的单调区间”

-“图象特征：渐进线、对称性”

-“应用实例：计算角度、高度等”

③艺术性与趣味性：

-使用不同颜色的粉笔突出重点知识，如用红色强调关键词汇。

-利用图形、箭头等符号表示函数的性质和图象，增加直观性。

-设计简洁有趣的图示，如绘制一个带有正切函数图象的直角三角形，以加深学生对正切函数概念的理解。

-在板书边角处添加与正切函数相关的趣味数学小知识或历史背景，激发学生的兴趣。

板书设计应确保条理清晰，使学生能够迅速抓住重点，同时通过艺术性和趣味性的设计，增强学生的学习兴趣和主动性。八、课后作业1.解释正切函数的定义，并用自己的话描述正切函数的图象特点。

答案示例：正切函数定义为正弦函数与余弦函数的比值，即y=tan(x)=sin(x)/cos(x)。其图象在每个周期内呈现逐渐上升和下降的趋势，并在x=π/2+kπ（k为整数）处有垂直渐近线。

2.画出正切函数y=tan(x)在一个周期内的图象，并标注出其关键点和性质。

答案示例：图象如下，标注出原点、最大值、最小值以及垂直渐近线等关键点，并注明正切函数的周期性、奇偶性和单调性。

3.已知直角三角形的对边长度为3，邻边长度为4，求该三角形的角度的正切值。

答案：tan(θ)=对边/邻边=3/4

4.如果一个三角形的两个角的正切值分别为1和-1，求这两个角的大小。

答案：正切值为1的角为π/4（45°），正切值为-1的角为-π/4（-45°）。

5.某建筑物的倾斜度为1:6，即水平方向每前进6米，高度上升1米。求该建筑物倾斜角度的正切值，并解释其意义。

答案：tan(θ)=1/6。这个值表示建筑物每水平前进6米，高度上升1米，即倾斜角度的正切值。

6.计算并解释以下表达式的值：tan(π/6+π/4)。

答案：利用正切函数的和角公式，tan(π/6+π/4)=(tan(π/6)+tan(π/4))/(1-tan(π/6)tan(π/4))=(1/√3+1)/(1-1/√3)=(1+√3)/(√3-1)。这个值表示当角度为π/6加上π/4时，其正切值可以通过这两个角的正切值计算得出。

7.证明正切函数是奇函数。

答案：正切函数y=