苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.21对称图形-圆(全章知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题2.21对称图形——圆（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】点和圆的位置关系点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；【知识点二】四量定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【知识点三】垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点四】圆周角定理及其推论圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【知识点五】直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.【知识点六】直线和圆的位置关系切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：直线与交点个数；直线到圆心的距离与半径关系；切线的判定定理.【知识点七】切线长定理（1）切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角.（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.【知识点八】确定圆的条件（1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.【知识点九】圆的外心与内心（1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。（3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.（4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系（1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..（2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.（3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.【知识点十一】相交弦定理、切割线定理、割线定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图1，是的两条弦且交于点，则.图1图2图3（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图2，是的切线，线段交于两点，则.（3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图3，线段交于两点，交于两点，则.【知识点十二】正多边形与圆、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积（1）正变形的圆心角为度.（2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.（3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.（4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.（5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积:.

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】圆的基础知识【例1】（2022·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的半径长．【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为．【题型2】弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【例2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．（1）求点E到x轴的距离．（2）连结，求的长．【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（）A．3 B．4 C． D．【变式2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为．【题型3】与圆有关的位置关系【例3】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．

（1）求证：是的切线；（2）若点为的中点，的半径为，求的长．【变式1】（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（

）

A．r=1 B． C． D．【变式2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为．【题型4】圆中有关的计算【例4】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D，（1）求的度数；（2）求的长；（3）求，的长．【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（

）A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2）【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值．【题型5】圆与其他知识的综合运用【例5】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求阴影部分的面积．【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，内接于，为的直径，直线与相切于点，过点作，交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．【例2】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．2、拓展延伸【例1】（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（

）A．2 B．3 C． D．【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，D在线段上，连，以为的直径交于P，，当D在线段上自C向B运动的过程中，点P运动的路径长是（

）A．3 B． C． D．专题2.21对称图形——圆（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】点和圆的位置关系点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；【知识点二】四量定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【知识点三】垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点四】圆周角定理及其推论圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【知识点五】直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.【知识点六】直线和圆的位置关系切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：直线与交点个数；直线到圆心的距离与半径关系；切线的判定定理.【知识点七】切线长定理（1）切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条切线的夹角.（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.【知识点八】确定圆的条件（1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.【知识点九】圆的外心与内心（1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。（3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.（4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系（1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..（2）三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.（3）直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.【知识点十一】相交弦定理、切割线定理、割线定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图1，是的两条弦且交于点，则.图1图2图3（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图2，是的切线，线段交于两点，则.（3）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图3，线段交于两点，交于两点，则.【知识点十二】正多边形与圆、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积（1）正变形的圆心角为度.（2）弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.（3）如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.（4）如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.（5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积，圆锥的全面积：.

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】圆的基础知识【例1】（2022·江苏南京·中考真题）如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．（1）求证：；（2）若，，，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)的半径为5【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即，（2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5．解：（1）证明：连接、、、，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴垂直平分，即，（2）解：设求的半径为，由（1）可知，∴为中点，为中点，∴，在中，，在中，，，，∵∴，解得，∴的半径为5．【点拨】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，P为上任意一点，E是的中点，则的最大值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半辅助线，属于中考选择题中的压轴题．如图，连接，取的中点，连接，．利用三角形的中位线定理可得，再求出OH，从而得出．当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，的最大值．解：如图，连接，取的中点，连接，．，，，，，，，∴当点O、H、E三点共线，且点H在O、E之间时，的最大值，故选：B．【变式2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为．【答案】【分析】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可．解：∵点A，B，C在上，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴，连接，过点作交于点，则，∴为等边三角形，∴，∴，∴四边形的面积为：；故答案为：．【点拨】本题考查菱形了圆的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法是解题的关键．【题型2】弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【例2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．（1）求点E到x轴的距离．（2）连结，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．（1）过点作轴于点，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可；（2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长．解：（1）解：过点作轴于点，如图，当时，，解得，，，，在中，，点到轴的距离为；（2）连结，，如图，当时，，，，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，．【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．解：作于M，于N，连接，，由垂径定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四边形是矩形，，四边形是正方形，故选：D．【变式2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为．【答案】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案．解：连接，作于点，∵弧的度数为，弧的度数为，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵点分别是弦，弦的中点，∴是的中位线，∴．故答案为：．【题型3】与圆有关的位置关系【例3】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．

（1）求证：是的切线；（2）若点为的中点，的半径为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识．（1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明；（2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解．解：（1）证明：如图，连接，则，

，平分，，，，

，，交AE的延长线于点，，，即，是的半径，是的切线；（2）解：如图，连接，则，

由（1）知，，，点为的中点，，，

是等边三角形，，，

由（1）知是的切线，，，

，，．【变式1】（2023九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（

）

A．r=1 B． C． D．【答案】B【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．解：连接交于，如图，

在中，由勾股定理得：，则，，，与相交，且点在外，必须，即只有选项B符合题意，故选：B．【点拨】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．【变式2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在中，是边上的一点，以为直径的经过点，且是的切线．若半径，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了切线的性质—“圆的切线垂直于经过切点的半径”，也考查了圆周角定理和勾股定理．掌握切线的性质和圆周角定理是解本题的关键．连接，如图，先根据切线的性质得到，则可计算出，再判断为等边三角形得到，接着利用圆周角定理得到，然后根据勾股定理计算的长．解：连接，如图，是的切线，，，，，，为等边三角形，，为直径，，．故答案为：．【题型4】圆中有关的计算【例4】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D，（1）求的度数；（2）求的长；（3）求，的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了圆的相关概念，勾股定理，角平分线的性质，熟记“直角所对的圆周角为”是解题关键．（1）直接根据圆周角定理即可求解；（2）根据勾股定理求解即可；（3）根据角平分线得出，再由同一圆内，圆周角和弦的关系确定，利用勾股定理即可求解解：（1）解：是的直径，，；（2），；（3）是的平分线，，，在中，，，，，．【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（

）A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2）【答案】A【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标解：如图，连接，作于Q，由正六边形的性质可得．在中，．∴．∵∴四边形是矩形，∴，∴点P的坐标为．【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值．【答案】/【分析】连接，由以为直径作，，，得，，即可得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，，故．本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，圆中动点问题，解题关键是动中抓不变．解：连接，由以为直径作，，，得，，得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，，故，即的最小值，故答案为：．【题型5】圆与其他知识的综合运用【例5】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求阴影部分的面积．【答案】(1)是的切线；见解析(2)【分析】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解；（2）根据阴影部分的面积求解即可．解：（1）证明：如图，连接，根据题意得，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：，，，，，，阴影部分的面积．【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，内接于，为的直径，直线与相切于点，过点作，交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互补，连接，根据为的直径，得出，进而可得，再根据等边对等角，得出，根据平行线的性质可得，根据切线的性质可得，进而即可求解．解：如图所示，连接，∵为的直径，∴，∵∴，又∵∴，∵，∴，∵直线与相切于点C，∴，∴，故选：B．【变式2】（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为【答案】【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键．解：连接，设，，，，，，，，，，故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．【答案】或或2【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论