福建省漳州市2025届高三上学期第一次教学质量检测试题 数学 含解析

福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5m黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.若复数，则的虚部为（）A.B.C.D.23.已知为单位向量，若，则（）A.2B.C.1D.04.若，则（）A.B.C.D.5.已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（）A.1B.2C.4D.66.在正四棱锥中，.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，则几何体的体积为（）A.B.C.D.7.已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数，若，则（）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.9.已知，则（）A.B.C.D.10.已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（）A.B.是偶函数C.的图象关于点中心对称D.是的一个周期11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积大于4三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式的常数项为__________.13.已知数列的前项和为，当取最小值时，__________.14.2024年新高考数学I卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，的对边分别为，且满足__________.请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.（1）求；（2）若的面积为为的中点，求的最小值.16.（15分）某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为.从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为.设他第天选择餐厅用餐的概率为.（1）求的值及关于的表达式；（2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式.17.（15分）已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）.（1）证明：；（2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长.18.（17分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点.（1）求的方程；（2）直线与交于两点，（i）求面积的最大值；（ii）设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程.19.（17分）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求的极值差比系数的取值范围.福建省漳州市2025届高三毕业班第一次教学质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则：2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678ADBCBCCA二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.91011ACABCABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.613.314.13四､解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）【解析】解法一：（1）选择条件①，，则由正弦定理可得，即，所以，由，所以.选择条件②，，即，所以，由，则，所以，则.（2）由，解得.又，所以所以，当且仅当时等式成立，所以的最小值是.解法二：（1）同解法一；（2）因为为中点，所以，得，在中，由余弦定理得所以，当且仅当时等式成立，所以的最小值是.16.（15分）【解析】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则，且与互斥.根据题意得，，，，即.（2）又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，从而.17.（15分）【解析】解法一：（1）因为四边形是边长为4的菱形，并且，所以均为等边三角形，故，且，因为平面平面，且，所以平面因为平面，所以.（2）设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4，所以三棱锥的体积为，所以，因为，所以平面，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系；则，，设因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量为，又，故取，则，得，因为二面角的余弦值为，所以解得：或（舍去），此时.解法二：（1）同解法一；（2）如图，过点作，垂足为，连接，由（1）可得平面平面，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则即为二面角的平面角，所以，则，又，所以，在中，，则，设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4，所以三棱锥的体积为，所以因为，所以平面，因为平面，所以，即，在中，，又，所以.18.（17分）【解析】（1）设焦距为，依题意，解得又，所以，所以的方程为.（2）（i）设，因为，所以，，解得，所以，点到直线的距离，的面积当且仅当，即时，面积的最大值为.（ii）设，由，有，即因为，所以，故，于是有，所以点在定直线.19.（17分）【解析】（1）当时，，所以，当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为，所以，因此是极值可差比函数.（2）的定义