工程力学-第十三章

引言材料力学引言机械或工程结构物的各个基本组成部分，统称为构件。构件在受到载荷作用时，其形状和尺寸将发生一定变化，称为变形；同时构件内部将产生一定的内力。随着载荷的不断增加，构件的变形和内力也逐渐增加，但这种增加是有一定限度的。大多数构件若产生过大的变形，将不能正常工作；构件的内力若超过这个限度，构件就会被破坏。1．材料力学的任务引言为保证机械和工程结构物的正常工作，要求每一个构件都应有足够的承受外载荷的能力，这种承载能力通常由以下三个方面来衡量。（1）强度强度是指构件在载荷作用下应不至于被破坏或发生断裂，即强度表示构件抵抗破坏的能力。（2）刚度刚度是指构件在载荷作用下所产生的变形应不超过工程上允许的范围，即刚度表示构件抵抗变形的能力。在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若变形过大仍不能正常工作。（3）稳定性稳定性是指承受载荷作用时，构件在其原有形态下的平衡应保持为稳定的平衡，即稳定性表示构件保持其原有几何平衡形式的能力。引言制造构件的材料，虽然在物质结构与性质上千差万别，但有一个共同的特点，即均为固体，而且在荷载作用下都会发生变形，因此各种工程材料可统称为变形固体。对于变形固体制成的构件，在进行强度、刚度和稳定性分析时，常常忽略一些次要因素，将其抽象为理想化材料。2．变形固体的基本假设引言在材料力学中对变形固体作出如下基本假设。（1）连续性假设连续性假设是认为固体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，其结构是密实的。（2）均匀性假设均匀性假设是认为在固体内各点处的力学性能完全相同。就工程中使用的金属材料来说，它是由极小的晶粒组成的，各晶粒的性质并不完全相同。（3）各向同性假设各向同性假设是认为材料沿各个方向上的机械性质完全相同。具备这种属性的材料，称为各向同性材料，如玻璃、橡胶等。（4）小变形假设小变形假设是认为在外力作用下，任何材料制成的构件都会发生变形。引言随外力解除而消失的变形称为弹性变形；外力解除后不能消失的变形称为塑性变形，也称残余变形或永久变形。工程构件通常要反复承受荷载的作用，为保证构件的固有形态，一般不仅不允许产生塑性变形，即使是弹性变形也必须限制在微小的范围内。在材料力学中，假设构件在载荷作用下的变形是小变形，即这种变形与构件的原始尺寸相比是微不足道的，因此在研究构件的平衡与运动，用平衡方程确定构件的内力，或计算构件的变形时，均可忽略不计该小变形量，而按构件的原始尺寸进行分析计算。引言材料力学所研究的主要构件为杆件。杆件是纵向（轴线方向）尺寸远大于横向（横截面方向）尺寸的构件。决定杆件几何形状的因素有两个，即横截面和轴线。横截面是指垂直于杆的长度方向的截面；轴线是指杆的横截面形心的连线。基于这两个因素，杆件可分为直杆和曲杆，等截面杆和变截面杆等。梁、柱和传动轴等均可抽象为直杆。材料力学研究的重点是横截面面积相等、轴线为直线的杆件，即等直杆。3．杆件变形的基本形式引言作用在杆件上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是各式各样的。如对杆件变形进行仔细分析，就可发现其变形有如下四种基本形式。（1）拉伸或压缩变形杆件所受外力（或外力的合力）的作用线与杆件轴线重合，杆件的变形为轴向伸长或缩短，如图所示。桁架结构的杆件、气缸的活塞杆以及千斤顶的螺杆等均承受拉伸或压缩变形。（2）剪切变形在一对大小相等、方向相反，且作用线相距很近的力作用下，杆件的两部分沿外力方向发生相对错动，如图所示。机械中常用的连接件，如键、销钉、铆钉、螺栓等均承受剪切变形。引言（3）扭转变形在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用大小相等、方向相反的两个力偶矩，变形表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动，如图所示。汽车方向盘的转向轴、电机的主轴及各类传动轴等均承受扭转变形。（4）弯曲变形在包含杆件轴线的纵向平面内，作用大小相等、方向相反的一对力偶，或作用与轴线垂直的横向力，变形表现为杆件轴线由直线变为曲线，如图所示。车辆的车轴、起重机大梁、房屋结构中的横梁等均承受弯曲变形。第十三章轴向拉伸与压缩CONTNET01轴向拉伸与压缩的概念03轴向拉伸与压缩时截面上的应力02轴向拉伸与压缩时横截面上的内力04拉压变形与胡克定律05材料在拉伸与压缩时的力学性能06许用应力与安全系数07轴向拉伸与压缩时的强度计算08拉压超静定问题简介09应力集中的概念01轴向拉伸与压缩的概念13.1轴向拉伸与压缩的概念在工程实际中，许多构件都受到拉伸和压缩的作用。如图所示起重机吊架中，AB杆受到沿轴线的拉力作用，沿杆件轴线产生伸长变形；而BC杆则受到沿轴线的压力作用，沿轴线产生缩短变形。此外，如图所示用于连接的螺栓也属此类。13.1轴向拉伸与压缩的概念虽然这些杆件的形状不同，加载和连接方式有所差异，但都可以简化成如图所示的计算简图，其共同特点为：作用于直杆两端的两个外力等值、反向，且其作用线与杆的轴线重合，杆件产生沿轴线方向的伸长（或缩短）。这种变形形式称为轴向拉伸（或轴向压缩），这类杆件称为拉杆（或压杆）。02轴向拉伸与压缩时横截面上的内力13.2.1内力的概念构件工作时承受的载荷、自重和约束反力等均属外力。当构件受到外力作用时，构件的形状、尺寸以及内部各质点间的相对位置将发生变化，同时构件内各部分之间相互作用的力也将随之改变。这种由于外力作用而引起构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。其大小及其在构件内部的分布规律随外力的改变而变化，同时与构件的强度、刚度以及稳定性等问题密切相关。13.2.2截面法将构件假想地切开以显示内力，并由平衡条件建立内力与外力之间的关系方程，进而求解内力的方法，称为截面法。利用截面法求解内力的一般步骤为：（1）在需求内力处，用一个垂直于轴线的截面将构件假想地切成两部分；（2）任取其中一部分（通常取受力情况较简单的部分）为研究对象，弃去另一部分，在截面处用内力代替弃去部分对保留部分的作用；（3）建立保留部分的平衡方程，并求解该截面上的未知内力。13.2.3轴力与轴力图如图所示为一个两端受轴向拉力F作用的拉杆。欲求杆中任一横截面上的内力，可用截面І-І将杆假想地截开，取左段为研究对象，弃去右段。用分布内力的合力FN来替代右段对左段的作用，如图所示。建立平衡方程，可解得由于外力F的作用线是沿着杆的轴线，内力FN的作用线必通过杆的轴线，故内力FN又称为轴力。13.2.3轴力与轴力图轴力的正负，由杆的变形确定。当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，其轴力为正；反之，杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴力均按正向假设。应当指出，截面上的内力是分布在整个截面上的分布力系，利用截面法求得的是这些分布力系的合力。在实际问题中，杆件所受外力的情况可能比较复杂，这时直杆各段的轴力将不相同。为了表示轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件轴线的坐标表示轴力的数值，这样的图称为轴力图。13.2.3轴力与轴力图例13-1直杆AE受力如图所示，试求AB、BC、CD、DE各段的轴力，并作出轴力图。13.2.3轴力与轴力图03轴向拉伸与压缩时截面上的应力13.3.1横截面上的应力为了确定拉伸或压缩时直杆横截面上的应力，必须首先研究杆件的变形情况。为此，取一等直杆，先在它的侧面画上两条垂直于杆件轴线的横向线ab与cd，如图所示。然后，在杆的两端施加一对轴向拉力F，使杆发生伸长变形。可以观察到，两条横向线仍为垂直于杆件轴线的直线，只是平行移动到a1b1与c1d1的位置，如图所示。根据这一变形现象可作出平面假设：原为平面的横截面，在杆件变形后仍为平面。13.3.1横截面上的应力设想杆件是由无数纵向纤维组成的，则根据平面假设，可以推断出自杆的表面到内部所有纵向纤维的伸长都相等，所以各纵向纤维的受力亦相等。由此可以推知，应力在横截面上是均匀分布的，并且是垂直于横截面的正应力σ，如图所示。拉杆横截面上正应力σ的计算公式为：前面已经规定了轴力的正负号，由式可知，正应力亦有正负之别，即拉应力为正，压应力为负。13.3.1横截面上的应力13.3.2斜截面上的应力轴向拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时会沿斜截面发生，因此，有必要研究轴向拉（压）杆斜截面上的应力。如图所示拉杆，利用截面法，假想地用任意斜截面K-K将杆件分为两段，取左半段为研究对象，其受力如图所示。13.3.2斜截面上的应力杆件任一斜截面上的正应力σα和切应力τα均是截面方位角α的函数。这表明，过杆内同一点的不同斜截面上的应力是不同的。13.3.2斜截面上的应力04拉压变形与胡克定律13.4.1纵向变形与横向变形13.4.1纵向变形与横向变形13.4.2胡克定律式中，常数E称为材料的弹性模量。13.4.2胡克定律不同材料的弹性模量各不相同，工程中常用材料的弹性模量如表所示。材料名称E/GPaμ碳钢196～2160.24～0.28合金钢186～2060.25～0.30灰铸铁78.5～1570.23～0.27铜及铜合金72.6～1280.31～0.42铝合金700.3313.4.2胡克定律若应力未超过某一极限值，应力与应变成正比。13.4.2胡克定律05材料在拉伸与压缩时的力学性能13.5.1材料的拉伸与压缩试验力学性能是指材料在外力作用下，在强度和变形方面所表现出的性能。它是强度、刚度和稳定性计算时的重要依据。材料的力学性能，一般是通过各种试验测定的，这里只讨论在常温（室温）、静载（加载速度平稳缓慢）条件下材料在轴向拉压时的力学性能。拉压试验通常是在万能材料试验机上进行的。试验所用试件按国家有关标准加工而成。如图所示为常用的圆截面拉伸标准试件。13.5.2材料在拉伸时的力学性能1．低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢一般是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。由于低碳钢在工程上应用广泛，其力学性能又具有典型性，因此常用来作为塑性材料的代表，以描述塑性材料的特性。在进行拉伸试验时，试验机上的自动绘图装置能自动绘出载荷F与相应的伸长变形Δl之间的关系曲线，此曲线称为拉伸图或F-Δl曲线，如图所示。13.5.2材料在拉伸时的力学性能13.5.2材料在拉伸时的力学性能如图所示为Q235钢的应力-应变曲线。从图中可以看出，整个拉伸过程大致分为四个阶段。13.5.2材料在拉伸时的力学性能超过比例极限后，从A点到B点，σ与ε之间的关系不再是直线。但变形仍然是弹性的，即解除拉力后变形将完全消失。B点所对应的应力是材料出现弹性变形的极限值，称为弹性极限，用σe表示。在σ-ε曲线上，A、B两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分。在应力大于弹性极限后，如解除拉力，则试件变形的一部分随之消失，但还残留下一部分不能消失的变形。前者是弹性变形，后者就是塑性变形。13.5.2材料在拉伸时的力学性能（2）屈服阶段当应力超过B点增加到某一数值时，应变有非常明显的增加，而应力先是下降，然后在很小的范围内波动，在σ-ε曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。这种应力先是下降然后基本保持不变，而应变显著增加的现象，称为屈服。屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性质。通常就把下屈服极限作为材料的屈服极限，用σs来表示。Q235钢的屈服极限σs约为240MPa。当材料屈服时，将引起显著的塑性变形。而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限σs是衡量材料强度的重要指标。13.5.2材料在拉伸时的力学性能（3）强化阶段经过屈服阶段之后，材料又恢复了抵抗变形的能力，此时，要使它继续变形必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。在图中，强化阶段中的最高点D所对应的应力，是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用σb表示。Q235钢的强度极限σb约为400MPa。13.5.2材料在拉伸时的力学性能（4）颈缩阶段过E点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成颈缩现象，如图所示。颈缩部分横截面面积迅速减小，最终导致断裂。13.5.2材料在拉伸时的力学性能2．材料的塑性13.5.2材料在拉伸时的力学性能对于脆性材料，如铸铁等，从受拉到断裂，变形始终很小，既无屈服阶段，也无颈缩现象。如图所示为铸铁拉伸时的应力-应变曲线，断裂时的应变只不过为0.4%～0.5%，断口垂直于试件轴线。铸铁应力-应变曲线的另一特点是：当应力不大时，应力和应变就不成正比。但是，在实际使用的应力范围内，应力-应变曲线的曲率很小，因此，在实际计算时常以直线代替。3．铸铁拉伸时的力学性能13.5.3材料在压缩时的力学性能一般细长试件在轴向压缩时易因失稳而折损，所以在金属的压缩试验中，通常使用短粗圆柱形试件，其高度为直径的1.5～3倍。低碳钢压缩时的应力-应变曲线如图所示。可以看出，在屈服阶段以前，压缩曲线与拉伸曲线基本重合，压缩时的屈服应力与拉伸时的屈服应力大致相同。但是，随着压力继续增大，低碳钢试件将越压越“扁”，可以产生很大的塑性变形而不破裂，故无法测出材料的抗压强度极限。13.5.3材料在压缩时的力学性能铸铁压缩时的应力-应变曲线如图所示，与拉伸曲线相似，其正比阶段也较短。不同的是，抗压强度极限远高于抗拉强度极限（约3～4倍），所以脆性材料宜用作受压构件。铸铁试件压缩时的破裂断口与轴线约成45°倾角。06许用应力与安全系数13.6.1极限应力13.6.2许用应力与安全系数13.6.2许用应力与安全系数应该指出，一般塑性材料的抗拉和抗压是等强度的，所以塑性材料拉伸和压缩的许用应力相同。因为脆性材料的抗拉能力远低于抗压能力，所以脆性材料的许用拉应力小于其许用压应力。07轴向拉伸与压缩时的强度计算13.7.1强度条件13.7.2强度计算1．强度校核已知构件所受的外力、横截面积A和材料的许用应力[σ]，检验其是否满足强度条件，从而判断构件是否具有足够的强度。2．截面尺寸设计在满足强度条件的前提下，为构件设计合理的截面尺寸。已知构件的外力和许用应力，在满足强度条件的前提下，应有3．许可载荷计算在满足强度条件的前提下，计算构件的许可载荷。已知构件的横截面积A和材料的许用应力[σ]，根据强度条件确定许可荷载，即13.7.2强度计算13.7.2强度计算13.7.2强度计算08拉压超静定问题简介13.8.1超静定概念前面所讨论的问题中，其支反力和内力均可由静力平衡条件求得。这类问题称为静定问题，如图所示。有时为了提高杆系的强度和刚度，可在中间增加一根杆3，如图所示，这时未知内力有三个，而节点A的平衡方程只有两个，因而不能解出，即仅仅根据平衡方程不能确定全部未知力。这类问题称为超静定问题。未知力个数与独立平衡方程数目之差称为超静定次数。如图所示为一次超静定问题。13.8.1超静定概念解超静定问题时，除列出静力平衡方程外，关键在于建立足够数目的补充方程，从而联立求得全部未知力。这些补充方程，可由结构变形的几何条件以及变形和内力间的物理规律来建立。13.8.2装配应力所有构件在制造中都会有一些误差。这种误差在静定结构中不会引起任何内力，而在超静定结构中则有不同的特点。如图所示的三杆桁架结构，若杆3制造时短了δ，为了能将三根杆装配在一起，则必须将杆3拉长，杆1和2压短。这种强行装配会在杆3中产生拉应力，而在杆1和2中产生压应力。如误差δ较大，这种应力会达到很大的数值。这种由于装配而引起杆内产生的应力，称为装配应力。13.8.2装配应力装配应力是在