高等数学（第五版）课件 陈如邦 第十一章 概率

第十一章概率第一节

随机事件与概率一、随机事件1.随机现象在生产实践、科学实验和日常生活中，人们观察到的现象是各种各样的，但归纳起来大体上可分为两类：

另一类是随机现象，即在同样的条件下重复进行一系列试验，每次试验的可能结果不止一个，且事先不能预知将会出现哪一种结果，其结果呈现出不确定性.例如，向上抛掷一枚均匀硬币，落下后可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么；某射手向同一目标射击多次，各次射击的弹着点不尽相同，并且每次射击之前无法预知弹着点的确切位置；抽样检验产品质量的结果等等.人们经过长期实践并深入研究之后，发现随机现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但在大量重复试验下，其结果却呈现出某种规律性.例如，多次抛掷一枚均匀的硬币，得到正面朝上的次数大约是总抛掷次数的一半；某射手向同一目标射击的弹着点按照一定的规律分布等等.这种在大量重复试验下，其结果所呈现出的固有规律性，我们称之为随机现象的统计规律性.2.随机试验

尽管这些试验结果的情况不一样，但它们都具有以下三个特点：（1）试验在相同的条件下可以重复进行；（2）试验的所有可能结果在试验之前是明确可知道的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.将具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验.3.随机事件

随机事件具有以下特点：（1）在一次试验中是否发生是不确定的，即随机性；（2）在相同的条件下重复试验时，发生可能性的大小是确定的，即统计规律性.

二、事件的关系及运算在研究随机试验时常常会涉及多个事件，而这些事件之间往往是有关系的.了解事件间的相互关系，便于我们通过对简单事件的了解，去研究较复杂事件的规律.既然事件可以用集合来表示，那么事件的关系和运算自然可以按照集合论中集合之间的关系和运算来处理.

三、随机事件的概率随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，即有其偶然性的一面.但是在相同的条件下进行大量的重复试验就会发现随机事件的统计规律性.不同事件发生的可能性有大小之分，而且这种可能性的大小是事件本身固有的一种属性，它是可以用数字来度量的.概率就是刻划事件发生的可能性大小的数量指标.我们先介绍概率的统计定义.1.事件的频率与概率的统计定义

试验者投掷次数摩

根204810610.5181蒲

丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维

尼30000149940.4998表11-1“投掷硬币”试验的几个著名的记录

2.概率的古典定义

古典概型是等可能概型.实际应用中属于古典概型的情况是很多的，例如：掷硬币、摸球、产品质量检验等试验，都属于古典概型.

在解此例时，我们是采用罗列基本事件的方法，这种方法直观、清楚，但是太繁琐.在很多场合下，由于基本事件的总数很大，这种方法实际上是行不通的.因此在大多场合下，我们是利用计算排列数、组合数的方法，来分析求解古典概型问题的.

3.概率的性质由概率的定义，可以推出概率的一些基本性质：

第十一章概率第二节

随机事件概率的计算一、概率的加法公式

二、条件概率与乘法公式

例3

某企业有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人.现从中任选一名职工，试问：该职工技术优秀的概率是多少？已知选出的是男职工，他的技术优秀的概率是多少？

这一关系是从本例得出的，但它具有普遍意义.

2．乘法公式

三、全概率公式概率论中往往希望从已知的简单事件的概率推算出复杂事件的概率.为了达到这个目的，我们经常把一个复杂事件分解成若干个互不相容的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果.全概率公式在这里起着重要的作用.

为了介绍全概率公式，我们先引入完备事件组的概念.

四、事件的独立性

五、伯努利(Bernoulli)概型在一些实际问题中，我们关心的是试验中某个事件是否会发生.例如，抛掷一枚硬币，观察出现正面还是出现反面；从一批产品中任取一件观察它是否为正品；射击一次观察是否击中目标.这种只考虑两种可能结果的试验称为伯努利试验.

第十一章概率第三节

离散型随机变量及其分布一、随机变量的概念在第一节中，我们引进了随机现象、随机试验、随机事件等概念，在刻画随机事件时，我们采用语言描述等较繁琐的定性方法，且只是考虑个别（至多是几个）随机事件的概率.为了深入全面地研究随机现象，充分认识随机现象的统计规律性，使定量的数学处理成为可能，就必须将随机试验的结果数量化，把随机试验的结果与实数对应起来，建立类似实函数的映射，这是“结果数量化”的有效可行的简单方法，这种随机试验结果与实数的对应关系，我们称之为随机变量.随机变量的引入，使我们能够利用微积分的方法来研究随机试验，用随机变量来描述随机现象是概率论中最重要的方法.

上述3例中，随机试验的结果都可以直接用数量来表示，但也有一些随机试验的结果不是用数量表示的，而是表现为某种属性，此时也可数量化.

由此可见，引入随机变量后，对随机事件的研究即可转化为对随机变量的研究，为利用微积分这个数学工具创造了条件.

二、离散型随机变量及其分布

例如：例1中随机变量ξ的分布律为

例4

设随机变量ξ的分布律为求常数c.

三、几种常用的离散型随机变量的分布

两点分布是最简单又常见的概率分布，例如抛硬币试验，检验产品质量是否合格，药物的毒性试验等都可以用两点分布来描述.

显然，两点分布是二项分布的特殊情况.

具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的，例如，某一时段进入某商店的顾客数，某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数，一天内110报警台接到的报警的次数，在一个时间间隔内某种放射性物质发出的粒子数等等，都服从泊松分布.

例9

一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算（1）其中至少有两件是废品的概率；（2）其中不超过5件废品的概率.

第十一章概率第四节

连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量及其概率密度

反之，若一个函数具有上述两条性质，则它一定是某个连续型随机变量的密度函数.

二．分布函数

2．离散型随机变量的分布函数

3．连续型随机变量的分布函数

三、几种常用的连续型随机变量的分布

正态分布是最常见的一种分布，在实际应用中，许多随机变量服从或接近服从正态分布，例如，测量误差、农作物的收获量、人的身高与体重、射击时弹着点与靶心的距离和某地区的年降水量等都可认为服从正态分布.

有下列计算概率的公式：

四、随机变量函数的分布

第十一章概率第五节

随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望

求该射手的平均每枪击中的环数.

所以在研究随机变量取值的平均值时，不仅要考虑它的各个取值，还应同时考虑取各个值相对应的概率.

由定义可知，数学期望就是以概率为权数的加权平均，它刻划了随机变量取值的平均大小.由于一个随机变量完全由它的分布所决定，因此随机变量的期望又称为分布