专题03 完全平方的几何背景（两大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破-培优新方法》（北师大版）

专题03完全平方的几何背景（两大类型）专题说明专题说明完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容.【新方法解读】知识点1：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点2：拓展、补充公式；；；.【典例分析】【典例1】（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．【变式1-1】（2022秋•襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．【变式1-2】（2022春•金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值；（2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．【变式1-3】（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值．（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【变式2-1】（2022秋•松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．（1）通过计算图①中阴影部分的面积可以得到的数学等式是；（2）如图②，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x．①求AE﹣AG的值；②若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积．【变式2-2】（2022秋•丰满区期末）问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．类比探究类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．解决问题（1）计算：（2m﹣n）2＝；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【变式2-3】（2022秋•西岗区校级期末）【探究】若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．【夯实基础】1．（2022秋•河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（）A．一组 B．两组 C．三组 D．四组2．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b23．（2022秋•天山区校级期末）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．2ab D．4ab4．（2021秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）5．（2022秋•大连期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的|小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式是．6．（2022春•榆林期末）如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为a﹣b的长方形和一个边长为a﹣b的小正方形．（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）（2）当a＝5，b＝2时，求阴影部分的面积．7．（202252．（2022春•普宁市期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：，方法2：；（2）从（1）中你能得到怎样的等式？；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．8．（2022春•郫都区期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为（a+b），小正方形（阴影部分）的边长为（a﹣b）．（1）观察图1，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者的数量关系式；（2）用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若p2+q2＝20，p+q＝6，求图2中阴影部分的面积；②如图3，四边形ABCD、四边形MEDO和四边形NGDH都是正方形，四边形PODH是长方形，若AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，求图3中阴影部分的面积．9.（秋•西城区校级期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）10．（2022秋•南关区校级期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．11．（2022•南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板．图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是；已知（b+a）2＝25，ab＝4，则（b﹣a）2＝；（2）利用图1的结论，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为；（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值．12．（2022春•明溪县月考）阅读理解：若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值，解：设（210﹣x）＝a，（x﹣200）＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝（210﹣x）+（x﹣200）＝10，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508，即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．解决问题（1）若x满足（2022﹣x）（x﹣2010）＝22，则（2022﹣x）2+（x﹣2010）2＝；（2）若（2022﹣x）2+（x﹣2002）2＝2020，求（2022﹣x）（x﹣2002）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？13．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．14．（2022春•涟源市校级期末）阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（2）若x满足（2017﹣x）2+（2015﹣x）2＝4038，求（2017﹣x）（2015﹣x）的值；（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．【能力提升】15．（2022秋•荆门期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．16．（2022秋•平桥区校级期末）有两种正方形A、正方形B，其边长分别为a，b．现将正方形B放在正方形A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，且图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．（1）正方形A、正方形B的面积之和为．（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A和正方形B外，还需要个长度分别a，b的长方形．（3）将3个正方形A和2个正方形B按图3所示的方式摆放，求阴影部分的面积．17．（2022秋•晋江市期中）如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与端点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a＞b）．（1）分别写出图1和图2中阴影部分的面积S1、S2（用含a、b的代数式表示）；（2）如果a+b＝6，ab＝4，求S1的值；（3）当S1＜S2时，求的取值范围．专题03完全平方的几何背景（两大类型）专题说明专题说明完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的用.一方面完全平方公式这一教学内容是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，又为学习《因式分解》《配方法》等知识奠定了基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容.【新方法解读】知识点1：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点2：拓展、补充公式；；；.【典例分析】【典例1】（2022秋•长寿区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝7，x•y＝，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，求（2022﹣m）（m﹣2023）的值．【解答】解：（1）根据题意，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝7，x•y＝，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（7）2﹣4×＝49﹣13＝36，∴x﹣y＝±6．故答案为：±6．（3）∵[（2022﹣m）+（m﹣2023）]2＝（2022﹣m）2+（m﹣2023）2+2（2022﹣m）（m﹣2023），又∵（2022﹣m）2+（m﹣2023）2＝5，∴1＝5+2（2022﹣m）（m﹣2023），∴（2022﹣m）（m﹣2023）＝﹣2．【变式1-1】（2022秋•襄州区期末）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）m﹣n．（2分）（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）【变式1-2】（2022春•金水区期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者之间的等量关系式：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：（a+b）3＝a3+b3+3ab（a+b）．利用上面所得的结论解答下列问题：（1）已知x+y＝6，xy＝，求（x﹣y）2的值；（2）已知a+b＝6，ab＝7，求a3+b3的值．【解答】解：【知识生成】（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；【知识迁移】（1）∵x+y＝6，xy＝，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣11＝25；（2）∵a+b＝6，ab＝7，∴a3+b3＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝216﹣126＝90．【变式1-3】（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：；（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，还可以表示为：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，则a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．（2）若x满足（6﹣x）（3﹣x）＝1，求代数式（9﹣2x）2的值．（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝3，CF＝5，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）设（6﹣x）＝a，（3﹣x）＝b，（6﹣x）（3﹣x）＝ab＝1，a﹣b＝（6﹣x）﹣（3﹣x）＝3，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝13，∴（a+b）2＝13，∵（6﹣x）+（3﹣x）＝a+b，∴9﹣2x＝a+b，∴（9﹣2x）2＝（a+b）2＝13；（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，∴MF＝DE＝x﹣3，DF＝x﹣5，∴（x﹣3）•（x﹣5）＝48，∴（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣3）2﹣（x﹣5）2，设（x﹣3）＝a，（x﹣5）＝b，则（x﹣3）（x﹣5）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣3）2﹣（x﹣5）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【变式2-1】（2022秋•松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．（1）通过计算图①中阴影部分的面积可以得到的数学等式是；（2）如图②，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x．①求AE﹣AG的值；②若长方形AEFG的面积是，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①由题意得：AE＝x﹣k，AG＝x﹣（k+1）＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝（x﹣k）﹣（x﹣k﹣1）＝x﹣k﹣x+k+1＝1，即AE﹣AG的值是1；②∵长方形AEFG的面积是，∴AE•AG＝，∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，∴AE2+AG2＝（AE﹣AG）2+2AE•AG＝1+＝，∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，∴（AE+AG）2＝+＝，∴AE+AG＝，∴阴影部分的面积＝正方形GFIH的面积﹣正方形AGJK的面积＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）＝×1＝．【变式2-2】（2022秋•丰满区期末）问题背景如图，图1，图2分别是边长为（a+b），a的正方形，由图1易得（a+b）2＝a2+2ab+b2．类比探究类比由图1易得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．解决问题（1）计算：（2m﹣n）2＝；（2）运用完全平方公式计算：1052；（3）已知（x+y）2＝12，xy＝2，求（x﹣y）2的值．【解答】解：类比探究：由图2中的已知条件可以得出完全平方的另一个公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；解决问题：（1）（2m﹣n）2＝（2m）2﹣2×2m×n+n2＝4m2﹣4mn+n2；故答案为：4m2﹣4mn+n2；（2）1052＝（100+5）2＝1002+2×100×5+52＝10000+1000+25＝11025；（3）因为（x+y）2＝12，xy＝2，所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝122﹣4×2＝144﹣8＝136．【变式2-3】（2022秋•西岗区校级期末）【探究】若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求阴影部分的面积．【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5；（2）①∵四边形EMFD是长方形，AE＝1，四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，DF＝CD﹣CF＝x﹣3，故答案为：x﹣1，x﹣3；②∵长方形EMFD的面积是8，∴MF•DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，阴影部分的面积＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，∴a+b＝±6，又∵a+b＞0，∴a+b＝6，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．即阴影部分的面积12．【夯实基础】1．（2022秋•河西区期末）分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个由这个图形可以验证出的代数公式，其中图形与公式之间的对应关系表达相符的有（）A．一组 B．两组 C．三组 D．四组【答案】D【解答】解：图1，整体长方形的长为a+b+c，宽为d，因此面积为（a+b+c）d，整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为ad、bd、cd，所以有：（a+b+c）d＝ad+bd+cd，因此图1符合题意；图2，整体长方形的长为a+b，宽为c+d，因此面积为（a+b）（c+d），整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd，所以有：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，因此图2符合题意；图3，整体正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为a2+2ab+b2，所以有：（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此图3符合题意；图4，整体正方形的边长为a，因此面积为a2，整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，较小正方形的边长为b，因此面积为b2，另外两个长方形的长为（a﹣b），宽为b，则面积为（a﹣b）×b×2＝2ab﹣2b2，所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2ab﹣2b2，即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此图4符合题意；综上所述，四组均符合题意；故选：D．2．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】C【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故选：C．3．（2022秋•天山区校级期末）如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为（）A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．2ab D．4ab【答案】C【解答】解：整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，四个等腰直角三角形的面积和为a2+b2，所以阴影部分的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，故选：C．4．（2021秋•安岳县期末）将四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b）按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a﹣b）2+2ab C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）【答案】D【解答】解：图1阴影部分的面积为×2a×2b＝2ab；图2阴影部分的面积利用看作边长为（a+b）的面积减去中间空白正方形的面积，即（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，因此有2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），故选：D．5．（2022秋•大连期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的|小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式是．【答案】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【解答】解：阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．6．（2022春•榆林期末）如图，在一个边长为2a+b的大正方形纸片中，剪去一个长为2a+b、宽为a﹣b的长方形和一个边长为a﹣b的小正方形．（1）用含a、b的式子表示阴影部分的面积；（结果化为最简）（2）当a＝5，b＝2时，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：（2a+b）2﹣（2a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2＝4a2+4ab+b2﹣（2a2﹣2ab+ab﹣b2）﹣（a2﹣2ab+b2）＝4a2+4ab+b2﹣2a2+2ab﹣ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝a2+7ab+b2；（2）当a＝5，b＝2时，原式＝25+7×5×2+4＝99，即阴影部分的面积为99．7．（202252．（2022春•普宁市期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：，方法2：；（2）从（1）中你能得到怎样的等式？；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知x+y＝6，xy＝2，求x2+y2的值；②已知（2022﹣x）2+（x﹣2021）2＝9，求（2022﹣x）（x﹣2021）的值．【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即a2+b2，方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵0.5xy＝2，∴xy＝4，又∵x+y＝6，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝36﹣8＝28；②设a＝2022﹣x，b＝x﹣2021，则a2+b2＝9，a+b＝1，∴2（2022﹣x）（x﹣2021）＝2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝1﹣9＝﹣8，∴（2022﹣x）（x﹣2021）＝﹣4，答：（2022﹣x）（x﹣2021）的值为﹣4．8．（2022春•郫都区期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为（a+b），小正方形（阴影部分）的边长为（a﹣b）．（1）观察图1，直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者的数量关系式；（2）用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若p2+q2＝20，p+q＝6，求图2中阴影部分的面积；②如图3，四边形ABCD、四边形MEDO和四边形NGDH都是正方形，四边形PODH是长方形，若AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，求图3中阴影部分的面积．【解答】解：（1）根据题意可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）由（1）可得ab＝，∴pq＝，把p2+q2＝20，p+q＝6代入上式，pq＝＝8．∴图2中阴影部分的面积为2×pq＝2×＝8．（3）根据题意可得，设AB＝x，DG＝CD﹣CG＝x﹣15，DE＝AD﹣AE＝x﹣5，设x﹣5＝a，x﹣15＝b，则ab＝300，a﹣b＝（x﹣5）﹣（x﹣15）＝10，图中阴影部分的面积等于a2+2ab+b2＝（a+b）2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×300＝1300．图3中阴影部分的面积1300．9.（秋•西城区校级期中）我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，（2）a2+b2＝c2．理由如下：∵S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，S正方形ABCD＝ab×4+c2，∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．10．（2022秋•南关区校级期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）若（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，求（4﹣x）2+（x﹣5）2的值；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【解答】解：（1）∵x+y＝8，∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，又∵x2+y2＝40，∴2xy＝64﹣40，∴xy＝12，答：xy的值为12；（2）设m＝4﹣x，n＝x﹣5，则m+n＝﹣1，mn＝（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（x﹣5）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17；（3）设AE＝a，FG＝b，则AB＝6＝a+b，由题意可知S1+S2＝a2+b2＝18，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴36＝18+2ab，∴ab＝9，∴阴影部分的面积为ab＝，答：阴影部分的面积为．11．（2022•南京模拟）（1）如图1是用4个全等的长方形纸板拼成一个“回形”正方形纸板．图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是；已知（b+a）2＝25，ab＝4，则（b﹣a）2＝；（2）利用图1的结论，若（3x﹣y）2＝64，（3x+y）2＝100，求xy的值．（3）如图2，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）图中阴影部分面积用不同的代数式表示可得一个恒等式，这个等式是；用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为；（4）如图2，若每块小矩形的面积为8cm2，阴影部分面积（四个正方形的面积和）为40cm2，试求（m+n）2的值．【解答】解：（1）由图可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（b﹣a），图中阴影部分面积：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab，∵（b+a）2＝25，ab＝4，∴（b+a）2＝25b2+2ab+a2＝25b2+a2+2×4＝25b2+a2＝17，∴（b﹣a）2＝b2+a2﹣2ab＝17﹣2×4＝9．故答案为：（a+b）2﹣（b﹣a）2＝4ab；9；（2）∵（3x+y）2﹣（3x﹣y）2＝12xy＝100﹣64＝36，∴xy＝3；（3）由图可知，矩形的长为（2m+n）m，宽为（m+2n）m，∴阴影的面积为：（2m+n）（m+2n）﹣5mn＝2m2+2n2，由图可知，所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和为：6m+6n；（4）由题意得：2m2+2n2＝40，mn＝8，∴m2+n2＝20，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2＝20+2×8＝36，∴（m+n）2的值为36．12．（2022春•明溪县月考）阅读理解：若x满足（210﹣x）（x﹣200）＝﹣204，试求（210﹣x）2+（x﹣200）2的值，解：设（210﹣x）＝a，（x﹣200）＝b，则ab＝﹣204，且a+b＝（210﹣x）+（x﹣200）＝10，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣204）＝508，即（210﹣x）2+（x﹣200）2的值为508．解决问题（1）若x满足（2022﹣x）（x﹣2010）＝22，则（2022﹣x）2+（x﹣2010）2＝；（2）若（2022﹣x）2+（x﹣2002）2＝2020，求（2022﹣x）（x﹣2002）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？【解答】解：（1）设（2022﹣x）＝a，（x﹣2010）＝b，则ab＝22，且a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2010）＝12，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣2×22＝100，即（2022﹣x）2+（x﹣2010）2的值为100，故答案为：100；（2）设（2022﹣x）＝a，（x﹣2002）＝b，则a+b＝（2022﹣x）+（x﹣2002）＝20，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2ab＝2020，解得ab＝﹣810，即（2022﹣x）（x﹣2002）的值为﹣810；（3）由图及题中条件可知正方形CFGH的边长为10﹣x，正方形CEMN的边长为6﹣x，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到（10﹣x）（x﹣6）＝﹣40，∴阴影部分面积为（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2，设（10﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则ab＝﹣40，且a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴（10﹣x）2+（6﹣x）2＝（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96，∴阴影部分面积为96．13．（2022春•盐湖区期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形．然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）已知a+b＝10，ab＝3，求图2中空白部分的正方形的面积．（3）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系．（4）拓展提升：当（x﹣10）（20﹣x）＝8时，求（2x﹣30）2．【解答】解：（1）图2中的空白部分的正方形的边长＝a﹣b．（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×3＝100﹣12＝88．（3）图2中大正方形的面积＝（a+b）2，空白部分的正方形面积＝（a﹣b）2，阴影的面积＝4ab，∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积+阴影的面积，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（4）∵（x﹣10）+（20﹣x）＝x﹣10+20﹣x＝10，∴[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，由（3）的结论可知，[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4（x﹣10）（20﹣x），把[（x﹣10）+（20﹣x）]2＝100，（x﹣10）（20﹣x）＝8代入，得100＝[（x﹣10）﹣（20﹣x）]2+4×8，100＝（x﹣10﹣20+x）2+32，68＝（2x﹣30）2，即（2x﹣30）2＝68．14．（2022春•涟源市校级期末）阅读理解：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．解决问题：（1）若x满足（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10