专题01 幂运算（三大类型）-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破-培优新方法》（北师大版）

专题01幂运算（三大类型）专题说明专题说明同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法是整式乘除运算的基础，也是进行整式乘除运算的依据，学好幂的有关运算十分的重要。【新方法解读】类型一正向运用幂的运算的性质类型二逆向运用幂的运算性质方法：将指数相加二点幂转化为同底数幂的积，即（m、n都是正整数）；将指数相乘的幂转化为幂的乘方，即（m、n都是正整数）；将相同指数幂的积转化为积的乘方，即（n为正整数）。类型三来灵活运用幂的运算性质方法：若幂的底数不同，要先化为同底数幂，再灵活运用幂的运算性质求解‘若求指数中所含字母的值，则通常需要利用指数关系构造方程求解【典例分析】【典例1】计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5【变式1-1】计算﹣x2•x的结果是（）A．x2 B．﹣x2 C．x3 D．﹣x3【变式1-2】计算x3•（﹣x2）的结果是（）A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5【变式1-3】（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6．【典例2】计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．【变式2-1】计算：（1）a•a2•a3；（2）（﹣2ab）2；（3）（a3）5；（4）（﹣a）6÷（﹣a）2÷（﹣a）2．【变式2-2】计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【变式2-3】计算题：（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；（2）（5a2+2a）﹣4（2+2a2）．【典例3】（1）已知：am＝﹣2，an＝5，求am+n的值．（2）已知：x+2y+1＝3，求3x•9y×3的值．【变式3-1】已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（）A．8 B．3 C．64 D．12【变式3-2】（1）已知10m＝4，10n＝5，求10m+n的值．（2）如果a+3b＝4，求3a×27b的值．【典例4】已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【变式4-1】已知am＝4，an＝8，求a3m﹣2n的值．【变式4-2】（1）已知3a＝4，3b＝5，求32a﹣3b的值；（2）若3x+2y﹣3＝0，求8x•4y．【典例5】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【变式5-1】（2018秋•渝中区校级期中）比较350，440，530的大小关系为（）A．530＜350＜440 B．350＜440＜530 C．530＜440＜350 D．440＜350＜530【典例6】（2021春•未央区月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b+c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【变式6】（2021春•未央区校级月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b﹣c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【夯实基础】1．若24×22＝2m，则m的值为（）A．8 B．6 C．5 D．22．已知am＝3，an＝，则a2m+3n的值是（）A． B．3 C．9 D．3．下列式子运算正确的是（）A．m4•m4＝2m4 B．m2+m3＝m5 C．（m3）2＝m6 D．（﹣3m）2＝3m24．如果ax＝4，ay＝5，则ax+y＝（）A．9 B．20 C．1 D．5．若2a﹣3b＝2，则52a÷53b＝（）A．5 B．7 C．10 D．256．若2a+3b﹣3＝0，则4a×23b的值为（）A．23 B．24 C．25 D．267．若a＝255，b＝344，c＝433，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a8．若2•8n•16n＝222，求n的值．9.计算：y3•（﹣y）•（﹣y）5•（﹣y）2．10．计算：（﹣y2）4÷y4•（﹣y）3．11．计算：y3•y2﹣（3y2）3+y9÷y4．12．计算：（﹣a）•（﹣a）7÷（a2）3．13．若a3•am•a2m+1＝a25，求m的值．14．已知2a＝5，2b＝3，求2a+b+3的值．15．已知：am＝3，an＝5，求（1）am+n的值．（2）a3m﹣2n的值．专题01幂运算（三大类型）专题说明专题说明同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法是整式乘除运算的基础，也是进行整式乘除运算的依据，学好幂的有关运算十分的重要。【新方法解读】类型一正向运用幂的运算的性质类型二逆向运用幂的运算性质方法：将指数相加二点幂转化为同底数幂的积，即（m、n都是正整数）；将指数相乘的幂转化为幂的乘方，即（m、n都是正整数）；将相同指数幂的积转化为积的乘方，即（n为正整数）。类型三来灵活运用幂的运算性质方法：若幂的底数不同，要先化为同底数幂，再灵活运用幂的运算性质求解‘若求指数中所含字母的值，则通常需要利用指数关系构造方程求解【典例分析】【典例1】计算：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5【解答】解：（1）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝b2×b2×b3＝b7；（2）（2﹣y）3×（y﹣2）2×（y﹣2）5＝﹣（y﹣2）3（y﹣2）7＝﹣（y﹣2）10．【变式1-1】计算﹣x2•x的结果是（）A．x2 B．﹣x2 C．x3 D．﹣x3【答案】D【解答】解：﹣x2•x＝﹣x2+1＝﹣x3．故选：D．【变式1-2】计算x3•（﹣x2）的结果是（）A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5【答案】B【解答】解：x3•（﹣x2）＝﹣x5，故选：B．【变式1-3】（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6．【解答】解：（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6＝﹣（x﹣y）•（x﹣y）2•（x﹣y）3﹣（x﹣y）6＝﹣（x﹣y）6﹣（x﹣y）6＝﹣2（x﹣y）6．【典例2】计算：a2•（﹣a4）3÷（a3）2．【解答】解：a2•（﹣a4）3÷（a3）2＝a2•（﹣a12）÷a6＝﹣a14÷a6＝﹣a8．【变式2-1】计算：（1）a•a2•a3；（2）（﹣2ab）2；（3）（a3）5；（4）（﹣a）6÷（﹣a）2÷（﹣a）2．【解答】解：（1）a•a2•a3＝a3•a3＝a6．（2）（﹣2ab）2＝4a2b2．（3）（a3）5＝a15．（4）（﹣a）6÷（﹣a）2÷（﹣a）2＝a6÷a2÷a2＝a4÷a2＝a2．【变式2-2】计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【解答】解：原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2＝x9﹣x9＝0．【变式2-3】计算题：（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5；（2）（5a2+2a）﹣4（2+2a2）．【解答】解：（1）（a2）3•（a2）4÷（a2）5＝a6•a8÷a10＝a14÷a10＝a4；（2）（5a2+2a）﹣4（2+2a2）＝5a2+2a﹣8﹣8a2＝﹣3a2+2a﹣8．【典例3】（1）已知：am＝﹣2，an＝5，求am+n的值．（2）已知：x+2y+1＝3，求3x•9y×3的值．【解答】解：（1）∵am＝﹣2，an＝5，∴am+n＝am•an＝（﹣2）×5＝﹣10；（2）∵x+2y+1＝3，∴x+2y＝2，∴3x•9y×3＝3x•（32）y×3＝3x•32y×3＝3x+2y×3＝32×3＝9×3＝27．【变式3-1】已知am＝6，an＝2，则am+n的值等于（）A．8 B．3 C．64 D．12【答案】D【解答】解：∵am+n＝am•an，且am＝6，an＝2，∴am+n＝6×2＝12．故选：D．【变式3-2】（1）已知10m＝4，10n＝5，求10m+n的值．（2）如果a+3b＝4，求3a×27b的值．【解答】解：（1）10m+n＝10m•10n＝5×4＝20；（2）3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝34＝81．【典例4】已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【解答】解：∵3m＝6，9n＝2，∴32m＝（3m）2＝36，34n＝（32n）2＝（9n）2＝4，则32m﹣4n＝＝＝9【变式4-1】已知am＝4，an＝8，求a3m﹣2n的值．【解答】解：∵am＝4，an＝8，∴a3m﹣2n＝（am）3÷（an）2＝43÷82＝1．【变式4-2】（1）已知3a＝4，3b＝5，求32a﹣3b的值；（2）若3x+2y﹣3＝0，求8x•4y．【解答】解：（1）∵3a＝4，3b＝5，∴32a﹣3b＝32a÷33b＝（3a）2÷（3b）3＝42÷53＝16÷125＝；（2）∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x•4y＝（23）x•（22）y＝23x•22y＝23x+2y＝23＝8．【典例5】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【答案】A【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式5-1】（2018秋•渝中区校级期中）比较350，440，530的大小关系为（）A．530＜350＜440 B．350＜440＜530 C．530＜440＜350 D．440＜350＜530【答案】A【解答】解：350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，∵125＜243＜256，∴530＜350＜440，故选：A．【典例6】（2021春•未央区月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b+c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【答案】（1）25（2）100（3）c＝a+2b【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b+c＝3a÷3b×3c＝5÷4×80＝100；（3）∵3a•32b＝5×42＝80＝3c，∴c＝a+2b；故答案为：c＝a+2b．【变式6】（2021春•未央区校级月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b﹣c的值．（3）字母a，b，c之间的数量关系为．【答案】（1）25（2）（3）c＝a+2b．【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b﹣c＝3a÷3b÷3c＝＝；（3）∵3a•32b＝3c∴c＝a+2b；故答案为：c＝a+2b．【夯实基础】1．若24×22＝2m，则m的值为（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】B【解答】解：∵24×22＝24+2＝26＝2m，∴m＝6，故选：B．2．已知am＝3，an＝，则a2m+3n的值是（）A． B．3 C．9 D．【答案】A【解答】解：∵am＝3，an＝，∴a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝32×（）3＝9×＝，故选：A．3．下列式子运算正确的是（）A．m4•m4＝2m4 B．m2+m3＝m5 C．（m3）2＝m6 D．（﹣3m）2＝3m2【答案】C【解答】解：A、m4•m4＝m8，故A不符合题意；B、m2与m3不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、（m3）2＝m6，故C符合题意；D、（﹣3m）2＝9m2，故D不符合题意；故选：C．4．如果ax＝4，ay＝5，则ax+y＝（）A．9 B．20 C．1 D．【答案】B【解答】解：∵ax＝4，ay＝5，∴ax+y＝ax•ay＝4×5＝20，故选：B．5．若2a﹣3b＝2，则52a÷53b＝（）A．5 B．7 C．10 D．25【答案】D【解答】解：∵2a﹣3b＝2，∴52a÷53b＝52a﹣3b＝52＝25．故选：D．6．若2a+3b﹣3＝0，则4a×23b的值为（）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】A【解答】解：∵2a+3b﹣3＝0，∴2a+3b＝3，∴4a×23b＝（22）a×23b＝22a×23b＝22a+3b＝23，故选：A．7．若a＝255，b＝344，c＝433，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【答案】C【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411，∵81＞64＞32，∴8111＞6411＞3211，∴b＞c＞a，故选C8．若2•8n•16n＝222，求n的值．【解答】解：2•