6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版

教学设计

课程基本信息课题平面向量数乘运算的坐标表示教学目标1.会类比向量加、减法运算的坐标表示，得到平面向量数乘运算的坐标表示，提升逻辑推理素养.2.能用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向量共线求点的坐标，提升数学运算素养.教学内容教学重点：1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.

2.能用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向量共线求点的坐标.

教学难点：1.理解用坐标表示两向量共线的条件.

2.理解利用向量共线求定比分点的坐标.教学过程一、复习旧知，创设问题，引入新知1、向量加、减运算的坐标表示：a=(x

a+b=(x1+x2,y1+2、已知a=xi+yj，则λa=λ(x设计意图：通过复习前面所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.创设问题，引入新知教师引导学生思考：已知a=x,y，教师讲解根据向量的坐标表示，a用i与j可以表示成λa=λ(xi+yj)=λ(xi)+λ(yj)=λxi+λy小结：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.即已知a=(x,y)，则λa=(设计意图：通过学生的思考，教师的讲解使学生真正理解向量的数乘运算的坐标表示，提升学生逻辑推理素养.二、巩固新知（一）线性运算的坐标表示例1：已知a=(−1,2)，b求：（1）2a+3b

；（2）[解析]（1）2a+3（2）a（3）12小结：a=(x1,y1),b=(x2,y2设计意图：通过教师讲解，学生动手练习，帮助学生巩固向量加、减法及数乘运算的坐标表示，让学生理解向量的线性坐标运算法则，发展学生的数学运算素养.（二）探究向量共线的坐标表示已知向量a=(x1,y1请你试着写出来并加以验证.学生复习回顾两个向量共线的充要条件，学习课本31页.例2：判断正误（1）若向量a=(x1,y1)，b=(（2）若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y（3）若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y（4）向量a=(1,3)与向量b[答案]（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确.小结：两个向量共线的特征1.代数方面：当b≠0时，a∥注意：充要性的前提条件.2.坐标方面：已知a=(x1,y1)，（1）x1

y注意：用坐标交叉之积相等解决共线问题的优点是不需要引入参数“λ”.（2）当x2

y2≠0时，注意：用坐标成比例解决共线问题的优点是有助于记忆，不易出现搭配错误.3.几何方面：已知A

,B

,C三点共线,则注意：由此可得课本15页的例7设计意图：学生通过探究，可以更加清晰的理解知识的来龙去脉，再配以概念判断，使学生清楚明白知识的使用条件，最后给学生总结出相关结论，让学生经历概括总结所学知识的过程，使学生从中感悟抽象、概括等重要的数学学习方式，体会数学抽象、逻辑推理对数学知识产生发展的重要作用.例3.已知向量a=(4,2)，b=(6,y)[解析]∵a∥b,∴4y−2×6=0设计意图：帮助学生运用向量共线的坐标表示去进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养.例4.已知A(−1,−1)，B(1,3)，[解析]∵AB又∵2×6−3×4=0又直线AB，直线AC有公共点A∴A,B,C三点共线.设计意图：通过学生操作、观察，进一步巩固所学知识，提高学生运用向量知识解决问题的能力，发展学生直观想象和逻辑推理素养.三、探究：等分点问题探究：设P是线段P1P2上的一点，点P1,P2的坐标分别是（x（1）当P是线段P1P2（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，试确定点[解析]（1）OP=

∴点P的坐标是(x1（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况即P当P1POP∴点P的坐标是(2当P1POP=∴点P的坐标是(x小结：1、中点坐标公式已知P1（x1,y1）,P2（x2,y2、线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)，点设计意图：学生通过探究学会利用向量共线解决几何问题，体会知识间的联系，认识数学解题的过程就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程，提高学生的解决问题、分析问题的能力.四、课堂总结：1、知识点：向量数乘运算的坐标表示;两个向量共线的特征，等分点的坐标；2、数学思想：数形结合、方程的思想、类比的思想;3、易错点：x1设计意图:通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.五、目标检测【基础过关】1.已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12) B．(23,12)C．(7,0) D．(－7,0)[解析]由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12).故选A设计意图：考查学生运用坐标求解向量线性运算的能力.2.若a＝(eq\r(3)，cosα)，b＝(3，sinα)，且a∥b，则锐角α＝__.[解析]∵a＝(eq\r(3)，cosα)，b＝(3，sinα)，a∥b，∴eq\r(3)sinα－3cosα＝0，即tanα＝eq\r(3)，又0<α<eq\f(π,2)，故α＝eq\f(π,3).设计意图：考查学生运用向量共线的坐标表示进行推理计算的能力.【拓展提升】3.设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C[解析]若，A，B，C三点共线，则AB，AC共线，∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝解得k＝－2或k＝11．设计意图：考查学生将三点共线问题转化为方程组问