新人教A版必修一 函数及其表示 教案

函数及其表示

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

函数及其表示A了解函数的相关概念及常用的表示少考

方法。

函数的相关概念Blo理解函数的定义及构成函数的要少考

素；

2o会求一些简单函数的定义域和值

域；

3.亍解同一函数的定义，会判断两

个函数是否为同一函数.

函数的表示方法C在实际情境中，会根据不同的需要少考

选择恰当的方法(如图象法、列表

法、解析法)表示函数。

知识提要

函数及其表示

函数及其表示主要包括函数的概念、函数的表示方法以及映射.

函数的相关概念

•函数的概念设a,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系小使对于集合a中的任意

一个数居在集合B中都有唯一确定的数f(%)和它对应，那么就称六4TB为从集合A到集合B

的一"个函数(function).记作：

y=f{x),x6A.

其中，式叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.y叫做因变量，与x

的值相对应的y值叫做函数在x处的函数值，所有函数值构成的集合

{y\y=fM,xeA}

叫做这个函数的值域.

•相同函数的概念如果两个函数的自变量取值集合相同，并且对应关系完全一致，我们就称

这两个函数为相同函数.相同函数的图象是一致的，图象一致的函数必然是相同函数.

•连续数集的区间表示研究函数时常用到区间的概念.设a,b是两个实数，而且a<b,我

们规定：

①满足不等式a《无4b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；

②满足不等式a<x<6的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

③满足不等式a<x<b的实数x的集合以及满足不等式a<x4b的实数x的集合都叫做半

开半闭区间，分别表示为［a,6)和(a,这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

•实数集的区间表示实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”.我们可以把

满足工》a,%><b,x<b的实数x的集合分别表示为［a,+8),(a,+8),(-oo,h］,

(一8").

函数的表示方法

•函数的表示方法有三种：解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图象法用图

象表示两个变量之间的对应关系.列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

精选例题

函数及其表示

1o若函数/(%)=2%-1,则/(3)=.

【答案】5

2.函数f(%)由下表确定：

x1234

f(x)3579

则下列函数:①x+l；②2x+l；③无2+2;④|中能作为函数/Q)表达式的是.

【答案】②

3o已知集合M={1,2,3,m},N=［4,7,n4,n2+3n}(m,neN),映射=3x+1是从M到N的

一个函数，则771-71=.

【答案】3

臬已知函数〃)={；(%*,w(-g=---------

【答案】-2

232

5.由等式+Atx+A2x+23=（X+I）+gt（x+l）+«2（X+1）+〃3定义映射

f-（41，几2，几3）T（41，"2,附），则/（l，2,3）=（）.

【答案】（-2,3,1）

6.在下列从4到B的对应：

①a=R,B=R,对应法则六比7y=/；

②人二&B=R,对应法则

③4=（0,+8）,B={y\y0},对应法则f:xfy=±依；

@A=N*,B={-1,1},对应法则广x7y=（-1尸.

其中是函数的有.

【答案】①④

7.下列集合4到集合B的对应f中：

①人二]—1,0,1},B={-1,0,1）./：4中的数平方；

②4={0,1},B=[-1,0,1},中的数开方；

③4=Z,B=Q/：A中的数取倒数；

@A=R,8={正实数},/：4中的数取绝对值，

是从集合A到集合B的函数的为.

【答案】①

【分析】其中②，由于1的开方数不唯一，因此/不是4到8的函数；

其中③,4中的元素。在B中没有对应元素；

其中④，4中的元素。在B中没有对应元素.

8.已知-y=\x\+1是从集合R到R+的一个映射，则元素4在R中的原象是—

【答案】3或-3

9o已知fC一1）=2x+3,贝仔（4）=.

【答案】23

10.已知集合4={1,2,巾}与集合B={4,7,13},若六万+y=3x+1是从4到8的映射，则

m=.

【答案】4

【分析】由八无）=3x+1,得3X1+1=4,

3x24-1=7,由集合中元素的互异性得3nl+1=13,m=4.

11.某学习小组共有5名学生，一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示:

7斗目

姓军、语文数学外语总分

张军100100100300

李伟909090270

刘平110110110330

王刚808080240

李明707070210

试问：若以5名同学组成集合4各科成绩组成集合8,总分组成集合C.

（1）集合4到集合8是映射吗?集合B到集合4呢？

【解】集合4到集合5不是映射，因为每名同学对应三个成绩；

而集合B到集合2是映射，其中每三个成绩对应一名同学，是多对一，符合映射定义.

（2）集合4到集合C是映射吗？是一一映射吗？若是映射，是函数吗？

【解】集合4到集合C是映射，且是一一映射，

因为集合力中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应，故是映射，

又集合C中的每一个总分，在集合4中都有唯一的同学（原象）对应.故是一一映射.

该映射不是函数，

因为集合4不是数集.

12„如图所示，在边长为4的正方形边上有一点P（不包含48两点），P点的运动路径

是B-C-。-A.设点P运动的路程为％,△4PB的面积为%求y与％之间的函数解析式.

【解】当0<%<4时,SMPB=iX4%=2%；

当4<%<8时,S-PB=|x4x4=8；

当8V%(12时，S^APB=|x4-(12-x)=24-2%.

,2x,0<%<4,

所以y=8,4<%48,

24—2x,8<%<12,

13o画出下列函数的图象.

(1)丫=%+1(|%]42且％€2)

【解】y=%+1(|%|42且％£Z),图象对应的是五个点，坐标分别为(—2,-1),

(—1,0),(0,1),(1,2),(2,3),图象如下:

⑵y=4

【解】y=¥=｛量/0的图象如下图所示:

3-N

2-七

ll------------

14.如图，直线11%轴，从原点开始向右平行移动到％=8处停止，他扫过△力。B所得图形的面

积为S,他与％轴的交点为(%,0).

(1)求函数S=f(%)的解析式;

【解】由题设％的范围为[0,8],求面积S的解析式，需分段考虑:0<%<4和4<x<8.

当0<%<4时，直线。4的解析式为一次函数y=x,S=f(x)=1x2；

2

当4<%<8时，直线的解析式为一次函数y=-％+8,S=/(%)=SLAB0-1(8-%)=

--%2+Qx—16.

2

(-X2,0<%<4

所以S=f(x)=<2

(2)求函数S=f(%)的定义域，值域；

【解】S=/(%)的定义域为[0,8],

当0<%<4时,/(%)e[0,8),

当4<%<8时，/(%)G[8,16].

所以函数的值域是[0,8)U[8,16]=[0,16].

(3)作出函数S=f(%)的图象.

【解】

15o甲地到乙地的高速公路长1500km,现有一辆汽车以100km/h的速度从甲地匀速行驶到

乙地，写出汽车离开甲地的距离skm关于时间th的函数，并求出定义域.

【解】因为汽车在甲、乙两地匀速行驶，

所以s=100t,

因为汽车的行驶速度为100km/h,两地的距离为1500km,

所以从甲地到乙地所用的时间为15h,

故所求函数为s=loot,te[0,15].

16.若六%-y=3x+1是从集合4={1,2,3,哥到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，求自

然数a,k的值及集合48.

【解】依题意，当尤=1时，、=4;当万=2时，y=7；当％=3时，y=10.

由于a是自然数，所以：/：10,则a2+3a=10,

解得a=2或a=—5(舍去)，则8={4,7,10,16}.

由于心力1,2,3,所以当x=k时，y=16,得k=5,A={1,2,3,5).

17.判断以下各式是否表示y关于x的函数：

(1)y=4x2—5；

【解】是函数，

(2)y-+x;

【解】不是函数关系；

(3)y=Vx—3+V2—x；

【解】因为无的取值范围是空集，所以不是函数关系；

(4)x2+y2=9.

【解】对于一个x的值有两个y的值与它对应，不符合函数的定义，所以不是函数关系.

18.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数%之间的关系式为：y=ax+\且当x=2

时,y=100；当％=7时，y=35.且此产品生产件数不超过20件.

(1)写出函数y关于x的解析式；

2a+弓=100,

(4a+b=200,

【解】将I：-ion-4代入y=ax+'中,

(y=100,(y=35'x7a+T=35(49a+b=245

(a=1,

lb=196.

所以所求函数解析式为y=%+詈(％eN,0<x<20).

(2)用列表法表示此函数，并画出图象.

【解】当久e1,2,3,4,5,…,20时，歹!］表:

Xi2345678910

y19710068.35344.238.73532.530.829.6

X11121314151617181920

y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8

依据上表，画出函数y的图象如图所示,是由20个点构成的点列.

200-

180-

160-

140-

120-

100-•

80-

60-,•

40-*•..

20-......*........

GI；2；弋

19o已知函数f(%)=+%.

(1)求八一1)的值;

【解】f(-D=o.

(2)求f[/(2)]的值;

【解】f[/⑵]=[/⑵]+/⑵=⑵+2)2+22+2=42.

(3)求/。-1)的表达式.

【解】f(x—1)=(X—1)2+x—l=x2—X.

20.设4={(x,y)|x+y<3,且|x|<2,x€Z,y€N+},B={0,1,2},/:{x,y}x+y,判断/

是否为A到B的映射.

【解】列举法写出集合4

A={(0,1),(0,2),(1,1),(-1,1),(-1,2),(—1,3)},B=[0,1,2),/为4到B的映射.

函数的相关概念

1.已知函数f(%)与g(%)分别由下表给出，那么g(f(2))=.

x1234

f(x)2341

x1234

g(O2143

【答案】4

2o设函数f(%)=炉+3/+1.已知。。0,_§,/(%)—/(a)=(%—h)(x—d)2,x6则实

数a=,b=.

【答案】-2；1

【分析】本题考查对函数形式的理解与判断，可以借助方程来处理，要注意a、b是方程的根.

【解】因为

/(%)—/(a)=(%3+3x24-1)—(a3+3a2+1)

=(%3—a3)+(3x2—3a2)

=(x—a)[x2+(a+3)%+(a2+3a)].

由题意可得a、b是方程%2+(a+3)%+(M+3q)=o的两个根，于是看

a2+(a+3)a+(a24-3a)=0,

CLb——(a+3),

ab=a23a.

解得a=-2(Q=0舍去)/=1.

3.设函数f(久)=x3cosx+1.若f(a)=11,则/(-a)=.

【答案】-9

【分析】由题可得，/(a)=a3cosa+1=11,则/'(—a)=—c^cosa+1=-9.

4.下列两个对应中是集合力到集合B的函数的有.

⑴设4={1,2,3,4},B=[3,4,5,6,7,8,9},对应法则f:xt2x+1；

(2)设4={0,1,2},B={-1,0,1,2},对应法则f:XTy=2x—l；

(3)设4=N*,B={0,1}对应法则/':xfx除以2所得的余数；

(4)A=B=R,对应法则f:x7y=±V%-

【答案】⑴(3)

5.设函数/'(X)=生，若/(a)=2,则实数a=________.

1-X

【答案】-1

6.给定k€N*,设函数满足:对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k.

(1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为;

(2)设k=4,且当n44时，24f(n)43,则不同的函数/■的个数为.

【答案】m(me^*)；16

【解】(1)由题可知/'(n)e"*,而k=l时，n〉l则

f(n)—n—1EN*,

故只须f(l)e"*,故

/(I)—m,(mE"*);

(2)由题可知k=4,n>4,贝l]

/(n)=n—46N*,

而n<4时，

2<f(n)<3,

即f(n)e{2,3},即

ne{l,2,3,4),/(n)6{2,3},

故不同的函数/的个数为24=16.

7o设函数/(%)满足f(x)>0和f(a+b)=f(a)"(b),且f(2)=4,则杂+编+…+

/(2012)_

7(2011)

【答案】2012

【分析】由f(a+b)=f(a)"(b),令a=1,b=1,可得f(l)=2,

令。=九，b=1,得/(n+1)=f(n)"(1),所以戏；：).=f⑴=2,

所以黑+黑+…+9W=2+2+…+2=2x1006=2012.

/(I)f(3)/(2011)

8.已知f(0)=1,f(n)=nf(n—l)(nGN+),贝(Jf(4)=.

【答案】24

【分析】利用条件将值代入进行推导f(l)=/(0)=1,f(2)=2xf(l)=2/(3)=3x

/(2)=6,f(4)=4xf⑶=24.

9o下列各对函数中，图象完全相同的是.

①y二%与)7=Vx2；

@y=(与y=x°；

③丫=(«)2与y=\x\;

@y=V%+1,A/%—1与y=J(%+1)(%—1).

【答案】②

10»函数=，则/[/(-2)]=________

1x(%—2),%V0

【答案】1

Ho已知.(%)=产1+RXJ^/(l)+/(a+l)=5,求a的值.

—4),%<U,

【解】f(l)=1x(1+4)=5,

因为f(1)+f(a+1)=5,所以f(a+1)=0.

当a+l》0,即a》-1时，有(a+l)(a+5)=0,所以a=-1或a=-5(舍去).

当a+1<0,即a<—1时，有(a+l)(a—3)=0,无解.

综上可知a=-1.

x+4,%(0,

12»已知函数/。)=•/一2x,0V%44,

—x+2,x>4,

(1)求/'(『(『(5)))的值;

【解】因为5>4,

所以f(5)=-5+2=-3.

因为一3<0,

所以/V⑸)=/(-3)=—3+4=1,

因为0<1<4,

所以/(f(f(5)))=/(1)=12-2X1=-1,

即/'(TV⑸))=T.

(2)画出函数的图象.

【解】

13.已知定义域为R的函数满足：

①+y)=f(x)•f(y)对任何实数都成立;

②存在实数x2,使f(Xi)K

(1)求证:/(0)=1.

【答案】略.

【解】得f(0)=[f(0)]2,

解之下(0)=0或/(0)=1.

若/(0)=0,则f(X)=/(%+0)=f(x)-/(0)=0,

这与条件②矛盾.

所以/'(0)丰0,所以/'(0)=1.

(2)求证：/(x)>0.

【答案】略.

【解】因为f⑺=/(|+|)=[/g)]2>o,

故只需证明/停)40.

假设存在比0,使/'(£)=(),

则/(0)=f停_•=/停)/(—用=0，

这与/(。)工0矛盾.

所以/©不°,所以f(无)>0・

14o已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有+n)=/Gn)/(n),且当x>0时,

0<于(x)<1.

(1)证明：/(0)=1,且无<0时，f(x)>1；

【解】令m=0,n=l,贝叶(0+1)=/(0)/(1),

••,当x>0时，0</(%)<1,故/(I)>0,

f(0)=1,

,•,当x>0时，0</(无)<1,

二当％<0时，-%>0,则/'(-%+x)=/■(-%)/'(无)，

・心=应=」>1

(2)证明：/(x)在R上单调递减；

【解】任取久1，&eR,且<x2,则

八比2)-/Ui)=/[(无2一比1)+无1]一f01)

=/'(无2-Xl)f3)-/(无1)

=[/(无2—尤1)-

X2—>0,则不—%I>0,

0<f(jx2—久1)<1,故/'(无2—%1)-1<0.

又/■(无1)>0,.,・[/(比2-％1)-1]/■(无1)<0,故/01)>/'(久2).

/(X)是R上的单调减函数.

(3)设力={(x,y)|/'(久2)/(y2)>«])},B={(x)y)।y(ax-y+2)=l,aeR},若

AnB=0,试确定a的取值范围.

【解】

A={(x,y)I/(x2)/(y2)>/(I)}={(x,y)I/(x2+y2)>/(I)}

由(2)知，/(%)是R上的减函数，.,・/+必<1.

vB={(x,y)|/(ax—y+2)=1,a6R}={(x,y)Ia%—y+2=0,a€R}.

又••・ACB=0,.••方程组产六1c无解，

即直线ax-y+2=。与单位圆％2+y2<1的内部无公共点，

•••萼=>1,得一代<a<V3.

Va2+1

故a的取值范围是—V5<a<V3.

15o已知幕函数f(%)=-3为奇函数，且在区间(0,+8)上是减函数(mGN*且m>2).

(1)求/(%);

【解】因为八无)在区间(0,+8)上是减函数，所以巾2—巾—3<0,即上/<根<匕/.

又租GN*且m>2,所以zn=2,于是血？—m—3=4—2—3=—1,所以/(%)=%-1,符

合题意.

(2)比较f(—2011)与/(一2012).

【解】因为此幕函数为奇函数，所以

/(-2011)=-/(2011)=-2011-1=_募门-2012)=-/(2012)=-2012-1=一薪因

为一^7<—所以/'(-2011)</'(-2012).

16o由下列式子是否能确定y是x的函数?

(1)x2+y2=2；

【解】由/+y2=2得丫=±V^二因此由它不能确定y是％的函数，如当％=1时，由它

所确定的y的值有两个为±1.

(2)V^=I+Jy-l=1；

__________________2

【解】由〃-1+Jy-1=1,得y=(1—V%—1)+1,所以当％在｛%I%>1｝中任取一

个值时，由它可以确定唯一的y的值与之对应，故由它可以确定y是久的函数.

(3)y=V%—2+V1—%.

【解】由得X60，故由它不能确定y是X的函数.

17.已知/(%)=(x2+%+l)n(nGN*),g(%)是关于％的2n次多项式；

CD若/(/%(%)=0(%3)恒成立，求g(l)和(一1)的值；并写出一个满足条件的gQ)的表达

式，无需证明.

【解】令%=1,则/⑴g(l)=g⑴，即g⑴・[/⑴-1]=0,

因为f(1)—1=3九一1。0,所以g(l)=0；

令》=—1,则f[(—l)2]g(—1)=g[(—1)3],即f(l)g(_l)=g(-l),

即g(—l)•[/(I)-1]=o,因为f(l)-1=3、-LW0,所以g(-l)=o；

例如g(%)=(%2—l)n(nGN*).

(2)求证：对于任意给定的正整数心都存在与%无关的常数劭，口1，。2，…，。九，

2n2n-122n-2nrn+1n

使得/(%)=a0(l+x)+a^x+x)+a2(%+x)H-----Fan_r(x~+x)+anx.

【解】当n=l时，/(%)=%2+%4-1=(%2+1)+x,故存在常数a。=I,%=1,

2

使得f(%)=a0(l+%)+arx.

假设当n=Z(fceN*)时，都存在与%无关的常数的,。1"2，…，以，

使得

2fc2fc-122k2fc-1fc+1k

/(%)=a0(l+x)4-ar(%4-x)+a2(x+x~)+—Fafc_1(x+x)+akx,

即

2k2fe2fc-122k-2fc-1fe+1

(%+%+l)=a0(l+%)+(%+x)+a2(%+x)4----卜afe_1(x+x)

k

+akx.

则当ri=k+1时，

f(%)=(%2+%+l)fc+1=(x24-%+1)•(%2+%+l)fc

22fckfc+1k

=(%+x+1)-[a0(l+x)+%(%+x2T)4--卜以一式/T+x)+akx]

krkk+12fc

=(a0+%%+—.ak_rx~+akx+ak_rx+—F+a0x)+

kk+1k+22k2k+1

(aox++...+ak_rx+akx+ak_rx+…+arx+a0x)+

23k+rk+2k+32k+12fc+2

(a0x+arxH----Fak_rx+akx+ak_rx+…+arx+a0x)

23/c-1

=a0++a0)x+(a2+4-a0)x+(a34-a2+^)%4----1-(afc_1+ak_2+afc_3)x+

kfc+1k+2

(.++ak_2)x+(2a._x+ak)x+(afc+a上+ak_2)x4----F

2k2k+12k+2

(a3+%+aJ/kT+(a2+%+a0)x4-+a0)x+a0x

2k+22k+122k

=a0(l+x)+(%+a0)(x+%)+(a2+%+a0)(x+%)4----卜

k+2k+1

(以+afe_i+a”2Kx卜+x)+(2昨i+afe)x.

—Q.Qfa1=CLQ+a1，=2+1+Q?n(24TH.4k),a/c+i=2a4―i+。之；

故存在与%无关的常数a。',a/,a?'，…，耿'，以+J,使得

2fe+22k+122fcfefc+2k+1

/(x)=a0'(l+x)+a/(%+x)+a2'(x+x)+…+afc'(x+x)+ak+1'x.

综上而述，第于任意给定的正整数n,都存在与%无关的常数的，Qi，叫…，。九，

2n2n-122n2n-1n+1n

使得/(%)=a0(l4-x)+%(%+%)+a2(x+x-)4----卜an-i(x+x)+anx.

18o对于数对序歹！Jp：(cii，瓦),(。2/2),…，(即,％),Q,瓦GR+,i=1,2,3,…，n),记/o(y)=

0(y》0)

五(y)=max{bkxk+fk-^y-afcxk)}(y>0,1<A：<n),其中m为不超过工的最大整

xk=0,l,2,3,---,mo-k

数.(注：max{瓦打+加_1()/一以工。}表示当绘取0,1,2,3八..,血时，bkxk+

Xfc=0,l,2,3/-^

fk-i(.y-%右)中的最大数)

已知数对序列P:(2,3),(3,4),(3,p),回答下列问题：

(1)写出)(7)的值

【解】左⑺=max{3%i}=max{0,3,6,9}=9,

%1=0,1,2,3

当/=3时，A(7)=9

(2)求2(7)的值,以及此时的%i，%2的值;

【解】人(7)=max{4&+/i(7-3冷)}=max{0+^(7),4+^(4),8+/1M)}

X2=0,1,2

当%2—1时,九(4)=max{3%i}=max{0,3,6}=6,当％i=2时/[(4)=6

X1

当％2=2时，/i(l)=max{2%i}=0,

-%1=0

即当％1=0时,/i(l)=0

%(7)=max{9,44-6,8+0}=10,

即当％2=1，=2时似7)=10.

(3)求得为(11)的值时，得到比i=4,x2=0,x3=1,试写出p的取值范围.(只需写出

结论，不用说明理由)

【解】4<p<4.5

19.已知/(x)=x2-l,g(x)=fn2

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；

【解】由已知，得g⑵=⑵=3,

因此/(g(2))=/(I)=o,=g(3)=2.

(2)求和g(f(%))的解析式.

【解】当》>0时，g(x)=x-1,故=(%-1)2-1=/—2%;

当％<0时,g(%)=2—%，故f(g(%))=(2—%)2—1=%2—4%+3.

所以f(g(W)=E：C

—4汽+3,%<0.

当%>1或％<一1时，f(%)>0,故=/(%)-1=%2-2；

当一1V%<1时，f(%)<0,故(%))=2-f(x)=3—x2.

所以…=仁X>1或无<-1,

-1<X<1.

20o设/'(无)=x2+px+q,集合4=[x|/(x)=x],B=[x\/(/(x))=x}.

(1)求证：AQB；

【解】设tea,则有f(t)=t,所以〃/(t))=/(t)=t,所以teB,所以AMB.

(2)如果a={-1,3},求B.

【解】因为a={—1,3},所以/(—1)=—1,/(3)=3,所以有

(1-p+q=-1,

(9+3p+q=3,

解得

仔=T，

[q=-3._

22

=x可化为(/-x-3)-(x-x-3)-3=x,解得/=-1,x2=3,无3=V3,x4=

-V3,所以B={一8,—1,百,3}.

函数的表示方法

1.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城

所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信

息：(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到lh；(2)骑自行车者是变速运动，骑摩

托车者是匀速运动；(3)骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者.其中正确信息的序号

8o

7o

6o

5o

4o

3o

2o

1o

【答案】⑴(2)(3)

【分析】观察图象，先看时间易知(1)正确.骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直

线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因

此(2)正确.再观察图象交点的横坐标对应着4.5，故(3)也正确.

2。设函数/(x)=2x+L则方程/(2%+1)=x的解为

【答案】x=-l

3.已知/⑺=三，则〃1)+f⑵+/(|)+/⑶+/(|)+…+7(2012)+

/岛)二------

【答案】2011.5

【分析】根据题意，可得：

/«+/(-)♦)2

\XJ1+X2Y/1\Z

X21

=----------1----------

1+X21+X2

故所求的值为f(l)+2011x1=2011.5.

4o已知函数/(x)满足对任意的％eR都有f(|+%)+/(|-%)=2成立，则/g)+/(1)+…+

啕=——•

【答案】7

5o三角形三边长分别为3cm,5cm,xcm,则此三角形周长y(cm)与x(cm)的函数关系式

是.

【答案】y=x+8(2<x<8)

6o与函数y=10坨(，-1)相等的函数是(填序号).

①y=x-l；②y=|无-1|；③y=;④y=

【答案】③

7.设函数f(x)对任意a,beR都有/(a+b)=f(a)f(b),且f⑴=2,则螺+螺+黑+…+

/(2006)_

/(2005)------------------,

【答案】2006

【分析】由/(a+力)=/(。)/(力).令。=n,b=1.

所以fd+i)=f(mf(i),即需2=/(i)=2.

所以蝗+黑+…+华粤=1003X2=2006.

/(I)/'(3)1(2005)

8。对任意的正数函数/(无)满足八盯)=/(%)+f(y),且-8)=3,则f(2)=.

【答案】1

【分析】因为f(8)=f(2x4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2)+f(2)=3,所以f(2)=1.

90某工厂八年来某种产品总产量c与时间t(年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三

年中产量增长速度越来越快；②前三年中产量增长速度越来越慢；③第三年后，这种产品停

止生产；④第三年后，年产量保持不变.其中说法正确的是.

【答案】②③

10o如果函数八比)满足:对任意实数a,b都有/'(a+b)=〃a)/(b),且f(l)=2,则螺+螺+

r(4),r(5)r(2oio)

------------FH---------=

/'(3)7(4)7(2009)------------'

【答案】4018.

【分析】令6=1,则f(a+l)=f(a)/(l)=2f(a),所以需2=2.

11.若函数y=八比）的定义域为{久I—34》46,且无片4},值域为{y|-24y44,且y40},试

在下面图中画出此函数的图象.

X

【解】本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示.

12.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称.对任意看,％2e[o,4,都有

fd+x2)=/(%!)-/(%2),且/(I)=a>0.

⑴求咱

【解】••・对任意%L%2E[。，1，都有f(%1+%2)=f(%1)•f(%2)，

xG[0,1],

.••/a)=/©-/©=[/«,

呜=/(*)=呜•咋)=“[•

又/■⑴=a>0,二/g=di,/(J=返

(2)求证:/(x)=f(x+2),xGR.

【解】•；y=y(x)关于直线比=1对称，

fW=f(1+1—%).即/(x)=/(2—x),xeR.

又由/(x)为偶函数知/'(-X)=/(x),xGR,

f(—x)=/(2-x),xGR...①

将①中—X以％代换，得f(x)=f(x+2),xeR.

13.已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b£R都满足/(a瓦)=

af(b)+bf(a).

⑴求f(0),f(l)的值;

【解】令a=b=0,/(0)=0+0=0；令a=b=Lf(l)=/(l)+/(l),所以

/(D=0.

(2)判断f(x)的奇偶性.

【解】/(x)是奇函数，因为f(—x)=/((—x)=—/(%)+犷(—1),

而0=/(I)=/((-I)x(-1))=-/(-I)-/(-I),所以/(—1)=0,所以/(—x)=-f(x)+

0=—f(x),即-x)为奇函数.

14.已知函数y=/'(n)满足/'(1)=1,f(n+1)=f(ri)+2n,nGN*.

(1)求)⑵、(⑶、(⑷、/(5).

(2)探索f(n+l)-门＞)有何规律，能否根据规律写出门＞)的解析式?

(可运用公式1+2+3+4+…+租=竺用)

【解】(1)/(2)=/(l)+2xl=l+2=3,

/⑶=/■⑵+2x2=3+4=7,

/(4)=/(3)+2x3=7+6=13,

/(5)=/(4)+2X4=13+8=21.

f(ji+1)—/(n)=2n(nGN*).

f⑵一f(l)=2xl,

f⑶—/⑵=2x2,

f⑷一/⑶=2x3,

f(n)-f(n—1)=2(n-1),

以上各式相加，得/(n)-/(l)=2[1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),所以fS)=/(l)+

n(n—1)=n2—n+1.

i5o若函数/(%)=工一I)满足f(f(%))=%，求常数c的值.

【解】於)=急，所以穴/⑺)=9=事=

所以2c+6=0且篙=1，解得c=-3.

2

16.已知函数/(无)=不v群.

(1)求函数f(%)的定义域;

【解】要使函数有意义，应有1--AO,解得

xW±1,

所以函数/(%)的定义域为{%|xw±1,%eR}.

(2)计算f(2)+/G)和/(3)+f(J)之值；

【解】/⑵+/G)=2+；一1和/⑶+/(|)=+；T

(3)由(2)猜想出一般性结论，并予以证明.

【解】由(2)可知，/G)+/(x)=40,xH±1).

证明:因为"x)=三，

所以/。=备=二，米)+/0=覆=一1・

17o已知集合M是满足下列性质的函数/(%)的全体：在定义域。内存在&,使得/Oo+l)=

/0。)+/(1)成立.

(1)函数八比)=［是否属于集合M?说明理由；

【解】D=(一8,0)u(0,+8),

若/。)=}WM,则存在非零实数%0,使得

%11

—TT=1-1，

%。+1%。

即

诏+%o+1=0,

因为此方程无实数解，所以函数-

(2)若函数八比)=kx+b属于集合M「试求实数k和b满足的约束条件.

【解】D=R,由/(x)=k%+beM,存在实数与，使得

k(x。+1)+b=kxQ+力+/c+b,

解得

b=0,

所以，实数k的取值范围是kWR,b=0.

18.已知函数/(x)=黑,

(1)求f(%)的定义域.

【解】要使函数/。)=署有意义，只需1—/40,解得XH±1,

所以函数的定义域为{%Ix*±l}.

(2)若f(a)=2,求a的值.

【解】因为〃%)=署,且/(。)=2,

所以/⑷=罂=2,即a?.解得a=±亨.

(3)求证:=

【解】由已知得/G)=*=分，-〃)=-罂=含

所以/(£)=-/(江

ex4-1,0<%<c,

19o已知函数/(%)=满足｛2)='.

2%+1,c<%<1.O

(1)求常数C的值;

【解】因为0<c<l,所以

c2<c.

由/(C2)=?即

O

9

c34-1

8,

解得C=

(2)解不等式f(x)>[+1.

【解】由(1)得

(\1

I-x+1,0<x<―,

/«=2]2

"一钮+1,-<x<1.

由f(x)>1+1得:

O

当0<x<1时