2021高考导数压轴50题

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2021高考导数压轴最新50题

一、解答题

1.(2021•甘肃高三一模(文))已知函数/(x)=；%2一(々+i)x+mnx.

(1)当时，求函数/(X)的单调区间；

(2)设函数g(x)=e*-(a+2)x+2alnx-l-2/(%),若g(力在［1,2］内有且仅有

一个零点，求实数。的取值范围.

~5-e2-

【答案】(1)答案见解析；(2)——,2-e.

_2

【分析】

(1)求出函数的导数，分4=1和。>1三种情况判断导数正负可得出单调区

间；

(2)由题可得〃=一一e'+l在［1,2］上有且仅有一个实数根,构造函数

x

r2—e1+1

/z(x)=--利用导数求出函数的单调性，即可求出.

X

【详解】

解：⑴函数“X)的定义域为(0,+8),

所以/,(r)=x-(fi+1)4--=————』-----——--------L

XXX

(i)当Ovavl时，由r(x)vO,得acxvl,则/(%)的减区间为

由r(x)>0,得或X>1,则“X)的增区间为(0,。)和(l,+°o).

(ii)当。=1时,/r(x)>0,则〃力的增区间为(0,+R).

(适)当々>1时，由/'(x)vO,得1cxV4,则/(x)的减区间为(l,a)；

由/'(力>0,得，x<l,或/>〃，则/(x)的增区间为(0,1)和3”).

(2)^(x)=ex-(6Z4-2)x+2(21nx-l-2/(x)=ev-x2+at-l,g(x)在［1,2］内有

且仅有一个零点，即关于x方程。=H在卜2］上有且仅有一个实数根.

x

令3)=餐文山中则必)=空旺上D

XX

令p(x)=x+l—e',xw［l,2］.则“(x)=l-e*vO,故〃(x)在［闾上单调递减.

所以p(x)<p(l)=2-e<0,

即当工目1,2］时，”(力40,所以力(x)在0,2］上单调递减.

/、5—e25—e2、

又力(1)=2—e,/?(2)=^y-,M^y-</z(x)<2-e»

5—e2

所以。的取值范围是--，2-e.

_2

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形纭合的方法求解.

2.(2021•山西高三一模(理))已知函数/(x)=xlnx-；"2-x,g(x)=lnx-".

(1)当1=1时,求g(x)的最大值；

(2)当•时，

e

(0判断函数武力的零点个数：

/(X)f(xA

(ii)求证：/(x)有两个极值点冷电，且43+二口红>-1.

【答案】(1)・1;(2)①两个；②证明见解析.

【分析】

求导，当人〉0时，利用导函数分析原函数的单调性；(1)当2=1时，利用单调性求最

值即可；(2)(i)利用单调性以及零点存在性定理可判断函数g*)的零点个数：(”)

lnx-Air=g(x),由(i)知g(x)有两个零点，设为不占，且0<%<;<为，通过g(x)

K

的单调性，分析/(X)的单调性，可得X，/为的两个极值点，代入函数可得

试卷第2页，总90页

四+」3=屿萼一2,用分析法证明史上加三一2>-1,整理令

XW22

^=—>i,记力⑺=hw-也心，求导，得到W)>力⑴=。即可.

为f+i

【详解】

解：8(工)定义域为(0,+8)*’(幻='一2='一如.

XX

当％>0时，令g'(x)>0,

得0vx<L

k

令/(幻<0,得x>?，

k

故g(x)在0,J)上单调递增，在*8)上单调递减.

(1)当k=1时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,4*0。)上单调递减，

所以g(X)max=g(D=-L

(2)(i)・・・g(x)在(0,：)上单调递增，在(/，+8上单调递减，

・•.g(x)至多有两个零点.

•/g(：)=Ing-1>0,g(l)=-k〈Qg(x)在(1,：)上有一个零点.

由⑴可证lnx-二-l<0,lnx<x,

„(4,44-24c24八

从而g记=In--------=2In-------<2x-------=0,

k2kkkkk

]A

又・・・g->0,

(14、

「.g(x)在下,不上有一个零点.

U匕)

综上，函数g(x)有两个零点.

(")f(x)的定义域为(0,+8),/(x)=lnx+l-履-1=lnx-履=g(x).

由(I)知g(x)有两个零点,

设为百,々，且0<X<一<]2,

且In玉=kx、,lnx2=kx2.

又・・・g。）在（o,£|上单调递增，在（£,+8）上单调递减.

.,.当O<X<X],或x>%2时，

g（x）〈O；

当xvxv当时，g(x)>0.

.,./（X）在（0,3）上单调递减，在（%,%）上单调递增，在（£,+0。）上单调递减,

故X/2为了（幻的两个极值点♦

f(x}),1f,1,.1.,

-----=InX]—kx^—1=In—Inxy—1=—InX)一],

演--------222

同理/（巧）=」如巧—1.

Xy2

欲证小）+迫=3*一2>-1

%!x,2

即证In.+\nx2>2.

vInxl=必,Inx2=kx2t

Inx7+Inx(=+%)

In-In=2(4-X)，

强+1

Inx,+Inx,x^+x.+x..x.,x

LLfLZ1x9

---------=----,Inx2+Inx]=-...(lnx2-In^)=-In—,

]n4—In%x2-xi~x2-X)~x2.--%

百

令，=匕>1,

王

即证---In/>2,

r-1

即证如〉00.

t+\

试卷第4页，总90页

记何）=3-富-言二号

.・/（，）在（L+8）上单调递增,

故g）>/7⑴=0,

命题得证.

【点睛】

方法点睛：利用导数研究函数“X）的单调性和极值的步骤：

①写定义域，对函数/（X）求导f'（x）；②在定义域内，解不等式r（x）>o和f\x）<0；

③写出单调区间，并判断极值点.

3.（2021•聊城市・山东聊城一中高三一模）已知函数〃x）=lnx+X,其中e是自

然对数的底数.

（1）设直线y=：x-2是曲线的一条切线，求。的值；

（2）若玉使得〃力+〃以20对Vx«0,+8）恒成立，求实数"?的取值范围.

【答案】（1）。=0；（2）m>~-.

e

【分析】

2

（1）设切点坐标为（毛,/（不）），根据题意只需满足r（毛）=］，

y（x0）=lnx0+—=2%-2,然后求解方程组得出Q的值及孔的值；

/e

⑵记g（x）=f（x）+〃7a=ln/+^--+ma,求导讨论函数g（x）的单调性，确定

最值，使g1nhi（力之0成立，得到关于参数加的不等式，然后利用参数分离法求解参数

加的取值范围.

【详解】

解：（1）设切点为（天,/（小））：其中毛>1,

有了'（/）=，一@^=2'且/（Xo）=lnx0+巴•=2/一2

玉）/e/e

得生*=1一--,所以lnXo+3—也=0,易解得：x0=e,贝!。二0；

(2)记g(x)=/(x)+ma=lnR+^--+ma,Wgf(x)=Xa^e,

XX

当a<e,8'("=士等〉0恒成立，则函数g(x)在(0,+e)上递增，无最小值，

不符合题意；

当。时，当x£(a-e,+oo)时，g'(x)>0,当xs(O,a-e)时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在(O,a—e)上递减，在(a—e,+oo)上递增，所以g(x)在％-e处取

得最小值,g(4n=g(a-e)=ln(。-e)+l+痴NO,

r.\+\n(a-e)、r.，、\+\n(a-e)、

则有-m<---------------,记川4)=----------------(zq>e),

易知妆〃）在（e,2e）单调递增，在（2e,+o。）单调递减，

则〃（"Lax=力（2《）=一,所以一〃7«一,得加之一」.

eee

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般

方法如下：

（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不

等式，从而求出参数的取值范围；

（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可.

4.（2021•全国高三月考（理））已知函数/（x）=；X2-or+lnx（«>0）.

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（II）若/（X）有两个极值点x，w（x>々），且/（X）-X〈自（XwR）恒成立，

求4的取值范围.

【答案】（【）/⑺在[和«+Jj―4,+8上单调递增，在

（a-yjcr-4〃+J/-41一、…「5]

——-——，——-——上单调递减；（II）--,+oo.

22L2J

【分析】

试卷第6页，总90页

(I)函数的定义域为(0,+?),求导得:(力=土二竺tL再分

X

△=々2一440和4=々2一4>0两种情况讨论求解即可；

(II)由(1)得%是方程/一仆+1=0的两个不等正实根，故$+々=。>2,

x,x2=1,进而得0<%2<1<占，故问题转化为

2

/%)—-=——%)—X)+X|Inx](x1>1)<4(4wR)恒成立，再令

«Xi22

^(x)=--x3-x2-x+xlnx(x>1),研究g(x)的最值即可得答案.

【详解】

(I)由题可知函数/(X)的定义域为(0,+?),广(力=三二竺上1,

X

当A=a2-4«0且a>0,即0<〃<2时，/r(x)>0,则函数〃力在(0,+?)上

单调递增：

当△=一4>0且。>0,即。〉2时，令/'(力=0,即/一打+1=0,

解得.纥/或且均为正数'

(II)若“X)有两个极值点不.，则和乙是方程/一勿+1=0的两个不等正实根,

所以结合(I)可知X+冗2=a>2,x,x2=1.

又因为所以0<%<1<$.

由V/Lr2(4wR)恒成立，

可得/(2)一』<4(4ER)恒成立,

x2

/*(《)一113/、217/\

而----------=-%|一(1++xJnX[=——玉-x1InX](%>1)

“222

令g(x)=_、3-x2-x+xlnx(x>1),

则8(x)=--1%2-2x+lnx.

令〃(力=―1炉-2x+lnx(x>1),

则〃(司=_3口_2+)二°-")0+”<0,

X

则函数力(力在(1,+?)上单调澧减，

7

所以〃(x)<〃(l)=—/vO,故g'(x)<0,

则函数g(x)在(L+?)上单调递减，

g(x)vg(l)=一；，可得％之一1，

r5'1

所以4的取值范围是一二,+8.

L2]

【点睛】

本题考查了运用导数求函数的单调区间及恒成立问题，在含有参量求单调区间时注意分

类讨论，解答恒成立问题时遇到多元的方法是消元，本题借助根与系数之间的关系将零

点转化为g(x)=~x3-x2-x+x\nx[x>\]的最值为题，是难题.

(2021•商丘市第一高级中学)已知函数/")=lnx-a(x-l),(a>0)

(1)若函数/(x)在(1,内)是单调减函数，求实数。的取值范围；口,+8)

(2)在(1)的条件下，当〃wN+时，证明：…(l+5)<e.

【答案】(1)[l,+oo)；(2)证明见解析.

【分析】

(1)由题可得/'(x)=一—a40在区间(1,2)上恒成立，即可求出；

X

试卷第8页，总90页

(2)由⑴可得lnx<x-l,(x>1),可得+分别取〃=1,2,3,…,〃

相加即可证明.

【详解】

解：(1)•・•函数/(X)在(I,长。)是单调减函数，

.•.r(X)=L—〃WO在区间(1,+8)上恒成立.QX>1,可得0<!<1

XX

:.a>\,即实数。的取值范围为口,内)；

⑵由(1)得当a=l时，/(")在(l,+oo)上单调递减，..ja)=lnx-(x-l)vf(D=O,

1(1^1

可得Inxvx-l,(x>1),令x=l+一,可得In1+=<—,

分别取〃=1,2,3,…，

得In

<lne,

<e,对任意的〃wN*成立.

关键点睛：本题考查利用导数证明数列不等式，解题的关键是根据lnx<x-l,(x>l),

得出+

6.(2021•浙江宁波市•高三月考)已知函数/(x)=《+lnx-x,其中e=2.71828...

是自然对数的底数

(1)若曲线y=/(x)与直线)'=。有交点，求。的最小值;

(2)①设。(力=X+L,问是否存在最大整数A,使得对任意正数X都

X

kl

/(x)-/(i)>5[e(x)—e(i)]成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由;

②若曲线），=/（%）与直线.V=。有两个不同的交点AB,求证：

\AB\<2yl（a-e+2）2-1.

【答案】（1）〃min=e-l；⑵①存在，k=l；②证明见解析.

【分析】

（1）求出函数的导函数，得出其单调区间，求出〃元）的最小值，得到答案.

k

（2）①当上<0时,/［0（x）-dl）］«OW/（x）-f（l）,原不等式恒成立.当女>0时，

设/（%）=/（幻一〃1）一枭心）一奴1）］,即广（%）=（%—1）［21-2工一%（％+1）］,再

22x2

设〃（x）=2e'—2十——x+1）,求出导数分析其单调性，得到其最值，然后再分析尸'（外

的符号，讨论得出/（x）的单调性和最值，从而得到答案.

②设4（内,々），8（/,。），士〈演.由（1）可知/（l）=e-l,所以/（百）一/⑴=々一（6—1）,

/（X）-『⑴>-奴1）］，

/（%）一/（l）=a一（e一l），由①可得11，从而可证.

/（♦）-阿>#（X2）--⑴］，

【详解】

解：（1）由己知得，—（，-D（：'-“x>0.

x-

由于e、Nx+l>x，所以r（x）>0可得x>l

/'(x)<0可得Ovxvl

得当X变化时，/'（幻与/（X）的变化情况如下表所示:

X(0,1)1（1,心）

/（X）—0+

极小值

/（X）/

e-\

当X—>+QO时,-——>_|_no』nX->+8,所以f(Y)—>xo

X

试卷第10页，总90页

当x=0时，/(x)有最小值〃O)=e-l

因此，当曲线y=f(x)与直线y=〃有交点时，^min=f(\)=e-\.

(2)①由⑴知/(尢)一/(1)NO,

e(x)=x+J■在(1,坤)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以双幻一。⑴N0

当％40时，又以%)一奴1)之0,

则然1)]<0</(x)-/(l),原不等式恒成立..

当炉1时，令F(幻=/*)-/⑴-与[夕(幻-奴1)],则

,/k.(x-l)r2er-2x-A:(x+l)l

F(x)=f(x)--(p(x)=---------—j----------

22x

设〃1)=2廿一2工一气工+1),得2仅)32-k，故当x变化时，〃'(x)与p(x)的

变化情况如下表所示：

\

(0,ln(局1”臼(}(.%])

XIn1+—,+oc

/2))

p'(x)—0+

P(x)极小值/

<

3、38e2

这样,当天=1时,p(x)>pIn-=2-31n-=ln—>0,此时当,(变化时，F'(x)

2)227

与尸(幻的变化情况如下表所示:

X(0,1)1(1,+00)

F(x)—0+

F(x)极小值/

得尸(x)N尸⑴=0,即原不等式恒成立.

当欠22时,得p(l)=2e—(2Z+2)vO,limp(x)=+oo,则p㈤在(1,母)内有唯

X—>+<30

一零点小.此时X变化时，F'(x)与F(x)的变化情况如下表所示：

X(0,1)1(1，%)(不什)

F,(x)4-0—0+

F(x)/极大值X极小值/

得尸(%)〈尸(1)=0,即原不等式不恒成立.

综上所述，存在最大整数左二1,使得原不等式恒成立.

②证明：设A(XM),8(%2,4),<x2.由(1)可知/6=e-l

所以"5)-/。)=。-(6-1)，f(x2)-f0)=a-(e-1)

/(%)-/⑴〉)-0⑴],

由①可得<

/(w)-/⑴>扣(々)-火1)]，

所以王，马都满足不等式a—e+l>g

即x2一2(。-e+2)x+l<0,

故区间(玉,天)为不等式/一2(。一6+2)工+1<0解集的子集，

得|阴二-2j("e+2)2-1

【点睛】

关键点睛：本题考查函数图像有交点求参数的范围和根据恒成立求参数范围，解答本题

v

的关键是由尸")=/0)-/⑴一][奴工)一夕⑴]>0在定义域内恒成立，即分析其单调

性，由其导数为尸，3=9-1)[2口—2：T(x+l)],设夕仅)=公竹,

2x2

根据的单调性〃(力，分析得出尸的符号，得出产(幻单调性，属于难题.

7.(2021•全国高三专题练习(理))已知函数

f(x)=ex-sinx-cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.

⑴证明：当Q-与时'

(2)若g(x)N2+吟求

【答案】(1)证明见解析；(2)。=2.

试卷第12页，总90页

【分析】

(1)由题意分类讨论当“£(一弓,一(，xe^-pOj,XG［0,-HO),几种情况即可

证得题中的结论.

(2)观察(1)中的结论，首先讨论V>-笆时。的取值，然后验证当不，一包时不等式成

44

立即可求得实数。的值.

【详解】

(1)分类讨论：

①.当XG,/(x)=—\/2sin>0；

②.当X£(-?.O时，/r(jt)=^v-cosx+sinx,/z(0)=0,

/w(x)=ev4-sinx+cosx=ev+5/2sin^x4-^>0,

则函数r(x)在［一?,o)上单调增，则r(x)〈r(o)=。，

/\

则函数"可在一上单调减，则“力>/(0)=0；

③.当x=0时，由函数的解析式可知/(0)=1—0—1=0,

当xw［0,+oo)时,4,//(x)=-sinx+x(x>0),则”'(x)=-cosx+lNO,

故函数H(x)在区间［0,位)上单调递增，从而：H(x)>/7(0)=0,

即一sinx+xNO,-sinxN-x,

从而函数/(x)=，-sin无一cosxNe*一工一1,

令y="一工一1,则：y'="—1,

当xiO时，/>0,故y=/-1一1在［0,+co)单调递增，

故函数的最小值为=e°-。-1=0，

从而：ex-x-l>0.

从而函数f(x)="-sinx-cosxN——X-1N0；

综上可得，题中的结论成立.

(2)当X>一2%时，

4

/z(x)=g(x)-ax-2=ex4-sinjv+cosx-ax-2,

则”(x)="+cosx-sinx-〃，/z*(x)=/(x)>0,故/f(x)单调递增,

当。>2时，

〃(0)=2-a<0,"(ln(a+2))=2-0sinln(a+2)-工>0,

.«0,ln(a+2))使得“(x)=O,

当0cxe玉时，〃(力<0,〃(工)单调递减，力3<妆0)=0不符合题意；

当〃<2时，^(0)>0,

若在xe1一,,0)上，总有〃(x)20(不恒为零)，

则力(x)在-与,+8)上为增函数，但〃(。)=0，

故当xw一子，°)时，，2(X)<0,不合题意.

故在xw-弓s0)上,〃'(x)<0有解，

故玉-青0),使得〃㈤=0,

且当巧vxvO时,〃(x)>O,〃(x)单调递增，

故当工£(%,0)时，/i(x)<A(0)=0,不符合题意；

故。<2不符合题意，

当昕2时，/i'(x)=e*+cosx-sinx-2,

由于〃(力单调递增，“(0)=0,故:

一(万<不<0时，〃'(力<0,力(力单调递减；

x>0时,"(x)>O，Mx)单调递增，

此时/z(x)N〃(O)=O：

试卷第14页，总90页

当用,—皂时，=er+sinx+cosx-2x-2>0-\/2+—^--2>0,

综上可得，。=2.

【点睛】

对于利用导数研究不等式问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值

范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参

数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

8.(2021•全国高三专题练习(理))己知函数/")=x2-〃lnx.

(1)若〃=2,求曲线y=/(用的斜率等于3的切线方程；

(2)若y=/(x)在区间-,e上恰有两个零点，求〃的取值范围.

e

2

【答案】⑴3x-y-2-21n2=0；(2)(2efe].

【分析】

2

(1)求函数导数得r(x)=2x--=3,进而得切点，得斜率，由点斜式求切线方程即

x

可；

(2)讨论得当时，不成立，当。>0时，由函数导数判断/(x)只有一个极值点,

进而根据单调性列不等式求解即可.

【详解】

由已知函数/(x)定义域是(0,+8),

4、2oi\o22(x+l)(x-l)

(1)f(x)=x-2\nx,f(J)=2x—=---------------,

XX

由r(x)=2x-2=3解得x=2(x=M舍去)，

X2

又/(2)=4—21n2,所以切线方程为)一(4—21n2)=3(x—2),即

3x-y-2-21n2=0；

(2)当时，f\x)=2x-->0,函数单调递增，则不存在两个零点，舍

x

22x一

当。>0时，a2x-a1

f(x)=2x——=-------=——

XX

易知〃外只有一个极值点jq,要使得〃幻有两个零点，则上即

V2e，2

e

此时在上ra)<o,/(幻递减，在±r(x)>o,『(X)递增,

a

f(x)在a/时取得极小值--aln

22

解得2e<〃We2.综上。的范围是(2e,f].

【点睛】

关键点点睛：研究函数的零点的关键是得到函数的单调性，比较极值点端点值和X轴的

关系.

9.(2021•河南高三月考(理))已知函数/(x)=(x+m)/

(1)若/(X)在(fO』上是减函数，求实数〃的取值范围;

(2)当加=0时，若对任意的工«0,+8),nrln(nx)K/(2x)恒成立，求实数〃的

取值范围.

【答案】(1)(-00,-2]；⑵(0,2©].

【分析】

(1)由题意可得:(同工0对于恒成立，分离机转化为最值即可求解;

(2)由题意可得依ln(〃x)W2ie2x恒成立，HPeln(,u)ln(nx)<2xe2x,构造函数

f(x)=xe\利用导数判断其单调性可得In。状)与2x的关系，分离〃即可求解.

【详解】

(1)因为f(x)=(x+Me',所以f'Cx)=(x+m+l)e”,

试卷第16页，总90页

由题意可得f(x)KO对于X£(YQ,1]恒成立，即x+m+lWO,

可得加工一1-1,所以〃

所以实数机的取值范围是(-8,-2].

(2)对任意的xw(O,+8),几dn(nx)K/(2x)恒成立，

,n(nr)

即nxln(nx)<2x3’恒成立，即eln(/ir)<2x/x恒成立.

因为f(x)=x/,所以/(%)=(x+l)/,易知f(x)=xe"在(0,+co)上单调递增，且

在(一8,0)上f(x)<0,所以ln(")W2x,即kV£—对任意的xe(0,+8)恒成立.

x

令g*)=?(x>0)，则g，*)=(2=?

当。，；)时，g'(x)<0；当X£(；,+8)时，g\x)>0.

则g(x)在(o,；)上单调递减，在(g,+8)上单调递增，所以ga)min=g(g)=2e,

所以显然〃>0,

故实数〃的取值范围是(0,2句.

【点睛】

方法点睛：求不等式恒成立问题的方法

(1)分离参数法

若不等式"是实参数)恒成立，将〃x")"转化为；12g(力

或；l〈g(x)(x£。)恒成立，进而转化为4Ng(x)111ax或4Wg(x)而11a£。)，求

g(x)的最值即可.

(2)数形结合法

结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关

系(相对于x轴)求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元

二次方程根的分布解决问题.

(3)主参换位法

把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解,

一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.

10.(2021•湖北高三月考)已知函数=其中6=2.71828…为自然对数的

底数.

(1)求/(/)的单调区间；

(2)若《一2xlnx-H—120对Vx>0恒成立，记％ma、=%，证明：丸〉1.1.

【答案】(1)函数/(X)的增区间为(—,0)、(0,+8)；(2)证明见解析.

【分析】

(1)求得广(6=二—产匕证明出疝'一，+1>0对任意的工工o恒成立，由此

可得出结果；

(2)由题意可知不等式^~对任意的X>0恒成立，令

x

尸(x)=3—21nx,将所证不等式等价转化为尸(x)而n>l]，利用导数证明即可.

【详解】

(1)函数/(力=3的定义域为3无。0},且八力="一，+].

XJC

令/z(x)=(X-1)e，+1,则I(x)=xex.

当x<0时，”(力<0,此时函数妆力单调递减;

当x>0时,〃(x)>0,此时函数〃(x)单调递增.

所以，当xwO时,A(x)>A(0)=0,则r(%)>0.

综上所述，函数“力的增区间为(一8,0)、(0,+e)；

x_\

(2)由题意得不等式e^~!■—21nxN女对任意的/>()恒成立，

x

令尸(力=£-i-21nx,要证即证尸(力>1.1.

X

，/、(x-l)ev+l2(x-\)ex-2x+\

Fa)=-——q----------=-———----------•

'/x2xX2

试卷第18页，总90页

令g(x)=(九T)-一2x+l,其中x>0,则g'K)rx-2,g"(x)=(x+l)e*>0,

所以g'(X)在(0,+8)上单调递增，

又g'(0)=_2<0,g'(l)=e-2〉0,故*£(0,1),使得g'(工0)=毛£"_2=0,

所以，当工«0,/)时，有g'(x)<0,函数g(x)单调递减；

当时，g'(x)>0,函数g(尢)单调递增.

所以g(x)Ng(%)且g(0)=0,

•.,8㈤气泊-2x0+l=3---2x0<0,g(l\=Le2_2>0,

xo12J2

(3、/\x2x.—1

所以存在％ex。,彳,使得g(芭)=0,即人=一5「

I2JX]—I

且满足Vx«0，N),F'(x)<0,函数尸(X)单调递减；

VxG(Xj,+oo),Fz(x)>0,F(x)单调递增；

所以尸(x)Z尸(%)-21nxi=--------2\nx.

X—11

-21nx,x>0.则，'(工)=一7~奇■一二<0,

上单调递减.

3/3、(31(3]

又・・・0<%<5,则r(xj>q3j=21l—In])则只需证明20—InajAl.l,

33，八20

即In—<0.45,即一</*,即£〈犬,

22⑴

Q(Q\2,/oY

•・•《>—B2.6,可先证明-<-,

3⑴⑶

・・・35=243,28=256,则35<2',所以，320<248,可得(之丫<(号)

(|)＜凡证毕.

3,所以,

J

【点睛】

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式f(X)Ag(X)(或〃X)Vg(.X))转化为证明

/(X)-g(x)>°(或/(X)-g(x)<。)，进而构造辅助函数以x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅

助函数.

11.(2021•山东日照市•高三一模)已知函数，(力=/一以一1,鼠句=收.

(1)当。>0时，求/(另的值域;

当收)时,“X)之猛号

(2)令4=1一X恒成立，求k的取值范围.

【答案】(1)［a-a\na-\,-w］；(2)(-oo,l］.

【分析】

(1)求函数的导数，利用导数求出单调性，利用单调性求最值即可;

o(x)

(2)4=1时，f(x)>—------T一方恒成立转化为(，-1)111(工+1)之丘2恒成立，分

ln(x+l)

离参数后利用导数求解即可.

【详解】

x

(1)vf(x)=e-af

由/'(%)=。得，x=\na

・•・“X)在区间(T»［nq］上单调递减、在区间［Ina,y)上单调递增.

・・・函数〃力的最小值为：

:.f(lna)=*"—a\na—\=a-a\na—\；

，函数/(x)的值域是［a—alna—1,+8)；

当时，x

(2)a=lf(x)=e-x-\t

小

(x>0)

[/(x)+l]ln(x+1)>Ax2<=>p-l)ln(x+1)>Ax2

试卷第20页，总90页

/L(e-)g+l).丁一丁

x2x1

ln(x+l)ln(x+l)

令加(1)=一■,则小'(彳)=(二—1)2'+]

令夕(x)=(xT)"+l,则/'(4)=",

Vx>0,d(x)>0,9(x)在(O,+e)上单调递增.

.，.(p^x)>e(O)=0./n(x)>0.

于是m(x)在(O,T8)上单调递增，且制x)>0,(X>0)

又由(1)知当4=1,X£(0,+0O)时.

/(力=/一次一1的值域是[0,田)，即：/(x)=eA-x-l>/(O)=O,

所以：—>x+l恒成立.

/.x>ln(x+l).

所以；tn[x)>wt(ln(x+l)).

即：就m(x\T"

所以：k<\

・♦・%的取值范围是(口』].

【点睛】

关键点点睛：不等式的恒成立问题一般都需要转换，本题可转化为

/、ex-\ex-\

-l)ln(x+l)一~~一~~

(eA-l)ln(x+l)>H2,分离参数得％=------1------=---=*(则t

ln(x+l)ln(x+l)

构造函数m(x)=利用导数研究单调性，属于难题.

X

12.(2021,黑龙江大庆市•高三一模(理))已知函数/(x)=e]3.

(1)求证：f(x)>x-2；

(2)若。>1,x>ln。时，In(三里]</(幻一3恒成立，求实数。的取值范围.

\a)

【答案】(1)证明见解析；(2)(/,+8).

【分析】

<1)^g(x)=f(x)-(x-2)=ex-3-x+2,利用导数求得g(x)的最小值，从而可证

得不等式成立；

(2)原不等式变形为111(%—111。)+小一111。<6"-3+,—3,即

*zM+]n(%-lna)veA3+x-3.h(x)=ex+x,由〃(x)的单调性得

ln(x-ln(7)<x-3,]na>x-ex~3^利用(1)的结论得右边的最大值，从而可得。的

范围.

【详解】

解：(1)证明：令g(x)=/(x)-(工-2)=-N一次+2,

则g'(N)=ei-].

当X£(e,3)时g'(x)<0,

当xw(3,+co)时/(x)>0,

所以g(x)在(YO,3)上为减函数，在(3,+oo)上为增函数，

所以当％=3时，函数g(x)有最小值，g(x)min=0.

所以g(x)N0,即“x)之x-2.

(2)因为ln(x-Ina)-Inav广3―3,

所以111(冗一1111)+工一111。<ex~3+x-3.

所以e,n(r-,na)+ln(x-ln^)<炉7十工一3.

令〃(x)=e'+x,则〃(In(x-lna))-3)恒成立.

因为〃(外=/+1>0恒成立，

所以/?(%)=/+%在R上单调递增，

所以ln(x-Ina)<x-3恒成立，

试卷第22页，总90页

BPx—\na<ex~3，\na>x—e^3即恒成立.

由（1）知工一，-3式2，

所以lna>2,解得a>/,

所以实数。的取值范围为（e2,+o。）.

【点睛】

关键点点睛：本题考查有导数证明不等式，用导数研究不等式恒成立，用导数证明不等

式一般是不等式变形后引入新函数，证明新函数的最小值大于或等于0即证.本题解决

不等式恒成立的关键是不等式变形化，利用新函数的单调性化简不等式，并利用（1）中结

论得出参数范围.

13.（2021•江西高三其他模拟（理））已知函数〃x）=2x-mnx+4。，（〃£/?）

（1）讨论函数“X）的单调性；

（2）令g（x）=/（%）-sinx,若存在%,毛£（0,+oo）,且玉工超时，晨不）=8（毛），

2

证明：x}x2<a.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）求函数的定义域和导数，分"W0和。>0两种情况，结合导数可求出函数的单调性.

（2）根据题意可得“In%-始£）=2（%一-（sin%-sin%），通过构造函数

/z（x）=x-sinx,求函数单调性及参变分离可得々当-：，令，=五">1）,

通过导数得小（。=号■一Inf。〉]）的单调性，即可证明加（。>出（1）=0,从而可证

2

明X1X2<a.

【详解】

解：（1）的定义域为（0,+e）,/（力=2-@=生工，

XX

当440时，/'（3）>。，当a>0时，由/'（1）>0得工>£,由/'（x）<o得o<x<],

.••当aKO时，/（X）在（0,+8）上单调递增

当〃>0时，”力在（。身上单调递减，在仁,+8）单调递增.