经济数学基础（第六版）（上册）课件 第24讲5.5定积分的应用

经济数学基础辅导第24讲顾静相定积分的应用教学要求

会利用定积分计算平面图形的面积．平面图形的面积

由教材

5.1节例1知道，曲线

y

=f(x)(f(x)

0)，x轴和直线

x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积为：

．平面图形的面积

设函数

f(x)，g(x)在区间[a,b]上连续，并且在[a,b]上有0

g(x)

f(x)，x

[a,b]，

则曲线

f(x)，g(x)与直线

x=a，x=b围成的图形面积为(如图)：

，即

．

平面图形的面积当曲线

f(x)，g(x)不全在

x轴上方的情形(如图)．如果将

x轴向下平移，使两条曲线都位于新

x轴上方，在新坐标系中，曲线方程为

y=f(x)+c和

y=g(x)+c．所以，该图形的面积平面图形的面积

特别地，当

f(x)

0(x

[a,b])时，由曲线

y=f(x)，x轴与直线

x=a，x=b所围成图形的面积(如图)为：

．平面图形的面积

一般地，由曲线

y=f(x)，y=g(x)与直线

x=a，x=b围成图形的面积为：

．

(24.1)

平面图形的面积

类似地，由连续曲线

x=φ(y)，x

=ψ(y)(φ(y)

ψ(y))与直线

y=c，y=d(c<d)围成图形的面积(如图)为：

．

(24.2)

平面图形的面积例1求曲线

y=ex,y=e-x与直线

x=1所围成的平面图形面积．平面图形的面积解

作曲线

y=ex,

y=e-x与直线

x=1的图形，如右图所示．由图可知，两条曲线的交点、曲线与直线的交点分别为(0,1)，(1,e)，(1,e-1)，故所求面积为：例1求曲线

y=ex,y=e-x与直线

x=1所围成的平面图形面积．平面图形的面积例2求在区间

[0,

]上曲线

y=cosx与

y=sinx之间所围成的平面图形的面积．平面图形的面积解

作曲线

y=cosx,y=sinx

的图形，如右图所示.求两条曲线的交点，得

．所求面积为：例2求在区间

[0,

]上曲线

y=cosx与

y=sinx之间所围成的平面图形的面积．平面图形的面积例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解

作

y2=2x与

y=x-4的图象，如右下图所示.求两线的交点，即解方程得交点(2,-2)和(8,4)．例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解法1

取x为积分变量，由右图可看出，此时直线

x=2将曲线所围图形的面积分成两个部分，即

A=A1

+A2．例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解法1在

A1部分，由于抛物线的上半支方程为,下半支方程为

，所以例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解法1A2部分是由曲线

与直线

y=x-4以及

x=2，x=8围成的面积，即例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解法1

A=A1+A2,

于是得到：

．例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积解法2

取

y为积分变量，图形可看作是由曲线x=y+4，

以及直线

y=-2，y=4围成的.此时只需计算例3

求抛物线

y2=2x与直线

y=x-4所围成图形的面积．平面图形的面积求由若干条曲线围成的平面图形面积的步骤：

(1)画草图：

在平面直角坐标系中，画出有关曲线，确定各曲线所围成的平面区域；

(2)