经济数学基础（第六版）（上册）课件 第9讲2.3高阶导数

经济数学基础辅导第9讲顾静相2.3高阶导数教学要求

了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法．高阶导数

如果函数y=f(x)在点x处的导数f

(x)仍是x的函数，且

f

(x)在点x处对x的导数存在，则称导函数f

(x)在点x处的导数为函数f(x)在点x处的二阶导数，记作

f

(x)，或y

(x)，或，或．高阶导数

如果函数y=f(x)在点x处的导数f

(x)仍是x的函数，且

f

(x)在点x处对x的导数存在，则称导函数f

(x)在点x处的导数为函数f(x)在点x处的二阶导数，记作

f

(x)，或y

(x)，或，或．

类似地，二阶导数

f

(x)的导数称为

f(x)的三阶导数，记作

，…，(n

1)阶导数

f(n

1)(x)的导数称为

f(x)的

n阶导数，记作

f

(n)(x)，或y(n)(x)，或，或．高阶导数

函数y=f(x)在点x处具有

n阶导数，也称

n阶可导．二阶及二阶以上各阶导数统称高阶导数．四阶或四阶以上的导数记作

f

(n)(x)(n≥4)．高阶导数

函数y=f(x)在点x处具有

n阶导数，也称

n阶可导．二阶及二阶以上各阶导数统称高阶导数．四阶或四阶以上的导数记作

f

(n)(x)(n≥4)．

函数y=f(x)在点x0

处的各阶导数就是其各阶导函数在点

x0处的函数值，即

．高阶导数

函数y=f(x)在点x处具有

n阶导数，也称

n阶可导．二阶及二阶以上各阶导数统称高阶导数．四阶或四阶以上的导数记作

f

(n)(x)(n≥4)．

函数y=f(x)在点x0

处的各阶导数就是其各阶导函数在点

x0处的函数值，即

．

求函数的高阶导数，就是利用

2.2节中的求导公式及导数的运算法则，对函数一次一次地连续求导．高阶导数例1设f(x)=xcosx，求．高阶导数例1设f(x)=xcosx，求．解

因为

f

(x)=cosx

xsinx，导数乘法运算法则高阶导数例1设f(x)=xcosx，求．解

因为

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，导数乘法运算法则高阶导数例1设f(x)=xcosx，求．解

因为

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，导数乘法运算法则高阶导数例1设f(x)=xcosx，求．解

因为

f

(x)=cosx

xsinx，

f

(x)=

sinx

sinx

xcosx=

2sinx

xcosx，，所以．导数乘法运算法则高阶导数例2设y=exsinx，试证y

(x)2y

(x)

+2y=0．高阶导数例2设y=exsinx，试证y

(x)2y

(x)

+2y=0．证

因为

y

(x)

=exsinx+excosx，导数乘法运算法则高阶导数例2设y=exsinx，试证y

(x)2y

(x)

+2y=0．证

因为

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，导数乘法运算法则高阶导数例2设y=exsinx，试证y

(x)2y

(x)

+2y=0．证

因为

y

(x)

=exsinx+excosx，y

(x)=exsinx+excosx+excosx

exsinx

=2excosx，所以y

(x)2y

(x)

+2y

=2excosx2(exsinx+excosx)+2exsinx

=0．导数乘法运算法则高阶导数例3设y(x)=lnx，求y(n)(x)．高阶导数例3设y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因为，

，

，

高阶导数例3设y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因为，

，

，

，…，

高阶导数例3设y(x)=lnx，求y(n)(x)．解

因为，

，

，

，…，

所以．高阶导数例4设y=y(x)由方程

所确定，求

．高阶导数例4设y=y(x)由方程

所确定，求

．解由原方程得，高阶导数例4设y=y(x)由方程

所确定，求

．解由原方程得，对方程两端同时关于

x求导，得

高阶导数例4设y=y(x)由方程

所确定，求

．解由原方程得，即

对方程两端同时关于

x求导，得

高阶导数即

于是（7.1）

高阶导数即

于是