五年制数学(第一册上)(第六章)

§6.1平面向量一、向量二、向量的加法与减法三、实数与向量的积一、向量一、向量

一、向量

一、向量

一、向量

7.平行(或共线)向量方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.图中的a,b,c就是一组平行向量.向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.特别地,我们规定零向量0与任何向量平行.

8.自由向量有些向量只有大小和方向,与起点无关,与起点无关的向量叫作自由向量.若不特别说明,本节讨论的向量均为自由向量.一、向量

一、向量

一、向量

二、向量的加法与减法1.向量的加法

二、向量的加法与减法

求两个向量和的运算,叫作向量的加法.上述求两个向量和的作图法则,叫作向量加法的三角形法则.二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法零向量与任一向量a的加法,有a+0=0+a=a.向量加法满足如下运算律:(1)加法交换律a+b=b+a;(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法2.向量的减法

向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,记作a-b,即a-b=a+(-b).

求两个向量差的运算,叫作向量的减法.

由三角形法则可看出,要从a减去b只要把-b加到a上去即可.

二、向量的加法与减法例3

已知向量a,b,c,求作向量a-b,b-c,c-a.二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法

二、向量的加法与减法

三、实数与向量的积法1.数乘向量

已知非零向量a,可作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).a+a+a记作3a,(-a)+(-a)+(-a)记作-3a.显然3a的方向与a相同,它的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.-3a的方向与a的方向相反,它的长度是a的长度的3倍,即|-3a|=3|a|.三、实数与向量的积法

由上述分析可知,实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,它的长度|λa|=|λ|·|a|.其方向规定如下:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;λ=0时,λa=0.数与向量相乘的运算叫作向量的数乘运算.

特别地,当λ=-1时,我们得到(-1)a,它的长度与a相等而方向与a相反,则有:(-1)a=-a.

λa中的实数λ,叫作向量a的系数.

数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.三、实数与向量的积法数乘向量满足如下运算律:设λ,μ为实数,则

(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.三、实数与向量的积法例5已知向量a,b,计算下列各式:(1)(-2)×3a;

(2)2(a+b)-3(a-b)+a.

三、实数与向量的积法解(1)原式=(-2×3)a=-6a;(2)原式=2a+2b-3a+3b+a=5b.例6

a,b为已知向量,x是未知向量,且满足关系5(x+a)+3(x-b)=0,求向量x.三、实数与向量的积法三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

三、实数与向量的积法

布置作业§6.２平面向量一、虚数单位二、复数的概念三、复数的几何表示法四、共轭复数一、虚数单位

一、虚数单位

一、虚数单位例1计算:(1)i1998;

(2)i-5.一、虚数单位

二、复数的概念

二、复数的概念3.复数形如a+bi(a∈R,b∈R)的数称为复数.a,b分别叫作复数的实部和虚部.

复数a+bi常记为z,即z=a+bi.

从复数的定义易知:(1)当b=0时,复数a+bi就是实数a;(2)当b≠0时,复数a+bi就是虚数,此时若a=0,它就是纯虚数.所以,复数包含了所有的实数和虚数.实数和纯虚数是复数的特例.

全体复数所构成的集合——复数集通常用字母C表示,即有C={z|z=a+bi,a∈R,b∈R}.不难看出,有下列关系式存在:R∪I=C,R∩I=⌀,R⫋C,I⫋C.另外,若以C作为全集Ω,则∁ΩR=I.二、复数的概念

如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等,我们就说这两个复数相等,记作a+bi=c+di.

这就是说,若a,b,c,d∈R,则a+bi=c+di⇐⇒a=c且b=d,

特别地a+bi=0⇐⇒a=0且b=0.

应当注意,两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小.例如,3i与0,3i与2i,4与4-i都不能比较大小.二、复数的概念例2已知(x+2y)-i=6x+(x-y)i,其中x,y∈R,求x,y.二、复数的概念

二、复数的概念

三、复数的几何表达法1.用复平面内的点表示复数

从复数相等的定义,我们知道,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.这就使我们能借用平面直角坐标系来表示复数z=a+bi.如图6-18所示,点M的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点M(a,b)来表示,这个建立了直角坐标系却用来表示复数的平面叫作复平面,x轴称为实轴,其单位仍旧是1,y轴除去原点的部分称为虚轴(因为原点表示实数0,原点不在虚轴上),y轴的单位是i.因此,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上.三、复数的几何表达法例3用复平面内的点表示复数:2-2i,-2+3i,3i,-2,0.三、复数的几何表达法

解如图所示,复数2-2i用点A(2,-2)表示,-2+3i用点B(-2,3)表示,3i用点C(0,3)表示,-2用点D(-2,0)表示,0用点O(0,0)表示.三、复数的几何表达法2.用向量表示复数

三、复数的几何表达法

三、复数的几何表达法

三、复数的几何表达法

四、共轭复数

四、共轭复数

布置作业§6.３复数的四则运算一、复数的加法和减法二、复数的乘法和除法三、在复数集内解实系数一元二次方程一、复数的加法和减法

复数的加法和减法可以按照类似多项式的加法和减法的法则来进行,就是实部和实部相加减,虚部和虚部相加减,即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.例1求(-6+2i)-(5+4i).

一、复数的加法和减法解

(-6+2i)-(5+4i)

=(-6-5)+(2-4)i=-11-2i.例2计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).一、复数的加法和减法一、复数的加法和减法解

(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.根据复数的加法和减法的运算法则可知,(a+bi)+(a-bi)=2a,(a+bi)-(a-bi)=2bi.

即两个共轭复数的和是一个实数.而当b≠0时,它们的差是一个纯虚数.一、复数的加法和减法一、复数的加法和减法复数的加法满足交换律和结合律.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则有交换律z1+z2=z2+z1;结合律(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).一、复数的加法和减法例3在复平面内用向量表示下列复数:

(1)(1-i)+(2+i);(2)(1-i)-(2+i).

一、复数的加法和减法

一、复数的加法和减法学生练习1：1.计算:(1)(3+2i)+(1-4i);(2)(5-6i)-(3+4i);(3)(1+i)-(1-i)-(5-4i)+(-3+7i).2.在复平面内用向量表示下列复数:(1)(2+i)+(-1+3i);

(2)(5+3i)-(-1+4i).二、复数的乘法和除法

两个复数相乘,也按类似多项式相乘的法则进行,在所得展开式中,将实部和虚部分别合并,就得到所求的积.设复数z1=a+bi,z2=c+di,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

显然,两个复数的积仍然是一个复数.二、复数的乘法和除法例4计算:共轭复数a+bi与a-bi的积.

二、复数的乘法和除法解(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.由上例可知,两个共轭复数的积是一个实数.例5计算:(1-2i)(3+4i)(-2+i).二、复数的乘法和除法解(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.二、复数的乘法和除法

复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律.设复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则有交换律z1·z2=z2·z1;结合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.二、复数的乘法和除法

二、复数的乘法和除法例6使用计算器计算:(3+4i)÷(3-4i).解按键及显示结果如下:按键即a=-0.28, b=0.96.即(3+4i)÷(3-4i)=-0.28+0.96i.二、复数的乘法和除法二、复数的乘法和除法

二、复数的乘法和除法二、复数的乘法和除法

三、在复数集内解系数一元二次方程

三、在复数集内解系数一元二次方程例8解方程x2-8x+17=0.三、