2024-2025学年新教材高中数学第五章函数应用5.2.1实际问题的函数刻画练测评含解析北师大版必修第一册

PAGE2.1实际问题的函数刻画必备学问基础练进阶训练第一层学问点一由已知变量关系刻画函数1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)2．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严峻影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业安排从2024年起先，每年的年产能比上一年的年产能削减的百分比为x(0＜x＜1)．(1)设第n(n∈N*)年(2024年记为第1年)的年产能为2024年的a倍，请用a，n表示x；(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2024年的年产能的25%?参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477学问点二由图表信息刻画函数3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t改变的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形态可能是()4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm体重/kg606.13707.90809.999012.1510015.0211017.5012020.9213026.8614031.1115038.8516047.2517055.05(1)依据表中供应的数据，能否建立恰当的函数关系，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的关系？试写出这个函数的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？关键实力综合练进阶训练其次层1．某公司市场营销人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的月收入是()A．3100元B．3000元C．2900元D．2800元2．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的是()A．竖直向上放射的信号弹，从放射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的改变关系C．假如某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D．信件的邮资与其重量间的函数关系3．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数关系是()x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数关系B．二次函数关系C．指数函数关系D．对数函数关系4．某公司生产一批产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每台产品的售价为25万元，则利润取最大值时，产量x为()A．55台B．120台C．150台D．180台5．小明的父亲饭后出去漫步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是()6．如图，起先时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过________桶(1)中的水只有eq\f(a,8).()A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟7．某化工厂2024年的年产量是2024年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满意关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．9．(探究题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付胜利后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，须要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．10．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度安排将电的价格调至0.55元/度～0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?(收益＝用电量×(实际电的价格－成本价))学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以每小时60千米的速度由A地到达B地，在B地停留一小时后再以每小时50千米的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是______________．3．(情境命题—生活情境)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采纳买一个这种商品赠送一个小礼品的方法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在肯定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．§2实际问题中的函数模型2．1实际问题的函数刻画必备学问基础练1．解析：依据题意可知，存车总收入y(元)与x的函数关系式是y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)，故选D.答案：D2．解析：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝eq\r(n,a)，所以x＝1－eq\r(n,a)(n∈N*)．(2)设第n年的年产能不超过2024年的年产能的25%，则(1－10%)n≤25%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n≤eq\f(1,4)，nlgeq\f(9,10)≤lgeq\f(1,4)，n(2lg3－1)≤－2lg2，n≥eq\f(2lg2,1－2lg3).因为eq\f(2lg2,1－2lg3)≈eq\f(2×0.301,1－2×0.477)＝eq\f(301,23)，所以n≥eq\f(301,23).因为13＜eq\f(301,23)＜14，且n∈N*，所以n的最小值为14.所以至少要到2032年才能使年产能不超过2024年的年产能的25%.3．解析：从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，所以得下面的柱体横截面面积大，上面的柱体横截面面积小，故选A.答案：A4．解析：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出已知数据对应的点，依据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将其他数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发觉，这个函数模型能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98，由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．关键实力综合练1．解析：设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵函数图象过点(1,8000)，(2,13000)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝8000，,2k＋b＝13000，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝5000，,b＝3000，))∴y＝5000x＋3000，当x＝0时，y＝3000，∴营销人员没有销售量时的月收入是3000元．答案：B2．解析：A：竖直向上放射的信号弹，从放射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；B：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的改变关系是指数型函数关系；C：假如某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系；D：信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系．故选B.答案：B3．解析：视察图表中函数值y随自变量x改变的规律可知，随着自变量x增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数．故选D.答案：D4．解析：设利润为z万元，则z＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1·(x－180)2＋240.当x＝180时，利润z取最大值，选D.答案：D5．解析：20至30分钟时距离没有改变，故选D.答案：D6．解析：由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).设再经过t分钟，桶(1)中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，则eq\f(t＋5,5)＝3，解得t＝10.答案：D7．解析：设2024年年产量是a，则2024年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)3，解得x＝eq\r(3,n)－1.答案：eq\r(3,n)－18．解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2.))∴y＝－2×(0.5)x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．答案：1.759．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，达到120元，又∵x＝10，∴顾客须要支付140－10＝130(元)．(2)解法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为eq\f(0.8a－x,a)＝0.8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,a)))，∴当a越小时，此比值越小．又a最小为120元(即买两盒草莓)，∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15.∴x的最大值为15.解法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时假如满意李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15.∴x的最大值为15.答案：(1)130(2)1510．解析：(1)因为y与(x－0.4)成反比，所以可设y＝eq\f(k,x－0.4)(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝eq\f(k,0.65－0.4)，解得k＝0.2，所以y＝eq\f(0.2,x－0.4)＝eq\f(1,5x－2)，所以y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(1,5x－2)(0.55≤x≤0.75)．(2)依据题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5x－2)))(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以当电的价格调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.学科素养升级练1．解析：因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是匀称的，即图象是直线型的．故A错误；因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越缓．故B正确；球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．故C正确；图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，下半体越来越快，上半体越来越慢，即图象先变陡再变