广东省惠州市2025届高三数学第一次调研考试试题

，解除A，C；因为的大于0的零点中，最小值为；又因为，故选D．9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆绑后的专家分别派到3个县区，共有种分法，故总共有种派法。其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为.故选A．10.【解析】由“局部奇函数”可得：，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类探讨。设．（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），即或，解得：或．（2）若方程有两解，则，解得：，综上所述：，答案B．二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。11题选项12题选项可得分数全部正确BCDAC5分部分正确B、C、D、BC、BD、CDA、C3分11.【解析】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选：BCD．12.【解析】若，且，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；若，且，则与相互平行或相交或异面，故B错误；若相交，且，即两平面的法向量相交，则相交成立，故C正确；若，且，则与平行或相交，故D错误；故选：AC．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，其次个空2分。）13.14.28015.916.eq\f(\r(15),2)（3分），eq\f(\r(10),4)（2分）【注：14题结果写成不扣分】13.【解析】因此切线方程为.14.【解析】绽开式的第项为，故令，即，所以的系数为．15.【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9.16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC，由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，则sin∠ABC＝eq\f(\r(15),4)，cos∠ABC＝eq\f(1,4)，所以S△BDC＝eq\f(1,2)BC·BD·sin∠DBC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2)，F2θθACBED因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－eq\f(1,4)＝eq\f(BD2＋BC2－CD2,2BD·BC)＝eq\f(8－CD2,8)，所以CD＝eq\r(10)，F2θθACBED由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(4＋10－4,2×2×\r(10))＝eq\f(\r(10),4).答案：eq\f(\r(15),2)；eq\f(\r(10),4)法2：如图，作AE垂直BC，作DF垂直BC，由勾股及相像比可得面积。由二倍角公式可得目标角度的余弦值。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题满分10分）【解析】（1）法1：，，①1分，，成等比数列，，化简得，②2分又因为3分【注：无此步骤，本得分点不得分】且由①②可得，，．4分【注：只要算出即可给分】数列的通项公式是5分法2：，，，成等比数列，，1分，化简得，2分又因为3分【注：无此步骤，本得分点不得分】得．4分数列的通项公式是5分（2）由（1）得，7分8分．9分所以10分18.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及正弦定理可得：2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB1分2sinCcosB＝sin(A＋B)，2分因为A＋B＝π－C，所以2sinCcosB＝sinC，3分因为sinC≠0，4分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以cosB＝eq\f(1,2).5分因为0＜B＜π，6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以B＝eq\f(π,3).7分法2：由已知bcosA＝(2c－a)cosB，及余弦定理可得：1分化简得2分余弦定理可得3分因为≠0，4分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以cosB＝eq\f(1,2).5分因为0＜B＜π，6分【注：无此步骤，本得分点不得分】所以B＝eq\f(π,3).7分（2）由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB8分【注：单独写出此步骤，即可得1分】得＝eq\f(1,2)×4×c×，所以c＝1.9分又由余弦定理：，10分【注：单独写出此步骤，即可得1分】得，11分故△ABC的周长为5＋eq\r(13).12分【注：其次问也可过A作BC边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】19.（本小题满分12分）CEDBAFxyz【解析】（1）CEDBAFxyz所以1分因为是正方形，所以2分又,面，面3分【注：此步骤未写全3个条件，本得分点不得分】故平面 4分（2）法1：【向量法】因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．5分因为平面，且与平面所成角为，即，6分所以由已知，可得7分则所以8分设平面的法向量为，则，即令，则9分因为平面，所以为平面的法向量，10分所以11分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 12分NCEDNCEDBAFGHMPQ如图，G、P分别为线段ED、EB的三等分点，M、N分别为线段EB、DB的中点，MN∩GP=H，连结FH，AF//NH，且AF=NH，所以FH//AN，且FH=AN所以FH⊥面BDE，过F作FQ⊥EB垂足为Q，连结HQ由三垂线定理知，∠FQH为二面角的平面角。6分由已知可得，所以7分因为平面，且与平面所成角为，即，8分△PHQ为直角三角形，∠QPH=60°，，所以，9分由勾股定理得，得，10分所以cos∠FQH11分所以二面角的余弦值为 12分20.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：【待定系数法】由题意可得，1分又因为点在椭圆上得2分联立解得，.3分所以椭圆的方程为4分法2：【定义法】设另一个焦点为，则△为直角三角形，由勾股定理得，1分所以，即，2分由得3分所以椭圆的方程为4分（2）当直线为非轴时，可设直线的方程为，与椭圆联立，整理得.5分由设，，定点(且则由韦达定理可得，.6分直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，即得.7分又，，得，所以，整理得.8分从而可得，即，9分所以当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.10分特殊地，当直线为轴时，也符合题意.11分综上，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称12分21.（本小题满分12分）【解析】（1）6名亲密接触者中随机抽取3名共有种方法，……………1分抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，……………2分所以抽到感染者的概率…………3分（2）（i）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5，………………4分，，，，，【表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】分布列如下：12345…5分【注：无列表不给分】所以……6分（ii）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组。假如按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，，……………7分分布列如下：23…………………8分假如按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，，……………9分分布列如下：23…………………10分【参考回答1】：因为，……………11分所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可。……12分【参考回答2】：因为，按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少，………………11分所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好。……………12分【注】第三问属于开放性问题，以上仅为参考答案，能给出理由并作出合理推断就可给分。请留意后续的开放题考查评分可能涉及满足原则（如回答1）及加分原则（如回答2）。（本小题满分12分）【解析】（1）因为，则函数定义域为，，……………1分若，则，在单调递减；………2分若，则，单调递增，………3分………………4分【注：无列表不得分】微小所以当时，的微小值为，无极大值；…………5分（2）法1：，则，……6分由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，……………………7分令，，…………8分令，，恒成立，所以所以恒成立，………………………9分所以；；；则………………10分所以，当且仅当时等号成立。……11分所以，正实数的取值范围为.……………………12分法2：由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，……………6分因为，所以，所以，（*），……………7分令