初中数学几何模型

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型:

角分线模型

过向分岐臬点作鼻城

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边

或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），

翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明:

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一

的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

A

共旋转模型

说明：

旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通

过"8"字模型可以证明。

模型变形

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等

腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形

的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全

等。

中点旋转:

说明：

两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形

及两个图形顶点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰

直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化

成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公

旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角

三角形从而得证。

中点模型

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

MMwm

4*'

MiMl期*

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异侧两线段之举最小模型

轴对称模型

*,LN//・

X1-----L----

M

\

H、

''f1■r■

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

最短模型最小模型最小模型

对称最值

（点到直线垂线段最短）

OrG--

说明：

通过对称进行等量代换转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值

（共线有最值）

4D

9

说明：

找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值,定长线段的差为

最小值。

简拼模型

三角形-四边形

DPC

''图6"Jffi-i

四边形一四边形

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形-正方形

说明：

通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形一正方形

旋转相似模型

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角

三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成

夹角符合旋转“8"字的规律。

相似模型

说明：

注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量

代换来构造相似三角形的作用。

说明：

(1)三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式

出现的居多。

(2)内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之

处。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推广到圆幕定理)之间

的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行

证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论

的比值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a条件：均为等边三角形

a结论：①A。4c・AOBD；②LAEB=60°；③平分LAED,

(2)等原内A

a条件：A"",'。均为等腰直角三角形

»结论：①AO.4C•A()BD,②LAEH-90\

a③OE平分乙(即。

<3)任意等腰三角形

»条件：AQf员AOCD均为等股三房影

a结论：①AOJC■AOBD.②LAEB-LAOB.

A③平分乙4£〃。

A模型二手拉手模型-旋转型相似

A条件：CD/,将M)CD族转至右图位置

A结论：

a右图中①A欠〜AO48=AO"AOBD§

a②延长4c交3。于点,E,必有乙8EC-430.4

⑵特殊觑

A条件：C。”48,乙108・90°,将ACXD旋转至右图

位贵

a结论：右图中①AOCOSAO/B=AO/CAOBD；②

延长4c交BD于点E,必有乙BEC-LBOA；

旦丝QeCD

③/COCOA,@BDLAC

⑤连接/D.BC,必有azr+8,⑥2(对角线互相垂直的四边形)

A模型三：对角互补模型

a条件：①乙〃M•LDCE-90、②0c平分UOB

»怙论：QCD-CE:©OD+OE->J2OC，③

A证明提示：

①（乍垂直，如图，证明AC/”/・ACE.VJ

②过点C作CF,℃,如上图（右），证明AODC-AF£C.

a当的一边交x。的延长线于点。时：

以上三NS论：G）CD=CE（不变）I

@OE-OD-410c,③Sg-Sk~2OC

此结论证明方法与前仲情况一致，可自行尝试。

(2)

条件：①乙408・2L1XE-120°,

②”核乙408；

结论：①（D"%②（）D+（）E・OC5

.CC6M

Q"nr7Mm+>soL~TU（-

③4

证l糊示：①可参考“全等型-90。”证法一；

②如图：在OB上取一点、F,使OF=OC,证明AOCF

为等边三角形。

（3）全等到任意角”

aQZL4Ofi-2fi,ZDC£-l80-2af（gjCD-CE,

a结论：（D（乂秩UCB$②OD+OE・2OC*cosa,

a③心«-Sy,+SMKJi-OC-•sina«cos«

A当乙。C£的一边交.4。的延长线于点。时（如右上图）：

原结论变成：①»

②1

③）

可缪考上逑第②神方法曲亍证明,请更考初始条件的变化对模型体电晌・

A炳互才

①常见初始条件：四边形对角互补J注意两点：四点共圆及亶甬三曲形斜边中线;

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两手怫见睇fll雎发作法；

金注意a'平分乙时，乙CDE-LCED-LCOA-乙CO相等如洞推导？

〜A模型四：角含半角模型90。

《1》甬含半角模型W-1

a条件：①正方形枇①，②LEAF-45°,

a牯论：①£尸■。尸+8E；②\CEF的周长为正方形H8C。周长的一半.

也可以这样：

a条件：①正方形ABCD，②EF-DF+BE

a结论：LEAF-45°

（2）角含半角模型90°-2

a条件：①正方形ABCD；②LEAF-45°；

A恬论：EF-DF-BE

a践J吓醐示：

£1咽：4MAC《方通不唱一》

丁ZA)K--45,A4"〃-ZCUZ

VZ.VW-Z1C7・45・：・AJ/Ws八〃E

：.---AXIHE^XUT

AHAE

a条件：①正方形ABCD.②LEAF-45°.

a结论：&〃愁为等原直再三角形。

-A模型五：倍长中线类模型

1,4*

a条件：①j®形'BCD:②BD・BE.③DF•EF,

a结论：4尸J.CF

模型提取：书亍线40//8£;②平1亍线I、凿戋段有中点。尸

可以构造“8”字全等MDF>MIEF.

<2）告长中绳娥型-2

a条件：码行四边形ABCD,©BC-2.48；③AM-DM；@CE1AD.

a结论：(EMD■3(MEA

.4B//CI).有中点」“■/上”

是长EM,构itXdAflM).\fF.i(M(M构

遣多・\E\K.XXKF

通过构建8字外号,殁他量2位Jt夫系.用的大

小If化

A模型六：相似三角形360°旋转模型

133_________________________________

<1)相以三角形(等原直角)360。旋转模型母卬线法生”：畛K1)1«,*G,FG-Ztf.

A条件：①&〃)£、A48c均

为等腰直角三角形，②

£F-CF

a结论：①DF=BF$②

DF1BF

<»相似三角形(等展直角)360°旋转模型T隆法

a条件：①&4DE、A48c均为等腰直角三角形，②打、CF,

a结论：①DF・BF；②DF人BF

辅曲线：构造殍牌克南&4EG、A.I/7C

娥劝外田酷：将ZJ/与"”朴化利((/苟IH

(2)任意相似直角二角形360,旅丰与模型4^±法M财代：省长BAG.使・拓■.招,睡长

a条件：①M)AB^SODC5②LOAR,LODC-90°；CDM4H便DH=e,,卜全“附加、

OCH也0笠阱幡里.力死」£与小刑CG

4BH,。息在“先乙(EP

融财惧：14KPF£•假人死・戊・将雄

a条件：①M)AB^ODCf②・乙ODC・900.③：：的MH、第件科化今壮明MW7>\l/f()tJt

BE-CEQ

力巾息.将X4MI>^SABG缰储"化为遣明

A怙论：①』£■/)£1②UED-2LAHO

78”八A.〃〃.使网网边机比JL尖用寺

此处%A.A:上明Z.IAI/■乙KN)

A模型七:最短路程模型

<4）最短路程段型三（旋转类最侑模型〉

R

彳、•、,被大<ft位押

“小例漏

♦♦:Dnaa<«4.as»zicu>Mi»*fi①汽融04・4,，耽・2

>*：QD»VW.z<W*-xr

②（注色点。笈♦壬qM0或”②“A〃0・4・（MT.，WF*依件・

，力OT・2；3rH・i：4。产。州上•&

③点P4・■睛<«*■域内-（&线¥）-A

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产模型九:相似三角形模型

•[,

(D相假三的形模至基本型(第相曲三危形模型制交星

*斗：如生W外漏44A7)・z>KH,5r

A字型8字里A字型

Mie：・<£*M.S，，CxaZ>

十斤臬：DE//W触纷1*，・■小用々ce-乙次、

jnjp7>p”沦："JAMAH

抬论：叱口把口丝.《上怠计应诋要时应)

个闻±・,

ABACBC3Ee41AHEC•2KX.4<*

欧2-HE*BA.<A*-BE=.U

(3)相以三角形模型一线三角型

中Mi乙iB(■/ACE・«DE・«T

trtl:乙UK-4CT-^CDE-45”论：左IB:P.WR♦PCxPI)

H的：所行阳邪在妁”论

中由：PA-•PC^PB

1\UK5、《/环：②I"X”,欣・(7)

七用：

一慢三苓前核幺也睫窜冏公充3方4氏隔代美

以上”论功可以通<1帆似三角打遣什注叫

«

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

E

【模型2］遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60。，G是DF的中

点,连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数

量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；

(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写

出你的猜想，并给予证明.

角平分线模型

【模型1］构造轴对称

【模型2］角平分线遇平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交BC边于E,EF

J_AE交CD边于F,交AD边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连

接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为

手拉手模型

OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

【结论】AOAC=^OBDiZAEB=NQ1B=NCO0（即都是旋版）;OE平分ZAEDi

D

邻边相等的对角互补模型

【睡1】

【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD,NS4D+NBC。=N48C+4DC=180,

【结论】HC平分〃CD

【例2】

【条件】如图，四边形.4BCD中，.43=1。，NBAD=ZBCD=9。

【结论】①乙165=48=45°②BC+CD=0AC

【例】如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=5,G为CD中点，DE=DG,

FGJ_BE于F,则DF为

半角模型

【崛1】

【条件】如图，四边形.43CD中，AB=AD,ZBAD+NBCD=NABC-ZADC180:

NEAF=-NBAD,点选直线BCk,点祐直线CD±.

2

【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系

B

弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同心的正方形

【例】如图,点E为正方形月38边,婚上一点,点尸在DE的延长线上,AF^AB,NC与

尸。交于点G,/FAB的平分线交尸G于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点1.

若AH—3AI,FH=2-^2)则DG—

政

C

【例】如图，A4BC中，ABAC=90),AB=AC,4D15C于点。，点E是/C重点，连

结BE,作AG1BETF,交5c于点G,连接EG,求证：NG"£G=5E.

最短路径模型

【两点之间线段最短】

L将军饮马

A

\B

,•.•।

------------2--------

P、.

B'

ii