2025届福建省寿宁县八年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届福建省寿宁县八年级数学第一学期期末学业水平测试试题题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜﹣3 B．x＞﹣3 C．x≠﹣3 D．x=﹣32．下列各数中是无理数的是（）A． B． C． D．3．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点4．若的结果中不含项，则的值为（）A．2 B．－4 C．0 D．45．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或126．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是A．6个 B．7个 C．8个 D．9个8．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm9．下列命题是假命题的是（）A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c； B．锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°；C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等； D．三角形三个内角和等于180°．10．如图，是的中线，于点，已知的面积是5，，则的长为（）A． B． C． D．111．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于D，若∠B=50°，则∠ADC=(

)A．60° B．80° C．65° D．40°12．下列命题是假命题的是A．全等三角形的对应角相等 B．若||＝－，则a>0C．两直线平行，内错角相等 D．只有锐角才有余角二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_______．（只需填一个即可）14．木工师傅做完房门后，为防止变形，会在门上钉上一条斜拉的木条，这样做的根据是______．15．已知，则_______________．16．如图，上海实行垃圾分类政策后，各街道、各小区都在积极改造垃圾房，在工地一边的靠墙处，用12米长的栏围一个占面积为20平方米的长方形临时垃圾堆放点，栅栏只围三边，并且开一个2米的小门，方便垃圾桶的搬运.设垂直于墙的一边长为米．根据题意，建立关于的方程是____．17．若点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝_____．18．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，B地在A地的正东方向，两地相距28km.A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h.问：该车是否超速行驶？20．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）通过画图，在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB，并直接写出点Q的坐标．点Q的坐标为．21．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值解法一：设2x3﹣x2+m＝x+m＝（2x+1）（x2+ax+b）则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得，解得∴m＝．解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）由于上式为恒等式，为方便计算取x＝，，故m＝选择恰当的方法解答下列各题（1）已知关于的多项式x2+mx﹣15有一个因式是x﹣3，m＝．（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值：（3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长.23．（10分）已知：如图OA平分∠BAC，∠1=∠1．求证：AO⊥BC．同学甲说：要作辅助线；同学乙说：要应用角平分线性质定理来解决：同学丙说：要应用等腰三角形“三线合一”的性质定理来解决．请你结合同学们的讨论写出证明过程．24．（10分）如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．25．（12分）如图，在等腰中，为延长线上一点，点在上，且（1）求证：；（2）若，求的度数．26．在△ABC中，AB=AC(1)如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=(2)如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=(3)思考:通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:(4)如图3,如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】分式有意义，分母不为0，由此可得x+3≠0，即x≠﹣3，故选C.2、B【分析】分别根据无理数的定义即可判定选择项．【详解】A、是有限小数，是有理数，不是无理数；B、是无理数；C、是分数，是有理数，不是无理数；D、是整数，是有理数，不是无理数；故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3、A【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．4、D【分析】由的结果中不含项，可知，结果中的项系数为0，进而即可求出答案．【详解】∵==，又∵的结果中不含项，∴1-k=0，解得：k=1．故选D．【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法法则，利用法则求出结果，是解题的关键．5、C【解析】试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4，∵4+4=4，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4，能组成三角形，周长=4+4+4=4，综上所述，它的周长是4．故选C．考点：4．等腰三角形的性质；4．三角形三边关系；4．分类讨论．6、B【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，∴a=0+2=2，b=0+1=1，∴a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．7、C【解析】根据等腰三角形的性质，逐个寻找即可.【详解】解：根据等腰三角形的性质，寻找到8个，如图所示，故答案为C.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，注意不要遗漏.8、D【分析】解答此题要延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，再用勾股定理进行计算．【详解】延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：BC2=（15-3）2+（1-4）2=122+162=400，所以BC=1．则剪去的直角三角形的斜边长为1cm．故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算．9、C【分析】根据平行线的性质和判定和三角形的内角对每一个选项进行判断即可．【详解】解：A、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，是真命题，不符合题意，本选项错误；B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°，是真命题，不符合题意，本选项错误；C、两条直线被第三条直线所截，若这两条直线平行，则内错角相等，故是假命题，符合题意，本选项正确；D、三角形三个内角和等于180°，真命题，不符合题意，本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握平行线的性质和判定和三角形内角问题是解题关键．10、A【分析】根据三角形的中线的性质得：的面积是2.5，再根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】∵是的中线，的面积是5，∴的面积是2.5，∵，，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质以及三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．11、C【分析】利用三角形的外角定理及内角定理推出∠ADC与∠B的关系，进而代入数据求出结果．【详解】设的两个外角为、．则（三角形的内角和定理），利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．可知，∴．故选：．【点睛】本题考查三角形的内角和定理及外角定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．12、B【分析】分别根据全等三角形的性质、绝对值的性质、平行线的性质和余角的性质判断各命题即可.【详解】解：A.全等三角形的对应角相等，是真命题；B.若||＝－，则a≤0，故原命题是假命题；C.两直线平行，内错角相等，是真命题；D.只有锐角才有余角，是真命题，故选：B.【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（每题4分，共24分）13、∠A=∠F（答案不唯一）【详解】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等．14、三角形具有稳定性【分析】三角形具有稳定性，其它多边形具有不稳定性，故需在门上钉上一条斜拉的木条．【详解】解：为防止变形，会在门上钉上一条斜拉的木条，这样做的根据是：三角形具有稳定性故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】此题考查的是三角形具有稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性，其它多边形具有不稳定性是解决此题的关键．15、【分析】依据比例的性质，即可得到a=b，再代入分式化简计算即可．【详解】解：∵，

∴a=5a-5b，

∴a=b，

∴，

故答案为：．【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．16、【分析】设垃圾房的宽为x米，由栅栏的长度结合图形，可求出垃圾房的长为（14-2x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设垃圾房的宽为x米，则垃圾房的长为（14-2x）米，根据题意得：x（14-2x）=1．故答案为：x（14-2x）=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17、1【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化，横坐标不变，纵坐标互为相反数求a,b的值，从而求解.【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，∴a＝﹣3，b＝2，∴ab＝（﹣3）2＝1．故答案为1．【点睛】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律是本题的解题关键.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）,关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）,关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).18、48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．三、解答题（共78分）19、该车超速行驶了【解析】试题分析：根据题意得到AB=28，∠P=45°，∠PAC=90°，∠ABQ=45°，则∠ACP=45°，∠BCQ=45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH=BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC=BC=AB=14，根据等腰直角三角形的性质得PC=AC=28，CQ==14，所以PQ=PC+CQ=42，然后根据速度公式计算出该车的速度=126km/h，再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．试题解析：根据题意可得，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，∴∠ACP＝45°，∴∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，在△ACH和△BCQ中∴△ACH≌△BCQ(AAS)，∴AC＝BC＝AB＝14，∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，∴PQ＝PC＋CQ＝42，∴该车的速度＝＝126(km/h)，∵126km/h＞110km/h，∴该车超速行驶了20、（1）见解析；（2）见解析，(2，0)【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1；（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点Q，则QA与QB之和最小．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，点Q即为所求，点Q的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查了利用轴对称作图以及最短距离的问题，解题的关键是最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．21、（1）1；（1）m＝﹣5，n＝10；（3）a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x1﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）1【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x1+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x1+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；（1）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣1）（A为整式），分别取x＝1和x＝1得关于m和n的二元一次方程组，求解即可；（3）设x3﹣x1+ax+b＝（x+p）（x1+1x+1），将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可．【详解】解：（1）由题设知：x1+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x1+（n﹣3）x﹣3n，故m＝n﹣3，﹣3n＝﹣15，解得n＝5，m＝1．故答案为1；（1）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣1）（A为整式），分别令x＝1和x＝1得：，解得：，∴m＝﹣5，n＝10；（3）设x3﹣x1+ax+b＝（x+p）（x1+1x+1），∵（x+p）（x1+1x+1）＝x3+（1+p）x1+（1+1p）x+p，∴，解得：，∴多项式x3﹣x1+ax+b＝x3﹣x1﹣5x﹣3，∴x3﹣x1﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x1+1x+1）＝（x﹣3）（x+1）1，∴a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x1﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）1．【点睛】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键．22、CD=2.【分析】先延长AD、BC交于E,根据已知证出△CDE是等边三角形,设CD=x=CE=DE=x,根据AD=4，BC=1和30度角所对的直角边等于斜边的一半,求出x的值即可.【详解】延长AD、BC，两条延长线交于点E,∵∠B=90°，∠A=30°∴∠E=60°∵∠ADC=120°∴∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形则CD=CE=DE设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1∵在Rt△ABE中，∠A=30°∴x+4=2(x+1)解得：x=2∴CD=2.【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形,用到的知识点是30度角所对的直角边等于斜边的一半,等边三角形的判定与性质,关键是作出辅助线,构造直角三角形.23、见解析【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，根据角平分线的性质可得OD=OE，然后根据等角对等边证出OB=OC，然后利用HL证出Rt△ODB≌Rt△OEC，可得∠ABO=∠ACO，再利用等角对等边证出AB=AC，最后根据三线合一即可证出结论．【详解】解：作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E∵AO平分BAC，∴OD=OE∵∠1=∠1∴OB=OC在Rt△ODB和Rt△OEC中∴Rt△ODB≌Rt△OEC∴∠ABO=∠ACO又∵∠1=∠1∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∵AO平分∠BAC∴AO⊥BC【点睛】此题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．24、（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE=AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF(AAS)，∴DF=EF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CEAC．∵点G是AC的中点，∴CE=AG=EG=AD，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG，∴AD∥GE，∴四边形ADEG是菱形．【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．25、（1）见解析；（2）30°【分析】（1）根据在△ABC中，AB=CB，∠