北师大版数学九年级下册《第一章直角三角形的边角关系》教案及练习题

第一章直角三角形的边角关系

第1节从梯子的倾斜程度谈起

本节内容：

\正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重;

i点）\

1、正切的定义

在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做NA的正切，记作tanA。

即tanA二幺野当，

NA的邻边b

■例1

已知在RtZ^ABC中,ZC=90°，CD1AB,AD=8,BD=4,求tanA的值。

2、坡度的定义及表示（难点

我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：tana=1h

注意：

（1）坡度一般写成1：m的形式［比例的前项为1,后项可以是小数）：

（2）若坡角为a,坡度为i=；=tan。，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。

■例2

拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC为6m,坝高为3.2m,为了提高拦水坝的拦水能力,

需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由

原来的i=l：2变成i，=1：2.5（有关数据在图上已标明）。求加高后的坝底HD的宽为多少？

3、正弦、余弦的定义

在Rt中，锐角NA的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA。

NA的对边a

即sinA=

斜边C

ZA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作cosA.

NA的邻边b

即cosA二

斜边

・例3

在AABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什

么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义(重点)

锐角A的止弦、余弦和止切都是/A的三角函数。

直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：

(1)三边之间关系：a2+b2=c2；

(2)锐角之间关系：ZA+ZB=90°；

(3)边角之间关系：sinA=—,cc-sA=—,tanA=—o(其中NA的对边为a,NB的对边为b,

ccb

ZC的对边为c)

除指教外只要知道其中2个元素(至少有1个是边)，就可以利用以上关系求另外3个元素。

■例4

方方和圆圆分别将两根木棒AB=lQcm,CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm,DE=2cm,你能判

断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：

3

1、ZC=90°,点D在BC上，BD=5,AD=BC,cosZADC=-,求CD的长。

2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3,4）,求sina、（ana的值。

3、在AABC中，D是AB的中点，DC_LAC,且tanNBCD='，求tanA的值。

3

DB

4、在Rl/SABC中，NC=90°,tanA=—,周长为30,求AABC的面积。

5、在RtZXABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3,则sinB的值是多少？

第2节30°,45°,60°角的三角函数值

本节内容：

30°,45°,60°角的三角函数值（重点）

1、30°,45°,60°角的三角函数值（重点）

根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。

JT

角函数

sinacosatana

锐角a

2立

30°皂

223

更也

45。1

22

事2

60°73

T2

噌减性增大减小增大

■例1

求卜列各式的值。

⑴sin60°-sin30°

tan60°

(2)7tan2600-4tan60°+4-272sin45°o

本节作业：

1、求下列各式的值。

(1)2sin300+3tan30°+tan45°：

(2)cos2450+tan60°-cos3()0o

cr「、…，HLL4sin"3cosa

2、已知a为锐角，且tana—5＞求的值。

2cosa+sin。

3、Z\ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已

知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？

4、2cos45。的值等于

5、ifWV3sin60°-V2cos45°+V8o

第3节三角函数的有关计算

本节内容：

利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）锐角三角函数计算的实际应用（难点）

1、利用计算器求任意锐角的三角函数值（重点）

计算三角函数的具体步骤大体分两种情形：

（1）先按三角函数键，再按数字健；

(2)或先按数字键，再按三角函数键。

利用计算器还可以求角度的大小。

■例1

利用计算器求下列锐角的三角函数值。

(1)sin35°；

(2)tan85°；

(3)sin72038,25M；

(4)cos47°15'o

2、锐角三角函数计算的实际应用(难点)

小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E,过点E的该矩形的

高为BC,把小刚眼睛看做点Ao现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行，视线AB与

AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°,求AC与AE的长(精确到0.1米)。

ft

「水平线

典型例题：

例1用计算器求下列三角函数值。(精确到0.001)

(1)sin35°

(2)cos42°

(3)tan75°

例2已知下列锐角的三角函数值，利用计算器求锐角。(精确到1，)

(1)sina=0.5276

(2)cosa=0.5276

(3)tana=0.5276

例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD,斜坡AB长22m,

坡角NBAD=68。，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员

勘测，当坡角不超过50°时，可诲保山体不滑坡。

(1)求改造前坡顶与地面的距嘲BE的长；(精确到0.1m)

(2)为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问

BF至少是多少？(精确到0.1m)

(参考数据：

sin68°«0.9272,cos68°«0.3746,tan68°«2.4751,sin50°«0.7660,

cos50°比0.6428,

tan50°«1.1918)

FB

□

□

□

例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位

所占街道的宽度EF。(参考数据：sin40。z0.64,cos。a0.77,tan40。R0.84,结果精确到

0.1m)

例5要求tan45。的值，可构造如图所示直角三角形，作Rl^ABC,使NC=90°,两直角边

srn

AC=BC=a,则NABC=45°,所以tan45。="=上=1。你能否在此基础上，求出tan22030r

BCa

的值?

例6在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一

长为30米的宣传条幅AE,张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为

50°,测得条幅底端E的仰角为30°。问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地

方进行测量？（精确到整数米）

例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B,

测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？

第4节船有触礁的危险吗

\本节内容：

\方向角的定义解直角三角形〔重点）解直角三角形的实际应用（难点）

1、方向角的定义

方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目

标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线OA、OB、0C的方向角分别为北偏

东15°、南偏东200、北偏西60°。

其中南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样北偏西45。又叫西北方向。如OE的方向角

为南偏东45°,OG的方向角为南偏西45°,那么，G、E可以说在。的哪个方向呢？由方向

角的定义可知，G在0的西南方向，E在0的东南方向。

百

■例1

某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船

遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。己知渔船所处

位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，

如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？(参考数据:

932

sin63°«—,tan63°«2,sin34c«-,tan34°«-)

1()53

2、解直角三角形(重点)

在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。

在RtZkABC中，ZC=90",NA、ZB>NC所对的边分别为〃、b>C.

(1)三边之间关系：cr+b2=c2

(2)锐角之间美系；ZA+ZB=90°

(3)边角之间关系：sinA=—=cosB,cosA=—=sintanA=—=―!—

ccbtanB

(4)面积公式：泌优为斜边上的高)

22

在直角三角形中，除直角的五个量中，若己知其中的两个量(其中至少有一条边)，就

可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：

RtZXABC中,ZC=90°

已知选择的边角关系

斜边和一直角22

c,a由sinA=@,求NA；ZB=90°-ZAtb=>Jc—a

边c

22

两直角边a,b由tanA=@,求NA；ZB=90°-NA,c=yla+b

b

斜边和•锐角c,NANB=90°-ZA；a=csinA：b=ccosA

一直角边和一a

/R-QHa-/A.A—0_

锐角tanAsinA

注意:

（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：

①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数：

②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；

③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：

一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；

二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。

（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角

平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我

们常用的解题方法是：招非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程

（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。

（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而

作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分

割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。

■例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m,滑梯着地点B与梯架之

间的距离BC=4m。

（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）

（2）若规定滑梯的倾斜角（NAB。）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯

的倾斜角是否符合要求？

3＞解直角三角形的实际应用（难点）

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题

转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角

三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

一般有以下几个步骤：

1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；

2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；

3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助

线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；

4.确定合适的边角关系，细心推理计算。

■例3

台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏

力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最

大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的

速度沿北偏东30。方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则

称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？

典型例题：

例1在AABC中，已知AB=1,AC=V2,ZABC=45°,求BC的长。

BC

例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时15近千米的速度沿北

偏西60。方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C

处，此时甲船发现鱼具丢在了乙铅上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，

结果两船在B处相遇。

（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？

（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？

例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航

行，在A处测得航标C在北偏东60°防西哪个上。前进100m到达B处，又测得航标C在

北偏东45°方向上（如图），在以航标C为圆心，120m为半径的圆形区域内有浅滩，如果

这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？1.73）

第5节测量物体的高度

本节内容：

,测量底部可以到达的物体的高度［重点）测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

1、测量底部可以到达的物体的高度（重点）

简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。

使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:

(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时

度盘的顶线PQ在水平位置。

(2)转动转盘，使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是

测点相对于被测点的仰角或俯角。

说明:

（1）所谓“底部可以到达“，就是在地面上可以无真纳干碍地直接测得测点与被测物体的

底部

之间的距离。

(2)测量步骤如图（测量物体MN的高度）：

①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角ZMCE=a；

②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=Z；

③量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）。

(3)物体MN的高度=/tana+〃（＞

■例1

升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24nl处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学

视线的仰角为30°,若双眼离地面1.5m,则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）

2、测量底部不可以到达的物体的高度（难点）

（1）所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。

（2）测量步骤（如图。测量物体MN的高度）：

①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角NMCE二a；

②在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与N在一条直线上，且A、B之间的

距离可以直接测得），测得此时M的仰角ZMDE=BH

③量出测倾器的高度AC=BD=〃，以及测点A、B之间的距离AB=b。、、

（3）物体高度MN=ME+EN=册。。而,十㈤米。

tan-tanezE

提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。

■例2

如图,从山顶A处看到地面C点的俯角为60°,看到地面D点的俯角为45°,测得CD=1506

米，求山高AB。（精确到0.1米，百-1.732）

典型例题：

例1如图，两建筑物的水平距离为36m,从A点测得D点的俯角a为36°,测得C点的俯

角夕为45°,求这两座建筑物的高度。（结果精确到0.1m）

例2如图，河边有一条笔直的公路/,公路两侧是平坦的草地，在数学活动课上，老师要求

测量河对岸一点B到公路的距离，请你设计一个测量方案。

.B

公路1

例3如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角NBPC的度数为30°,窗户

的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m,窗户的高度AF为2.5m,求窗外遮阳篷外端

一点D到窗户上缘的距离ADo（结果精确到0.1m）

CEP

知识点一锐角三角函数的定义

1.在RtAABC中，ZC=90°,直角三角形边角之间的关系：

（1）三边关系：__________或（即_______定理）

（2）三角关系：（BP定理）

（性质：直角三角形两锐角）

（3）边角关系（即tanA,sinA,cosA与边的关系）

锐角NA的正弦：NA的（）边（)()

sinA--

(）边（)()

锐角NA的余弦：NA的（）边（)()

cosA,

(）边（)()

锐角NA的正切：NA的（）边（)()

tanA,

NA的（）边（)()

注：①锐角A的、、都是NA的与曲里婺。

②三角函数值是一个比值，没有单位.

2.练习：

例1.在RtAABC中，ZC=90°,