2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差3．（2分）下列各式中，化简后能与合并的是（）A． B． C． D．4．（2分）一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm25．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．86．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30° B．60° C．90° D．120°7．（2分）小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间8．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是．10．（2分）在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为米．11．（2分）每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，数据整理如下：册数01234人数9320153由此估计该校八年级学生4月份人均读书册．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝°．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，则BC＝．14．（2分）某市2021年和2022年5月1日至5日每日最高气温（单位：℃）如下表：1日2日3日4日5日2021年22222424252022年2726313330则这五天的最高气温更稳定的是年（填“2021”或“2022”）．15．（2分）如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为．16．（2分）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是．三、解答题（共68分）17．（8分）计算：（1）；（2）（π﹣2023）0+|1﹣|﹣+（）﹣2．18．（4分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：AE＝CF．19．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明；证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形（）（填推理的依据），∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A'、B′的坐标．21．（5分）有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，试求这块空白地的面积．22．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．（1）图中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度与这根芦苇的长度．23．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF＝AD．24．（6分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：分组频数0≤x＜60260≤x＜70570≤x＜801580≤x＜90a90≤x≤1008合计50b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：81，81，82，83，83．c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表：年级平均数中位数众数七787985八81b83根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝，b＝．（2）你认为年级的课后延时服务开展得较好，理由是．（至少从两个不同的角度说明理由）（3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．25．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过B点作BE∥AC，且BE＝AC，连结EC，ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．26．（5分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，x+的最小值为；当x＜0时，x+的最大值为．（2）当x＞0时，求y＝的最小值．27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（0，b）．①若b＝4，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为．（2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．

2022-2023学年北京市东城区东直门中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（2分）一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出商家最关心的数据．【解答】解：∵众数体现数据的最多的一点，这样可以确定进货的数量，∴商家更应该关注这种运动鞋尺码的众数，故选：C．【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．3．（2分）下列各式中，化简后能与合并的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝2，化简后不能与合并，不符合题意；B、＝，化简后不能与合并，不符合题意；C、＝，化简后能与合并，符合题意；D、＝＝，化简后不能与合并，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把各个二次根式正确化为最简二次根式是解题的关键．4．（2分）一个菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，则这个菱形的面积等于（）A．24cm2 B．48cm2 C．12cm2 D．18cm2【分析】根据菱形的面积公式：菱形的面积＝两条对角线的乘积的一半即可求得其面积．【解答】解：∵菱形的面积＝×两条对角线的乘积＝×6×8＝24cm2，故选：A．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高，（2）利用菱形的特殊性，菱形面积＝两条对角线的乘积的一半；具体用哪种方法要看已知条件来选择．5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．6.5 B．7 C．7.5 D．8【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，∴OA＝，∴AE＝2OA＝8；故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．6．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与O点连线的夹角即可求得旋转角．【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C旋转至点B的位置上，此时∠COB＝360°÷6＝60°，故选：B．【点评】本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大．7．（2分）小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3．以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OB＝，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．8．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（）A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中点可得a﹣2c＝0，进而判断．【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），同理Rt△AEH≌Rt△CGF，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵E是AB的中点，∴a＝2c，∴a﹣2c＝0，∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，方法二：连接EG，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠FEG＝∠HGE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠BEG＝∠DGE，∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，∴∠BEF＝∠HGD∵EF＝HG，∠B＝∠D，∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），∴DG＝BE＝CD＝AE，∴四边形AEGD为平行四边形，∵∠A＝90°，∴▱AEGD为矩形，同理四边形EBCG为矩形，∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG•DG+EG•GC＝EG•DG＝EG•CD＝S矩形ABCD．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点（a，b）关于原点对称的点是（﹣a，﹣b）．【解答】解：点A（2，3）关于原点对称的点坐标是（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题关键．10．（2分）在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为100米．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵点D、E分别为AC、BC的中点，∴AB＝2DE＝100（米），故答案为：100．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11．（2分）每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，数据整理如下：册数01234人数9320153由此估计该校八年级学生4月份人均读书2册．【分析】先根据表格中的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数．【解答】解：估计该校八年级学生4月份人均读书（0×9+1×3+2×20+3×15+4×3）÷50＝2（册），由此估计该校八年级学生4月份人均读书2册．故答案为：2．【点评】本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝50°．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，则BC＝．【分析】作AD⊥BC于D，利用∠B＝30°，求出AD，再利用∠C＝45°，求出CD，再求BC即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∴，∵∠C＝45°，∴DC＝AD＝2，∴．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形边角关系是解题关键．14．（2分）某市2021年和2022年5月1日至5日每日最高气温（单位：℃）如下表：1日2日3日4日5日2021年22222424252022年2726313330则这五天的最高气温更稳定的是2021年（填“2021”或“2022”）．【分析】分别计算两年的3月上旬的平均数和方差，然后根据方差的意义判断．【解答】解：2021年5月1日至5日气温的平均数为：，方差为：＝1.442022年5月1日至5日气温的平均数为：＝29.4，方差为：＝6.64，方差越大的数据越不稳定，由于6.64＞1.44，所以2021年5月1日至5日气温更稳定．故答案为：2021．【点评】本题考查了方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．15．（2分）如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB＝3，BC＝6，则DE的长为．【分析】先根据折叠的性质得到∠DBC＝∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC＝∠BDE，则∠DBE＝∠BDE，可判断BE＝DE，设AE＝x，则DE＝BE＝6﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+32＝（6﹣x）2，再解方程即可得出AE以及DE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，∵△BDC′是由△BDC折叠得到，∴∠DBC＝∠DBE，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝6﹣x，BE＝6﹣x，在Rt△ABE中，∵AE2+AB2＝BE2，∴x2+32＝（6﹣x）2，解得：x＝，则DE的长为：6﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．16．（2分）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是5．【分析】连接DF，根据正方形的性质证明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，∴BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，∴当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，在Rt△CDD′中，根据勾股定理得：CD′＝＝＝5，∴BE+CF的最小值是5．故答案为：5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质．三、解答题（共68分）17．（8分）计算：（1）；（2）（π﹣2023）0+|1﹣|﹣+（）﹣2．【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和平方差公式运算，然后化简二次根式后合并即可；（2）先根据零指数幂、绝对值的意义和负整数指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝+5﹣3＝+2＝3+2＝5；（2）原式＝1+﹣1﹣3+9＝9﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．18．（4分）已知：如图，E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．求证：AE＝CF．【分析】先由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠DAE＝∠1，而∠1＝∠2，于是∠DAE＝∠2，根据平行线的判定得到AE∥CF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠2，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出AE∥CF是解题的关键．19．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明；证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）（填推理的依据），∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为：AF，BE，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，画出旋转后的图形△OA'B'，并写出点A'、B′的坐标．【分析】根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．【解答】解：如图所示，△OA'B'即为所求，A'（0，﹣5），B'（﹣3，﹣4），【点评】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．21．（5分）有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，试求这块空白地的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理可求出AC的长，再证明△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝△ABC面积﹣△ACD面积即可计算．【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S空白＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：这块空白地的面积是96米2．【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．22．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．（1）图中DE＝1尺，EB＝5尺；（2）求水的深度与这根芦苇的长度．【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，E为AB中点，即可得出答案；（2）根据题意，可知AB的长为10尺，则EB＝5尺，设芦苇长DC＝BC＝x尺，表示出水深EC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：（1）由题意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；故答案为：1，5；（2）设芦苇长DC＝BC＝x尺，则水深EC＝（x﹣1）尺，在Rt△ECB中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，则EC＝13﹣1＝12（尺），答：芦苇长13尺，水深为12尺．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．23．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF＝AD．【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF＝AD．【解答】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF＝AD．【点评】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．24．（6分）某中学为了解家长对课后延时服务的满意度，从七，八年级中各随机抽取50名学生家长进行问卷调查，获得了每位学生家长对课后延时服务的评分数据（记为x），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．八年级课后延时服务家长评分数据的频数分布表如表（数据分为5组：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：分组频数0≤x＜60260≤x＜70570≤x＜801580≤x＜90a90≤x≤1008合计50b．八年级课后延时服务家长评分在80≤x＜90这一组的数据按从小到大的顺序排列，前5个数据如下：81，81，82，83，83．c．七，八年级课后延时服务家长评分的平均数，中位数，众数如表：年级平均数中位数众数七787985八81b83根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝20，b＝82.5．（2）你认为年级的课后延时服务开展得较好，理由是（答案不唯一，言之有理即可．）八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分．（至少从两个不同的角度说明理由）（3）已知该校八年级共有600名学生家长参加了此次调查评分，请你估计其中大约有多少名家长的评分不低于80分．【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频数之和为50即可求出a的值，利用中位数的定义可求出八年级得分的中位数，即m的值；（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；（3）求出家长的评分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣5﹣15﹣8＝20，b＝（82+83）÷2＝82.5．故答案为：20，82.5；（2）八年级的课后延时服务开展得较好，理由如下：（答案不唯一，言之有理即可．）八年级课后延时服务家长评分数据的平均数为81分，高于七年级的78分，说明八年级家长评分整体高于七年级；八年级课后延时服务家长评分数据的中位数为82.5，七年级为79，说明八年级一半的家长评分高于82.5分，而七年级一半的家长评分仅高于79分．（3）＝336（名），答：估计其中大约有336名家长的评分不低于80分．【点评】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．25．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过B点作BE∥AC，且BE＝AC，连结EC，ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．26．（5分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵+b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）当x＞0时，x+的最小值为2；当x＜0时，x+的最大值为﹣2．（2）当x＞0时，求y＝的最小值．【分析】（1）根据题中的不等式求解；（2）先把代数式变形，再利用题中的不等式求解．【解答】解：（1）∵x＞0，∴x+≥2＝2；∵x＜0，∴x+＝﹣[﹣x+（﹣）]，∵﹣x+（﹣）≥2，∴x+≤﹣2，故答案为：2，﹣2；（2）∵x＞0，∴y＝＝x+3+≥2+3＝8+3＝11，∴y的最小值为11．【点评】本题考查了配方法的应用，理解题中的新方法是解题的关键．27．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝45°﹣α（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系．【分析】（1）①根据描述画出图形即可；②根据三角形内角和定理可得∠DBF＝90°﹣α，由正方形的性质可得∠CBD＝45°，则∠EBF＝∠DBF﹣∠CBD；③在DF上截取点G，使DG＝BF，连接CG，易通过SAS证明△BCF≌△DCG，得到CF＝CG，∠BCF＝∠DCG，于是可得∠GCF＝∠BCD＝90°，由等腰直角三角形的性质得GF＝CF，以此即可得到线段BF，CF，DF之间的数量关系；（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，由（1）③可知，DF＝BF+CF；②当点E在线段BC的延长线上时，设BF交CD于点N，在BF上截取点H，使BH＝DF，易通过SAS证明△BCH≌△DCF，得到CH＝CF，∠BCH＝∠DCF，∠HCF＝∠BCD＝90°，于是GF＝CF，DF＝DG+GF＝BF+CF；③当点E在线段CB的延长线上时，在ED的延长线截取点M，使DM＝BF，连接CM，易证明通过SAS△BCF≌△DCM，同理可FM＝CF，于是DF+BF＝CF．【解答】解：（1）①补全图形如图所示，②∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵∠BDF＝α，∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝90°﹣α，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CBD＝45°，∴∠EBF＝∠DBF﹣∠CBD＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α；故答案为：45°﹣α；③DF＝BF+CF，理由如下：在DF上截取点G，使DG＝BF，连接CG，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，∵∠BDF＝α，∴∠CDG＝45°﹣α，由②知，∠EBF＝45°﹣α，∴∠CBF＝∠CDG，在△BCF和△DCG中，，△BCF≌△DCG（SAS），∴CF＝CG，∠BCF＝∠DCG，∴∠GCF＝∠GCE+∠BCF＝∠GCE+∠DCG＝∠BCD＝90°，∴△GCF为等腰直角三角形，GF＝CF，∴DF＝DG+GF＝BF+CF；（2）①当点E在线段BC上时，由（1）③可知，DF＝BF+CF；②当点E在线段BC的延长线上时，设BF交CD于点N，在BF上截取点H，使BH＝DF，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵BF⊥DE，∴∠NDF+∠DNF＝90°，∠CBN+∠BNC＝90°，∵∠BNC＝∠DNF，∴∠CBN＝∠NDF，即∠CBH＝∠CDF，在△BCH和△DCF中，，∴△BCH≌△DCF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠DCF，∴∠HCF＝∠DCF+∠HCN＝∠BCH+∠HCN＝∠BCD＝90°，∴△HCF为等腰直角三角形，∴FH＝CF，∴BF＝BH+FH＝DF+CF；③当点E在线段CB的延长线上时，