6.3.2二项式系数的性质课件高二下学期数学人教A版选择性2

6.3.1二项式系数的性质6.3二项式定理回顾旧知1、二项式定理：2、通项：3、二项式系数：特别注意：项的系数与二项式系数是两个不同的概念.4、特殊地：第(k+1)项探究新知1、计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表，你发现了什么?n

(a+b)n展开式的二项式系数123456每一行的系数具有对称性除此以外还有什么规律呢?11121133114641151010511615201561探究新知上表写成如下形式：11

121133114641151010511615201561172135352171能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(a+b)7(a+b)n…………探究新知上表写成如下形式：11

121133114641151010511615201561(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.即：②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.即：

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了。我们称这个表为杨辉三角。

由于杨辉在书中引用了贾宪著的《开方作法本源》和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”

杨辉在《详解九章算法》二项式系数表中说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；并指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它.

这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623-1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.

这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.探究新知下面再从函数角度分析二项式系数：对于(a+b)n展开式的二项式系数:rf(r)O1235101520456

可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是：对于确定的n，我们还可以画出它的图像．例如，当n=6时，

(r∈{0，1，2，3，4，5，6})的图象是右图中的7个离散点．{0，1，2，…，n}

探究新知2、探究：(1)观察右图，你发现了什么规律?(2)请你分别画出n=7，8，9时

的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律?rf(r)O1235101520456n=7n=8n=9二项式系数的性质1、对称性：

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式

得到．f(r)rnO51520110图象的对称轴：二项式系数的性质2、增减性与最大值：(增减性的实质是比较

的大小)所以

相对于

的增减情况由

决定．可知，当

时，由：由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值二项式系数是逐渐增大的，二项式系数的性质2、增减性与最大值：∵二项展开式共有n+1项，∴(1)当n为偶数时，正中间一项的二项式系数

最大；(2)当n为奇数时，中间两项的二项式系数

相等，且同时取得最大值.f(k)kn3O515201101245n为偶数f(r)rnO51520110n为奇数二项式系数的性质3、各二项式系数的和在二项式定理中，令a＝b＝1，则：这就是说，(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.同时由于上式还可以写成：这是组合总数公式.

总结提升一般地，(a+b)n展开式的二项式系数有如下性质：随堂练习1、(P34T4)若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？解：若子集元素个数为0时，子集有

个；若子集元素个数为1时，子集有

个；若子集元素个数为2时，子集有

个；……若子集元素个数为n时，子集有

个；所以这个集合共有

个子集.例题解析1、证明：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式赋值法=2n-1结合二项式系数和为2n令a＝1，b＝－1得总结提升一般地，(a+b)n展开式的二项式系数有如下性质：(5)奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：随堂练习2、已知

，那么＝

；a+b3、若(a+b)n的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=

；194、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是()A、第15项B、第16项C、第17项D、第18项C随堂练习5、在(a＋b)10展开式中，系数最大的项是().A、第6项B、第7项C、第6项和第7项D、第5项和第7项A6、在(a－b)10展开式中，系数最大的项是().A、第6项B、第7项

C、第6项和第7项D、第5项和第7项D2、在(2x－3y)10展开式中(1)求二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和.例题解析10241512随堂练习7、已知：(2x+1)10=a0x10+a1x9+a2x8+…+a9x+a10，(1)求a0+a1+a2+……+a9+a10的值；(2)求a0+a2+a4+……+a10的值.310=59049结论：设f(x)=(a＋bx)n其奇次项系数的和是其偶次项系数的和是随堂练习8、已知：(2x－1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10，则a2+a3+……+a9+a10的值为()A、－20B、0C、1D、20D例题解析证明：3n＝(2+1)n又∵n≥2，上式至少有三项，且3、求证：3n＞2n－1·(n＋2)(n∈N，且n≥2)∴3n＞2n－1·(n＋2)(n∈N，且n≥2)随堂练习所以原不等式成立.9、证明：，(n∈N*，且n≥3)例题解析4、

(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为()A、10 B、－10C、2 D、－2C解析：(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，双通法：求多项式积的特定项的方法，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为