高中数学试题：立体几何

点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1.（2013•浙江高考）设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面（）

A.若机〃a,n//a,则机

B.若机〃a,m//则a〃4

C.若m〃n,m,La,则

D.若机〃a,则机_1_6

【解析】可以借助正方体模型对四个选项分别剖析，得出正确结论.A项，

当加〃a,〃〃a时，祖，”可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，

当机〃a,机〃P时，a,夕可能平行也可能相交，故错误；C项，当机〃“，m-La

时，n-i-a,故正确；D项，当机〃a,aJ_p时，机可能与用平行，可能在夕内，

也可能与夕相交，故错误.故选C.

【答案】C

2.（2013•青岛模拟）已知机、n、/是三条不同的直线，a、氏/是三个不同的

平面，给出以下命题：

①若mUa,n//a,则机〃〃；

②若HiUa,a邛,aC0=1,m.Ll,则机_1_"；

③若"〃"z,mUa,贝！J“〃a；

④若a〃y,£〃”则0（〃£.

其中正确命题的序号是（）

A.②④B.②③C.③④D.①③

【解析】对于命题①，加、n可能是异面直线，故①错；对于命题③，可

能有“Ua,故③错；故选A.

【答案】A

3.（2013・天津模拟）已知/,机是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面,

有下列五个命题：

①若IU0,且a〃.，则/〃a；

②若1邛,且a〃4，则/，a；

③若八夕，且则/〃a；

④aC夕=m，J=LI//m,则/〃a；

⑤若aCp=m，I//a,I//B，贝!]/〃帆

则所有正确命题的序号是（）

A.①③⑤B.②④⑤

C.①②⑤D.①②④

【解析】根据面面平行的性质知，①②正确，⑤中由/〃a,/平行平面a

中的某条直线x,同理/平行平面夕中的某条直线y,从而x〃%所以y〃a,进

而y〃/n,故/〃加，所以⑤正确.故选C.

【答案】C

4.（2013・广东高考）设机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，

下列命题中正确的是（）

A.若a_l_p,mUa,nU0,则m.Ln

B.若a〃夕，机Ua,nU§,则机〃“

C.若m_Ln,mUa,则

D.若机_La,m//n,n///i,贝!Ja_l_p

【解析】本题可以依据相应的判定定理或性质定理进行判断，也可以借助

于长方体模型，利用模型中的直线和平面进行判断.

如图，在长方体A3CD—AiBCbDi中，平面BCCLBI，平面ABC。，3QU平

面BCC®3CU平面A5CD,而3。不垂直于3C,故A错误.

平面AiBCbDi〃平面A3CD,BLDIU平面AIBCLDI,ACU平面ABCD,但

BLDI和AC不平行，故B错误.

AB±AiDi,ABU平面A3CD,ALDC平面ALBCLDI,但平面AIBCLDI〃平

面A3CD,故C错误.故选D.

【答案】D

5.（2013•江西高考）如图4—2—8,正方体的底面与正四面体的底面在同一

平面a上，且AB〃CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,ER相交的平面

个数分别记为m,n,那么m+n=（）

图4—2—8

A.8B.9

C.10D.11

【解析】取CD的中点H,连接EH,HE在四面体CDER中，CgEH,

CD-LFH,所以CD，平面EEH,所以A3,平面EEH,所以正方体的左、右两

个侧面与ER平行，其余4个平面与ER相交，即咒=4.又因为CE与A3在同一

平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即

m=4,所以m+“=4+4=8.

【答案】A

二、填空题

图4—2—9

6.如图4—2—9,在正方体ABCD—ALBICLDI中，M,N分别是棱CLDI,

CC的中点.以下四个结论：

①直线AM与直线CC相交；

②直线AM与直线BN平行；

③直线AM与直线DD\异面；

④直线3N与直线MBi异面.

其中正确结论为.（注：把你认为正确的结论序号都填上）

【解析】由图可知AM与CG是异面直线；AM与3N也是异面直线；AM

与。Di是异面直线；3N与MB也是异面直线，故①②错误，③④正确.

【答案】③④

7.（2013・黄冈模拟）给出下列命题：

①直线。与平面a不平行，则a与平面a内的所有直线都不平行；

②直线a与平面a不垂直，则a与平面a内的所有直线都不垂直；

③异面直线a,6不垂直，则过a的任何平面与6都不垂直；

④若直线a和人共面，直线。和c共面，则。和c共面.

其中错误的命题是.（只填序号）

【解析】对于命题①②，当直线a在平面a内时，结论不成立，故命题①

②错；

对于命题③，假设过a的一个平面与5垂直，则异面直线a,6垂直与已知

矛盾.故命题③正确；

对于命题④，当直线a和6平行，6与c相交时，a和c可能是异面直线，

故命题④错误.

【答案】①②④

8.（2013・安徽高考）如图4—2—10,正方体A3CD—ALBICLDI的棱长为1,P

为的中点，Q为线段CCi上的动点，过点A,P,。的平面截该正方体所得

的截面记为S,则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①当0<CQ<，S为四边形;

②当CQ=g时，S为等腰梯形；

31

③当CQ=I时，S与CiDi的交点R满足CI7?=3；

3

④当W<CQV1时，S为六边形；

⑤当CQ=1时，S的面积为坐.

【解析】①当0VCQV；时，如图（1）.

在平面AALDID内，作AE〃尸Q,

显然E在棱DDi上，连接E。,

贝US是四边形APQE.

②当CQ='时,如图(2).

显然尸。〃3ci〃ADi,连接Di。，

则S是等腰梯形.

3

③当CQ=i时，如图(3).

作BF//PQ交CC的延长线于点F,则。声=；.

作AE〃质交DDi的延长线于点E,DiE=|,AE//PQ,

连接EQ交CiDi于点&由于RtARCiQ^RtARDiE,

：.CiQ：DiE=CiR：RD\=1：2,ACi7?=1.

3

④当a〈CQVl时，如图(3),连接RM(点〃为AE与ALDI交点)，显然S

为五边形APQRM.

⑤当CQ=1时，如图(4).

同③可作AE〃尸。交DDi的延长线于点E,交ALDI于点显然点M为

4D1的中点，所以S为菱形APQM,其面积为gMPXAQ=gx小乂小=坐.

【答案】①②③⑤

三'解答题

9.(2013•江西高考)如图4-2-11,直四棱柱A3CD—ALBICLDI中，A3〃CD,

ADLAB,AB=2,AD=®A4i=3,E为CD上一点、,DE=1,EC=3.

图4—2—11

(1)证明：BE,平面331clC；

(2)求点Bi到平面EAiCi的距离.

【解】⑴证明过点5作CD的垂线交CD于点£则

BF=AD=y12,EF=AB~DE=1,FC=2.

在RtABFE中,BE=y13.

在RtZiCRB中，BC=y[6.

在△BEC中，因为BE2+BC=9=EC2,故BELBC.

由3BJ平面ABCD,得BE±BBi,

所以BE，平面BBiCiC.

(2)连接BiE,则三棱锥E-AiBiCi的体积V=-jAAi-SAAiB]Ci=y[2.

在RtAAiDiCi中，AiCi=^/AIDT+DIC?=3^2.

同理，ECi=^EC2+CCT=3^2,

AIE=^/AIA2+AD2+DE2=273,

故SA4CiE=3小.

设点Bi到平面EAiCi的距离为d,

则三棱锥Bi-EAiCi的体积

V=^-d-S/\EAiCi=y/5d,

从而小d=爽,

10.(2013・济南模拟)如图4-2-12,斜三棱柱A1BCi—ABC中，侧面AAiCiC

，底面ABC,底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AAiCiC是菱形，ZAiAC

=60°,E、R分别是Ai。、A3的中点.

图4-2-12

(1)求证：ECmABC；

(2)求三棱锥Ai—EFC的体积.

【解】证明(1)在平面A41cle内，作AiOLAC,。为垂足.

因为NAiAC=60。，所以A0=；44i=5C,即。为AC的中点，所以。C触

AiE.

因而EC触40.因为侧面A4CC底面ABC,交线为AC,AiO±AC,所以

4。，平面ABC.

所以ECABC.

(2)F到平面AiEC的距离等于3点到平面AiEC距离30长度的一半，而30

=小.

所以VAx—EFC=VF—AiEC=^SAAiEC-^BO

=*AiE-EC坐=畀/坐=/

11.(2013•青岛模拟)如图4—2—13,在长方形A3CD中，AB=2,BC=1,

E为CD的中点，R为AE的中点.现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起

的图形中解答下列问题：

ABAB

图4—2—13

(1)在线段A3上是否存在一点K,使3C〃平