第五章一元函数积分学

第五章一元函数积分学

第五章一元函数积分学

本章前半部分介绍不定积分的概念及其计算方法，然后简单介绍微分方程的基本概念以

及利用不定积分方法求解两类简单微分方程；后半部分介绍定积分的概念、计算方法，以

及定积分在几何和物理的应用。本章内容占全出考试内容25%。重点是不定积分和定积分

计算，难点是换元法，分部积分。

5.1原函数与不定积分的概念

—•、原函数与不定积分

定义5.1设f(x)是定义在区间I上的一个函数。如果F(x)是区间I上的可导函数，并

且对任意的均有或Df(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。

例如，因为对任意的均有，所以sinx是cosx在区间(-8,+oo)内的一个原函数。

因为对任意的均有，所以arcsinx是在(-1,1)内的一个原函数。

显然，一个函数的原函数不是唯一的。事实上，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原

函数，即，那么，对任意常数C,均有，从而F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数。这

说明，如果函数f(x)在区间I上有一个原函数，那么f(x)在I上有无穷多个原函数。另

一方面，如果函数F(x)和G(x)都是函数f(x)在区间I

脚删川1»1»喇

上的原函数，那么，从而G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C,其中C为某个常数。因此,

如果函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x),那么f(x)在区间I

上的全体原函数组成的集合为函数族

定义5.2如果函数f(x)在区间I上有原函数，那么称f(x)在I上的全体原函数组成的

函数族为函数f(x)在区间I上的不定积分，记为，其中记号称为积分号，f(x)称为被积函

数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

由定义以及前面的说明知，如果F(x)是f(x)在区间1

uniimn眦喇

上的一个原函数，那么

，其中C为任意常数，例如，

UHUIIIIIHIIIIIHIIIHII

，O

一个函数要具备什么条件，才能保证它的原函数一定存在呢？关于这个问题，我们有如

下结论，(证明略去)

定理5.1(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定

有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F(x),使得。

简单地说就是：连续函数必有原函数。由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函

数在其定义区间上一定有原函数。

怎样求一个连续函数的原函数或不定积分呢？后面几节讨论这个问题。下面仅给出一些

简单函数的不定积分的例子。

例1：求不定积分。

［答疑编号10050101：针对该题提问］

解：因为例2：求不定积分。，所以为函数x的一个原函数。故a。

［答疑编号10050102：针对该题提问］

解：当解0时,

当x<0时;

所以是函数在；。上的一个原函数，从而

不定积分有下而两条性质

性质-性质二或或

例3：设曲线通过点(1,0),且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍。

试求此曲线的方程。

［答疑编号10050103：针对该题提问］

解：(1)设曲线方程为y=f(x),则由已知，曲线在点(x,f(x))处的斜率为

Illlllllllllllllllllllllllllllllllllll

IHUHHII删IHfflll㈣It!

2；.曲线方程为y=x+C

(2)•.,曲线过点(1,0).-.0=l+C,.*.C=-l

2曲线方程为y=x-l

二、基本积分公式

既然积分运算与微分运算互为逆运算，因此，正如例1、例2中所做的那样，可以很自

然地从导数或微分的基本公式得到相应的基本积分公式。下面将这些基本积分公式罗列如

下：

(1)

(3)

lllllilllillllli....H'llll!!!1!!

)；(2)；(4)；(k为常数)；

(6

IIIIIII

lllllilllilllllil!!Hl|i；r

(7)

(9)

(11)

(13)；(8)；(10)；(12)；(14)；；；；。

以上14个基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分往往经过运算变形

后，最终都归结为这些不定积分，因此必须牢牢记住。下面举例说明如何利用这些公式计

算一些简单的不定积分。

例4：求不定积分。

［答疑编号10050104：针对该题提问］

IIIIIlllllllllllliJIIIIIIIIII

Illllllllllllllllllllllfllllllllllll

解：

例5：求不定积分。

［答疑编号10050105：针对该题提问］

|iiii：lllllllliri

llhlll111

解:

例6：求不定积分。

［答疑编号10050106：针对该题提问］

IIIIHli：!i；!l!!!：!iil!!H；l!

解:

例7：求不定积分。

［答疑编号10050107：针对该题提问］

解：由还原公式

21nx2/.e=x

■Mi

三、不定积分的基本性质

仅仅有以上的基本积分公式是很不够的，即使像Inx,tanx,cotx,secx,cscx,

arctanx,arccotx这样一些基本初等函数，也无法直接利用以上基本公式给出它们的不定

积分。因此，有必要从一些求导法则去导出相应的求不定积分的方法，并逐步扩充不定积

分公式。这里首先从导数的加减运算得到不定积分的线性运算法则。

定理5.2两个函数的和(或差)的不定积分等于函数的不定积分的和(或差)，即

■■■la

o

证明：设F(x)和G(x)分别为函数f(x)和g(x)的原函数，则

■■■IK

其中Cl,C2

IHHHIIIIIMffiniHt

为两个任意常数。因此有其中C=C1土C2为任意常数。

........................................

另一方面，因为所以F(x)±G(x)为

IHHHIIIIIUmflHIl

f(x)土g(x)的一个原函数，从而

)■■■■

因此

定理5.2可以推广到有限多个函数相加减的情形，即

iiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiii

类似地我们可以证明下列性质o

定理5.3求不定积分时，被积函数中非零的常数因子可以提到积分号外面来，即

（kWO为常数）

以上两个性质（定理5.2和定理5.3）称做不定积分的线性性质。利用不定积分的线性

性质可以求出一些简单函数的不定积分。

例8：求不定积分

［答疑编号10050108：针对该题提问］

解：

例9：求不定积分=-2cosx+3arcsinx+C

［答疑编号10050109：针对该题提问］

解：

例10：求不定积分

［答疑编号10050H0：针对该题提问］

■■■■■,I

解：

这里利用了三角恒等式：secx=l+tanx

例11：求不定积分22

［答疑编号10050111：针对该题提问］

■IIIIHIIIIIH

解:

这里利用了三角恒等式：sinx+cosx=l例12：求不定积分22

［答疑编号10050H2：针对该题提问］

1illlHhll

iiiiiiiiiiiiuHiiiiiiiiiniiiiii

解：

IIIHtlllllllllllllllllHI

III；刖!Milliiii

mniiiiiuiiiiiiiiiiiiii

mm

例13：已知,求f(x)。

［答疑编号10050113：针对该题提问］解：因为。

例14：求，所以

，故

［答疑编号10050114：针对该题提问］

解：例15：求

［答疑编号10050115：针对该题提问］

iiiniiiiiililflf'ilililiiiniiihiiil

llllllllllllllltflllllllll

iiiiiiiiiiimniiliiiriiiiinlli

WTW

啦….mill…也

例16：求

［答疑编号10050116：针对该题提问］

llllllllllllllittlllllllll

iiiiiiiiiiiHiniiiiiiini

解：

例17：若F(x)是sinx的原函数。求

［答疑编号10050117：针对该题提问］

2解：..1④)是sinx的原函数

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

iiiiiuiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

例18：填空

IIUIIIIIIIIIIIIHIIIffll

1小1川!!!皿

=2

［答疑编号10050118：针对该题提问］解：由性质

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHII

皿川MJEM

§5.2不定积分的换元法

§5.1介绍了原函数与不定积分的概念、基本积分公式以及不定积分的线性性质，并通

过例子说明如何利用它们直接计算某些函数的不定积分。但是仅仅利用不定积分的线性性

质和基本积分公式所能计算的不定积分非常有限。因此有必要进一步研究不定积分的求

法。本节介绍如何将复合函数的微分法反过来用于计算不定积分，利用中间变量的代换得

到复合函数的不定积分，这就是通常说的不定积分的换元积分法，简称换元法。换元积分

法通常分成两类：第一换元法和第二换元法。

一、第一换元法(凑微分法)

定理5.4设f(u)具有原函数，可导，则

,故

证明：设F(u)为f(u)的一个原函数，即又因为因此

11WWWTWnFFjfKIW彳ITT

..illiillllL!!iiiiiiliI；lliiiiiill!lilllliiiiiilIIil!

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiitnnii

愀Illi刖III

可导，所以可导，并且为的一个原函数，从而

公式(1

iramminnim

)叫第一换元积分公式，在实际应用第一换元积分公式求不定积分时。因为

。因此公式(1)也可写作

■■■

■■■■■III

若不定积分

例1：求不定积分

复合而成。因此，

故有，其中u=g(x)容易计算。则可得［答疑编号10050201：针对该题提问］解：被

积函数sin3x是一个复合函数，它是由f(u)=sinu和为了利用第一换元积分公式，我们将

sin3x变形为

■■lU

■■a

例2：求不定积分

［答疑编号10050202：针对该题提问］解：函数是一个复合函数，它是由变形为

o和复合而成。为了利用第一换元积分公式，将函数

故

111.II....I

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

例3：求不定积分

［答疑编号10050203：针对该题提问］

解：函数是复合函数，它是由函数可以变形为

innniiinilMlllHlllllllninllll

由第一换元积分公式有

Illi!.11111I!!

llllllili：：!i

IIIIIIIIIIIIIIUI111IIIIIIIIIIIIIII

和复合而成，而，所以被积由以上各例的解题过程可以看出，要用第i换元积分法求

不定积分的主要步骤是：

(1)变换积分形式(或凑微分)，即

(2)作变量替换g(x)=u,有

(3)利用常用的积分公式求出不定积分:

(4)将u=g(x)代回得。

其中最关键的是第•步，即如何凑出合适的微分。因此，第换元积分法也称为凑微分

法。

例4：设F(x)为函数f(x)的一个原函数，求

［答疑编号10050204：针对该题提问］

解：因为f(lnx)为函数f(u)和。

故由第一换元积分公式有

的复合，并且

,所以。

例5：设，求。

,故由第一换元积分公

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

III叫用ill：川即川

［答疑编号10050205：针对该题提问］-X-X解：函数f(e)是由f(u)和u=e复合而成,

而式有

当比较熟练以后，就没必要将中间变量明显地设出来。例6：求下列积分：

(1);

［答疑编号10050206：针对该题提问］

(2)；

［答疑编号10050207：针对该题提问］

(3)。

［答疑编号10050208：针对该题提问］

解：(1

IlilUllllHUIUIIIHHIIIIIII