2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.三叶玫瑰线 B.笛卡尔心形线

C.蝴蝶曲线 D.四叶玫瑰线2.下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是(

)A.(3−x)(3+x)=9−x2 B.8x=2×4x

C.x23.已知点P(m−3,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A.B.C.D.4.小明在解关于x的分式方程xx+1=？x+1A.−1 B.1 C.2 D.−25.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．

∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，

∴①______．

又∵∠4=∠5，MA=MC，

∴△MAD≌△MCB(②______)．

∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为(

)A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA

C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA6.某单位向一所希望小学赠送了1080件文具，现用A、B两种不同的包裝箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为(

)A.1080x=1080x−15+12 B.1080x7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，过点A作AD//BC，连接CD与AB交于点F，E是边DF的中点，∠ACD=2∠D，若DF=8，BC=6，则AB的长为A.25 B.22 C.8.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2，AB=5，则对角线BD的长是(

)A.733

B.732二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.分解因式：3a3−12a=

．10.若代数式52x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.如图所示，一次函数y=kx+b与y=−2x+4的交点坐标为(12,3)，则不等式kx+b≥−2x+412.如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于D，E为BC中点，DE=5，AC=3，则AB长为______．13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点P是BC边上一点，连接AP，以A为中心，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，连接CQ、DQ，且∠BCQ=∠DCQ，则CQ的长度为______．三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

解方程：xx−2+3=15.(本小题7分)

先化简：(1+3x−1)÷x2−4x−1，再从−1，0，16.(本小题8分)

如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,0)，B(−5,3)，C(−1,1)．

(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；

(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′(a+4,b+2)，请画出平移后的△A2B17.(本小题8分)

端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节.其中粽子比咸蛋每盒贵20元．

(1)若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格；

(2)在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？18.(本小题9分)

如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点.某数学兴趣小组要在AC上找两个点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：甲方案乙方案

在AO，CO上分别取点E，F，使得AE=CF

作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F请回答下列问题：

(1)选择其中一种方案，并证明四边形BEDF为平行四边形；

(2)在(1)的基础上，若EF=3AE，S△AED=5，则▱ABCD19.(本小题12分)

如图①②，在四边形ABCD中，AD//BC，顶点坐标分别为A(−1,3)，B(−2,0)，C(3,0)，D(2,3)，∠ABC=60°，动点N从C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向B运动，另一个动点M以每秒2个单位长度的速度从B开始运动，N、M同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

请回答下列问题：

(1)AB=______，AD=______；

(2)如图①，若点M沿折线BA−AD−DC向C运动，

①t为何值时，MN⊥AB，请说明理由；

②t为何值时，以点M、N和四边形ABCD的任意两个顶点为顶点的四边形是平行四边形，请说明理由；

(3)如图②，若点M沿射线BA运动，当线段MN被AD平分时，直接写出点20.(本小题12分)

综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在▱ABCD中，∠ADC=90°，点O是边AD的中点，连接AC.保持▱ABCD不动，将△ADC从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G.当线段AB与线段FG相交于点M(点M不与点A，B，F，G重合)时，连接OM.老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究．

初步思考：(1)如图2，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD//OM，请你证明这一结论；

操作探究：(2)如图3，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论；

拓展延伸：(3)已知AD=22，CD=2，在旋转的过程中，当以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度．

答案解析1.D

【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.C

【解析】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意；

B、8x不是多项式，故本选项不符合题意；

C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；

D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意．

故选：C．

因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答．

本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．3.D

【解析】解：∵点P(m−3,m−1)在第二象限，

∴m−3<0m−1>0，

解得：1<m<3，

故选：D．

先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．4.A

【解析】解：将关于x的分式方程xx+1=mx+1−2两边都乘以x+1，得

x=m−2x−2，

解得x=m−23，

由于分式方程的增根是x=−1，

当x=−1时，即−1=m+2−2，

解得m=−1，

由于方程有增根无解，

所以m=−1．

5.D

【解析】证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠3，

∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∵点M是AC的中点，

∴MA=MC，

在△MAD和△MCB中，

∠2=∠3MA=MC∠4=∠5，

∴△MAD≌△MCB(ASA)，

∴MD=MB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴①，②分别为∠2=∠3，ASA，

故选：D．

由AB=AC，得∠ABC=∠3，因为∠CAN=∠ABC+∠3=∠1+∠2，且∠1=∠2，所以∠2=∠3，而MA=MC，∠4=∠5，即可根据“ASA”证明△MAD≌△MCB，得MD=MB，则四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案．

此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△MAD≌6.B

【解析】解：∵每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，且B型包装箱每个可以装x件文具，

∴A型包装箱每个可以装(x−15)件文具．

依题意得：1080x=1080x−15−12．

故选：B．

由每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，可得出A型包装箱每个可以装(x−15)件文具，根据包装1080件文具单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用127.C

【解析】解：∵AD//BC，

∴∠DAF=∠B=90°，

∵E是FD中点，

∴AE=12DF=FE=DE，

∴∠D=∠EAD，

∴∠AEC=∠D+∠EAD=2∠D，

∵∠ACD=2∠D，

∴∠ACD=∠AEC，

∴AC=AE=12DF=12×8=4，

∵BC=6，∠B=90°，

..AB=AC2−BC2=48.A

【解析】解：延长BA至F，使AF=BC，连接DF，

∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，∠CBA=60°，

∴∠BAD+∠C=180°，

∵∠BAD+∠DAF=180°，

∴∠DAF=∠C，

又∵AD=CD，AF=BC，

∴△DAF≌△DCB，(SAS)，

∴DB=DF，∠ADF=∠CDB，AF=BC，

∴△DBF为等腰三角形，∠FDB=∠ADC，

∵∠ADC=120°，BC=2，

∴∠FDB=120°，AF=2，

∴∠DBF=30°，

过D作DH⊥BF，垂足为H，

∵AB=5，

∴BF=AB+AF=7，

∴BH=12BF=72，

在Rt△BDH中，∠DBF=30°，

∴HD=12BD，

∴HD2+BH2=BD2，

∴(12BD)29.3a(a+2)(a−2)

【解析】解：3a3−12a

=3a(a2−4)，

=3a(a+2)(a−2)．

故答案为：3a(a+2)(a−2)．10.x>−3

【解析】解：要使代数式52x+6在实数范围内有意义，必须

2x+6>0，

解得：x>−3．

故答案为：x>−3．

根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出2x+6>0，再求出答案即可．

本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出11.x≥1【解析】解：由图象得：不等式kx+b≥−2x+4的解集为：x≥12，

故答案为：x≥12．12.7

【解析】解：延长BD、CA交于点H，

在△ADH和△ADB中，

∠HAD=∠BADAD=AD∠ADH=∠ADB=90°，

∴△ADH≌△ADB(ASA)，

∴BD=DH，AB=AH，

∵BD=DH，BE=EC，

∴CH=2DE=10，

∴AH=CH−AC=7，

∴AB=AH=7，

故答案为：7．

延长BD、CA交于点H，证明△ADH≌△ADB，根据全等三角形的性质得到BD=DH，AB=AH，根据三角形中位线定理解答即可．

13.4【解析】解：如图，连结AC，BD交于点O，连结OQ．

在矩形ABCD中，OA=OC=OB=OD，

∵AB=4.BC=43，

∴AC2=AB2+BC2=64．

∴AC=8(−8不合题意舍去)．

∴AO=OB=AB=4，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∵∠BAC=∠PAQ，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵又AB=AO，AP=AQ，

∴△ABP≌△AOQ(SAS)．

∴∠ABP=∠AOQ=90°，

∵O为AC的中点，

∴OQ垂直平分AC，

∴AQ=CQ．

∵∠BCQ=∠DCQ，

而∠BCQ+∠DCQ=90°，

∴∠QCB=45°，

而PQ=CQ，

∴∠PQC=90°，

设PB=x，则CP=43−x，

在Rt△ABP中，AP=AB2+BP2=16+x2，

而CP=2PQ=2AP=2×16+x2=43−x，

14.解：xx−2+3=x−42−x，

方程两边都乘x−2，得x+3(x−2)=−(x−4)，

解得：x=2，

检验：当x=2时，x−2=0，

所以x=2【解析】方程两边都乘x−2得出x+3(x−2)=−(x−4)，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．15.解：(1+3x−1)÷x2−4x−1

=(x−1x−1+3x−1)⋅x−1(x−2)(x+2)

=x+2x−1⋅x−1【解析】先根据分式的运算法则进行化简，再根据分母不为零的条件求出x的取值，最后代入进行计算即可．

本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．16.(2,1)

【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．

(3)对称中心的坐标为(2,1)．

故答案为(2,1)．

(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

(2)利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B217.解：(1)设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为(x−20)元，

由题意得：700x−20=900x，

解得：x=90，

经检验，x=90是原方程的解，且符合题意，

∴x−20=90−20=70，

答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元；

(2)设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为(30−m)盒，

由题意得：m≤2(30−m)，

解得：m≤20，

设总费用为w元，

则w=70m+90(30−m)=−20m+2700，

∵−20<0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m=20时，w最小，

此时，30−m=30−20=10，

答：购买咸蛋20【解析】(1)设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为(x−20)元，根据用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可；

(2)设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为(30−m)盒，根据购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式得出m≤20，再设总费用为w元，列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．18.50

【解析】解：(1)甲方案，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠BAE=DCFAE=CF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，

∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，

∵∠BEF=180°−∠AEB，∠DFE=180°−∠CFD，

∴∠BEF=∠DFE，

∴BE//DF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

乙方案，证明：∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，

∴BE//DF，∠AEB=∠CFD=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴∠BAE=∠DCF，

在△ABE和△CDF中，

∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴BE=DF，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)由(1)得△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵EF=3AE，

∴AC=5AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ABC=S△ADC=5S△AED=5×5=25，

∴S▱ABCD=2×25=50，

故答案为：50．

(1)甲方案，由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，则∠BAE=∠DCF，可证明△ABE≌△CDF，得BE=DF，∠AEB=∠CFD，所以∠BEF=∠DFE，则BE//DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；

乙方案，由BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，得BE//DF，∠AEB=∠CFD=90°，由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，则∠BAE=∠DCF，可证明△ABE≌△CDF19.2

3

(0,2【解析】解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，

∵A(−1,3)，B(−2,0)，

∴BE=−1−(−2)=1，AE=3，

∴AB=12+(3)2=2，

∵A(−1,3)，D(2,3)，

∴AD=2−(−1)=3，

故答案为：2，3；

(2)①由题意知N点运动过程中的坐标为(3−t,0)，

∵MN⊥AB，

∴△BMN是直角三角形，

∵∠ABC=60°，

∴∠BNM=30°，

∴BM=2t，BN=(5−t)2(0<t≤1)，

∴BMBN=2t(5−t)2=12，

即4t=5−t或4t=t−5，

解得t=1或t=−53(舍去)，

∴t=1时，MN⊥AB；

②由题意，分两种情况，当MD/​/NC时，MN//AB时，

由题得当1≤t<52时，M点在AD上运动，

若想M，N与四边形ABCD的任意两个顶点构成平行四边形，MN//CD，

即MD//NC且MD=NC，

∵MD=AD−AM=3−(2t−2)=5−2t，NC=t，

∴5−2t=t，

∴t=53；

当MN//AB时，

根据题意，BH=AB⋅sin30°=1，

∴BC=1+1+3=5，

∴AM=2t−2，NB=5−t，

∴2t−2=5−t，

∴t=73；

当AM=NC时，

2t−2=t，

∴t=2；

故t的值为53或73或2；

(3)设直线AB的解析式为y=kx+b，

代入A，B两点，

则3=−k+b0=−2k+b，

得k=3b=23，

∴y=3x+23，

∴M(x,3x+23)N(3t,0)，

∵MN被AD平分，

∴MN的中点P(3−t+x2,3x+232)，

∵P在线段AD上，

∴P点纵坐标为3，

∴3x+232=3，

∴x=0，

∴y=3x+220.(1)证明：如图1，连接CF，DF，

∵将△ADC绕点O顺时针旋转得到△EFG，

∴∠ADC=∠EFG，OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵∠ADC=90°，

∴∠EFG=90°，

∵点O是边AD的中点，

∴OA=OD，

∴OA=OF．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

又∵∠ADC=90°，

∴∠BAD=180°−90°=90°，

∴∠BAD=∠EFG=90°，

∵在Rt△OAM和Rt△OFM中，

OM=OM,OA=OF,

∴Rt△OAM≌Rt△OFM(HL)，

∴∠AOM=∠FOM，

∵∠AOF是△OFD的一个外角，

∴∠AOF=∠AOM+∠FOM=∠ODF+∠OFD，

即2∠AOM=2∠ODF，

∴∠AOM=∠ODF，

∴FD//OM；

(2)证明：如图2，延长OM交BG于点N，

由(1)知：Rt△OAM≌Rt△OFM，

∴AM=FM，∠AMO=∠FMO，

∵将△ADC绕点O顺时针旋转得到△EFG，

∴CD=GF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，

∴AB=GF，

∴AB−AM=GF−MF，

即BM=GM，

∵∠AMO=∠FMO，∠AMO=∠BMN，∠FMO=∠GMN，

∴∠BMN=∠GMN，

∴OM垂直平分BG；

(3)解：∵以点F，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，

∴FC=FD或FC=CD或FD=CD，

当FC=FD时，如图3，过点F作FH⊥CD于H，交AB于L，过点O作OK⊥FH于K