第6讲立体几何小题

第6讲立体几何小题【复习目录】一、认识几何体二、斜二侧画法三、求简单几何体的表面积四、求简单几何体的体积五、几何体的“内切”、“外接”球问题六、空间点、直线、平面之间的位置关系七、求异面直线的夹角八、直线、平面平行的判定与性质九、直线、平面垂直的判定与性质十、立体几何小题综合【知识归纳】1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR35．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b6.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b7．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b8.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α【题型归纳】题型一、认识几何体1．（2223高一下·宁夏吴忠·期末）下列关于几何体特征的判断正确的是（

）A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥C．有一个面是边形的棱锥一定是棱锥D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形【答案】C【分析】根据直棱柱、正棱锥、棱锥的分类，以及平行六面体的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；对于B中，根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；对于C中，根据棱锥的分类，可得有一个面是边形的棱锥一定是棱锥，所以C正确；对于D中，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D错误.故选：C.2．（2223高一下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法错误的是（

）A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【详解】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B3．（2223高一下·上海杨浦·期末）下面五个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（3）四个角都是直角的四边形是矩形；（4）有两个侧面是矩形的三棱柱是直三棱柱；（5）有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】空间四边形也可以满足两组对边分别相等，故（1）错误；四边形一组对边平行可知，则由公理可知四边形共面，故（2）正确；对四边形为平面四边形时和空间四边形进行讨论，可以判断（3）正确；根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，故（4）正确；若侧棱与底面两条平行的两边垂直，有两个侧面均是矩形，此时的棱柱不一定是直棱柱，故（5）错误.【详解】空间四边形也可以满足两组对边分别相等，故（1）错误；四边形一组对边平行可知，则由公理可知四边形共面，四边形为平面四边形，由平行四边形判定定理可知：两组对边分别平行的平面四边形是平行四边形，故（2）正确；当四边形为平面四边形时，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形；当四边形为空间四边形时，假设存在四个角都是直角的空间四边形，则为，的公垂线，为，的公垂线,这与公垂线的性质矛盾，故不存在四个角都是直角的空间四边形，故命题（3）正确；对有两个侧面是矩形的三棱柱，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，故（4）正确；若侧棱与底面两条平行的两边垂直，有两个侧面均是矩形，此时的棱柱不一定是直棱柱，故（5）错误.故选：C.题型二、斜二侧画法4．（2223高一下·山东德州·期末）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，由斜二测法则知，，所以．故选：C．5．（2223高一下·江西抚州·期末）四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（

）

A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根据斜二侧画法结合题意将直观图还原为原四边形，再求出其边长即可得答案【详解】由题意可得四边形为平行四边形，如图所示，设交轴于点，则，所以所以四边形的周长为，故选：C

6．（2223高一下·辽宁沈阳·期末）如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，，即可得到平面图形中，的值，即可求出四边形的面积.【详解】在直观图中为等腰直角三角形，所以，所以，又是的中点，所以，所以在平面图形中，，所以.

故选：A题型三、求简单几何体的表面积7．（2023·海南海口·一模）已知某圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（

）A．9π B． C． D．8π【答案】A【分析】求圆台的侧面积，直接利用公式求解.【详解】∵圆台的母线长为，∴其侧面展开图的面积.故选：A.8．（2023·安徽安庆·三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选：C.9．（2223高一下·浙江宁波·期末）已知某圆锥的底面积为，且它的外接球的体积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由已知求得圆锥的底面半径和圆锥的外接球的半径，由勾股定理求圆锥的高，再利用勾股定理求圆锥母线长，代入圆锥的侧面积公式得答案．【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，圆锥的外接球的半径为R，，；，，设圆锥底面圆心为，外接球球心为，如图所示，

则有，即，得，解得或，当时，，此时圆锥的侧面积为；当时，，此时圆锥的侧面积为.故选：C题型四、求简单几何体的体积10．（2223高一下·安徽六安·期末）在正四棱台中，，，则该四棱台的体积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得高，再计算体积即可.【详解】过，作出截面如图所示，过点作，垂足为，因为正四棱台中，又由，所以由勾股定理可得：，，又因，故，故梯形为等腰梯形，所以，故，所以，该四棱台的体积为.故选：D.11．（2223高一下·湖南湘西·期末）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则（

）A．该圆锥的体积为； B．该圆锥的侧面积为；C．； D．的面积为2.【答案】D【分析】利用圆锥体积、侧面积公式可判定A、B，利用二面角的概念构造其平面角计算可判定C、D.【详解】依题意，，，所以易得，，A选项，圆锥的体积为，A选项错误；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，，则，，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项错误；D选项，，所以，D选项正确.故选：D.

12．（2223高一下·宁夏吴忠·期末）用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，对角面面积为，则该棱台的体积为（

）A．28 B． C． D．74【答案】A【分析】设正四棱台的高为，根据对角面的面积，列出方程，求得，结合棱台的体积公式，即可求解.【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为，所以，设正四棱台的高为，则，可得，正四棱台的上底面面积为，下底面面积为，则该正棱台的体积为.故选：A.

题型五、几何体的“内切”、“外接”球问题13．（2223高一下·甘肃临夏·期末）已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意确定四棱锥的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积.【详解】由题意四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，得,

设O为PC的中点，E为的交点，连接，则E为的中点，故,且因为底面，故平面，平面，故，而四边形是边长为2的正方形，故，故,则，又，故，同理求得，即，故O为四棱锥的外接球的球心，则半径为，则该四棱锥的外接球的表面积为，故选：A14．（2223高一下·辽宁大连·期末）菱形十二面体是由12个全等的菱形构成的，其有24条棱，14个顶点，它每个面的两条对角线之比为，已知一个菱形十二面体的棱长为，体积为16，则该菱形十二面体的内切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形十二面体的性质，结合其内切球的性质，将菱形十二面体分割为十二个四棱锥，结合其几何性质，求其高，可得球的半径，可得体积.【详解】由题意，设菱形十二面体内切球的球心为，其中一个面为菱形，过作平面的垂线，以为垂心，连接，可得四棱锥，如下图所示：

由棱形十二面体的性质，可知为菱形的中心，即，易知棱形十二面体体积等于十二个四棱锥的体积，故四棱锥的体积，由题意，可得，，在菱形中，易知，在，由，且，则，，故菱形的面积，在四棱锥中，，由内切球的性质，可得其半径为，其体积.故选：C.15．（2223高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正三棱锥的特征，由勾股定理即可求解半径，进而由体积公式求解.【详解】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高，易知外接球求心O在PH上，且H为底面正的中心．如图，设外接球的半径为R，由题可知，则．由得，解得，所以外接球的体积为．故选：C．

题型六、空间点、直线、平面之间的位置关系16．（2223高一下·上海嘉定·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若两直线、互相平行，则平行于经过的任何平面B．若直线与平面平行，则平行于内的任何直线C．若两直线、都与平面平行，则D．若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线【答案】D【分析】根据已知条件判断各选项中线线、线面位置关系，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，记经过直线的平面为，若两直线、互相平行，则或，A错；对于B选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，B错；对于C选项，若两直线、都与平面平行，则、平行、相交或异面，C错；对于D选项，若直线平行于平面，直线在平面内，则或者与为异面直线，D对.故选：D.17．（2223高一下·广西南宁·期末）已知、m、n表示三条不同的直线，、、表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若、m、n两两相交且不共点，则、m、n共面；②若，则与内的任意一条直线平行；③若，，则；④若，，则.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】对①，根据三个不共线的点确定一平面判断即可；对②③，根据举反例判断即可；对④，根据面面垂直的判定判断即可.【详解】对①，由、m、n两两相交且不共点，可得分别分别相交于3点，且三点不共线，故该3点能确定一平面，即所在的平面，故①正确；对②，在正方体中，但与不平行，故②错误；

对③，在正方体中平面平面，平面平面，且平面平面，故③错误；对④，由线面垂直的性质可得④正确；综上有①④正确.故选：C18．（2223高一下·山东淄博·期末）设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（

）①若，，则

②若，，则③若，，，则

④若，，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据线面的位置关系判断①②④；根据线面平行的判定和性质判断③.【详解】若，，则，故①正确；若，，则可能相交，故②错误；若，，，过直线m做平面γ且α∩γ＝s（s异于l），作平面φ且β∩φ＝t（t异于l），因m∥α，故m∥s，同理m∥t，故s∥t，因sβ，tβ中，从而s∥β，因sα，α∩β＝l，故s∥l，所以l∥m，故③正确；若，，则可能异面，故④错误.故选：B.题型七、求异面直线的夹角19．（2223高一下·内蒙古赤峰·期末）空间四边形的对角线，，分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，分别连接，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，在中，即可求解.【详解】取的中点，分别连接，因为分别为的中点，可得，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，即为或其补角因为，所以，在中，因为且，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：D

20．（2223高一下·福建福州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为平面平面，平面所以，，又，所以两两垂直，且，所以，取的中点，连结，因为分别为的中点，所以，所以直线BE与AD所成角为或其补角，，，，中，根据余弦定理.故选：A21．（2223高一下·黑龙江·期末）三棱台中，两底面和分别是边长为2和1的等边三角形，平面．若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】以为邻边作平行四边形，则且，从而可得即为异面直线AC与所成角或其补角，再解即可.【详解】如图，以为邻边作平行四边形，则且，故即为异面直线AC与所成角或其补角，因为平面ABC，平面ABC，所以，则，在中，，即异面直线AC与所成角的余弦值为.故选：D.

题型八、直线、平面平行的判定与性质22．（2223高一下·甘肃兰州·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【分析】根据空间中平行垂直关系逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，则与的位置关系有：平行、相交或直线b在平面α内，故A错误；对于选项B：若，则∥或，故B错误；对于选项C：若，根据面面垂直的性质可知：当且仅当或∥时，则，本选项无法确定与的位置关系，故与不一定垂直，故C错误；对于选项D：设平面，因为，由面面平行的判定定理可得：∥，∥，所以∥，故D正确；故选：D.23．（2223高一下·贵州黔东南·期末）已知平面和直线，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，直线与平面相交，则直线必与平面相交D．若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则平面与平面平行【答案】C【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】对于A：若，则或与相交，故A错误；对于B：若，则或与相交，故B错误；对于C：若，直线与平面相交，则直线必与平面相交，故C正确；对于D：若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则平面与平面平行或相交，故D错误.故选：C24．（2223高一下·河北石家庄·期末）已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】C【分析】举例说明判断ABD；推理判断C作答.【详解】在长方体，令平面是平面，

对于A，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时直线是异面直线，A错误；对于B，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时平面与相交，B错误；对于D，若平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然，，，此时直线相交，D错误；对于C，在直线上取点，过作直线，相交直线确定平面，由知，与相交，令交线为，

显然，由，，得，而，于是，又，从而，而，所以，C正确.故选：C题型九、直线、平面垂直的判定与性质25．（2223高一下·宁夏吴忠·期末）已知直线与平面，则的充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】可以在长方体中取反例,用排除法得到正确选项.【详解】取长方体

由可令为，为,为平面,为平面发现，故A选项错误；由可令为，为,为平面,为平面发现不垂直，故B选项错误；由，可令为平面,为平面，为平面,发现不垂直，故C选项错误；故选：D.26．（2223高一下·吉林·期末）设，，表示空间中三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【分析】根据直线、平面之间的位置关系，及线面垂直的性质定理进行判断即可.【详解】A选项，当，时，不一定有，也可能异面，所以A错误；B选项，当，平行时，可能不成立，所以B错误；C选项，由线面垂直的性质定理知，C正确；D选项，当，时，可能相交，所以D错误.故选：C.27．（2223高一下·江西新余·期末）已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面，，，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则B．若，，则与平行或相交C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】对于A，由线面平行判定定理可知A正确；对于B，，，则与平行或相交，故B正确；对于C，垂直于同一平面的直线和平面平行或线在面内，而，故正确；对于D，，，，三条交线平行或交于一点，如图1，正方体两两相交的三个平面ABCD，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，但AB，AD，不平行，故D错误，

故选：D．题型十、立体几何小题综合28．（2223高一下·湖南岳阳·期末）已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为．【答案】【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积．【详解】由题意，作出圆台的轴截面如下图示,故，

设球心为，球半径为，由于，则，可得，所以该球体积为．故答案为：29．（2223高一下·湖南湘西·期末）近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为.

【答案】【分析】由线面垂直关系，利用分割法求三棱锥体积，由垂直关系结合球心性质找到球心位置，再运算求解球半径即可.【详解】如图，

取的中点，连接，，因为，，又平面，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，同理可证，平面平面，设和的中心分别为、，在平面内，过、分别作的垂线，设交点为，即，又平面平面，由面面垂直的性质定理可知，平面，同理可得，平面，即球心为，设“鞠”的半径为，连接，则，即：，又，，所以，又顶点A在底面的射影落在内，则，由，为公共边，得与全等，则为的角平分线，所以.在中，因为，则在中，，，所以该“鞠”的表面积.故答案为：30．（2223高一下·北京丰台·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：

①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；③存在点，，使得平面；④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.其中所有正确结论的序号是.【答案】②③【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可；对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可；对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可；对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可.【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，

则为线段的中点，是边长为的正三角形，两点之间距离的最小值为到的垂线段长度，此时，故①错误；对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，

显然，到平面的距离为定值，面积为定值，结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，当与重合，与重合时，如图所示，

由正方体可知平面，，因为平面，所以，又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，同理，，又因为平面，，所以平面，即平面，所以存在点，，使得平面，故③正确；对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，取中点，连接，如图所示，

由得四边形是平行四边形，所以，由可知，即，所以是中点，又因为是中点，所以,，所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周长为,即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误.故答案为：②③【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.【专题强化】一、单选题31．（2223高一下·湖北武汉·期中）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（）A． B．C．四边形的周长为 D．四边形的面积为【答案】D【分析】过作交于点，求出，即可判断B，再还原平面图，求出相应的线段长，即可判断ACD.【详解】对于B：如图过作交于点，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；对于A：还原平面图如下图，则，故A错误；对于C：过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即C错误；对于D：四边形的面积为：，即D正确.故选：D.32．（2223高一下·北京通州·期末）设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A：若，，则或相交，故A错误；B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；C：若，，则或，故C错误；D：若，，则或或，故D错误；故选：B.33．（2223高一下·湖南岳阳·期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合组合体特征，分解为圆柱、圆锥两个几何体，利用它们的表面积的计算方法，计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，所以陀螺的表面积是.故选：B.34．（2223高一下·新疆喀什·期末）正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，利用几何法求出异面直线夹角即得.【详解】正方体中，连接，由分别是的中点，得，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，于是，即有，因此是异面直线与所成角或其补角，在中，，则，所以与所成角为.故选：C35．（2223高一下·天津和平·期末）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断.【详解】对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.故选：B36．（2223高一下·安徽六安·期末）如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由棱锥体积公式可求得，结合解三角形的知识可求得，由体积桥可求得点到平面的距离，进而得到所求角的正弦值，即可求得结果.【详解】，，，；平面，平面，，，又，，，，，，，设点到平面的距离为，与平面的夹角为，，解得：，，又，，即直线与平面的夹角为.故选：C.37．（2223高一下·江苏无锡·阶段练习）已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【答案】A【分析】根据线线、线面和面面位置关系的有关知识对各个命题进行分析,由此确定正确答案.【详解】对于①,若,则分别为一个法向量，由,所以①正确；对于②,若,则可能是异面直线，所以②错误；对于③，若,则,由于,所以,所以③正确；对于④，若，，且,此时无法判断是否与平面内的两条相交直线垂直；故④错误；故选:A.38．（2223高一下·北京密云·期末）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（

）

A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得平面C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面【答案】C【分析】对于A，由得平面，从而点到平面的距离为，再由，由此能求出三棱锥的体积；对于B，若存在点，使得平面，由平面，得，可得，与矛盾；当点与点重合时，利用线面垂直的判定定理可证得平面；对于C，推导出，由余弦定理、三角形面积公式，结合二次函数的最值求出结果；对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交.【详解】对于A，如图，在棱长为1的正方体中，平面平面，平面，点是棱上的一个动点，点到平面的距离为，又，三棱锥的体积，故A错误；对于B，若存在点，使得平面，由平面，得，则为正方形，，与矛盾，故B错误；对于C，根据题意，过点的截面与棱分别交于，可得为平行四边形，如图，正方体中，平面，平面，，设，则，又，则中，，，则该截面面积，，当时，，故C正确；对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故D错误；故选：C．二、多选题39．（2223高一下·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（

）A．直线与直线相交；B．直线与直线平行；C．直线BM与直线是异面直线；D．直线与直线成角.【答案】CD【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，根据异面直线的定义，可判定A、B不正确；C正确；再结合异面直线所成的角的定义与求解，可判定D正确.【详解】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以A不正确；对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以B不正确；对于C中，平面平面，平面，平面，所以直线与不相交，连接，则，而与相交，所以与不平行，否则，不合题意，所以直线与是异面直线，所以C正确；对于D中，连接，则为正三角形，可得，又由，则为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为，所以D正确.故选：CD.40．（2223高一下·湖南湘西·期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．与的夹角C．该圆台的体积为D．沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为【答案】AD【分析】对于A，根据已知条件求出圆台的下底面半径和高，利用梯形的面积公式即可求解；对于B，根据已知条件及图形，结合向量夹角的定义即可求解；对于C，利用圆台的体积公式即可求解；对于D，将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心，利用勾股定理即可求解.【详解】对于A，由，且，得，圆台高为，∴圆台轴截面面积为，故A正确；对于B，由已知及题图知，且，∴，与的夹角，故B错误；对于C，圆台的体积，故C错误；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中，且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面（一半）展开为扇形，且，∵，∴在中，，即到中点的最短距离为，故D正确.故选：AD41．（2223高一下·辽宁大连·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】AD【分析】根据平行公理以及面面平行的性质定理，结合长方体的几何性质，利用反例，可得答案.【详解】对于A，根据平行的传递公理，可得A正确；对于B，由题意，作长方体，连接，如下图所示：

设为平面，为平面，，，显然，，，但与不垂直，故B错误；对于C，由题意，作长方体，连接，如下图所示：

设为平面，，，显然，，但与为异面直线，不平行，故C错误；对于D，根据面面平行的性质定理，可得，D正确.故选：AD.42．（2223高一下·甘肃定西·期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，点是的中点，过三点的平面与平面的交线为，则下列说法正确的是（

）

A． B．平面C．三棱锥的体积为 D．直线与所成角的余弦值为【答案】BCD【分析】对于A，利用线面平行的判定与性质定理判断即可；对于B，利用线面垂直的判定定理判断即可；对于C，利用等体积法即可判断；对于D，利用异面直线所成角的定义与勾股定理即可判断.【详解】因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，故A错误；因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又平面，所以平面，因为，所以平面，故B正确；因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，又平面，所以平面，又是的中点，所以到面的距离为，而，所以，故C正确；因为在正方形中，，又，则，所以与所成角为（或补角），因为平面，平面，所以，故，在中，，在中，，，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用线面平行的性质定理证得，从而将ABD选项中的相关的结论转化为与的相关结论，从而得解.43．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由四边形对角互补，可知四顶点共圆，过圆心作圆面的垂线，过圆心翻折对应点作折后平面的垂线，两者的交点即为外接球的球心，则结合图形可求球的半径范围，继而可求三棱锥的外接球的表面积的范围.【详解】平面凸四边形中，，，平面凸四边形中，四顶点共圆，令平面凸四边形所在圆的圆心为,沿对角线折起，使点到达点，取中点,连接,过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，令两条垂线的交点为,

在中由正弦定理可得的直径,由垂径定理可得,由翻折对称可知,平面,平面,,同理,又，,,,又二面角的平面角,即,,,中,外接求得半径,三棱锥的外接球的表面积,故选：BCD.三、填空题44．（2223高一下·天津和平·期末）在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【分析】利用三棱锥与长方体的外接球求法求解.【详解】

由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，为外接球的直径，所以,所以外接球的半径为,所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为:.45．（2223高一下·甘肃临夏·期末）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为．

【答案】/【分析】作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案.【详解】连接，

因为是圆锥的高，故平面，平面，故，又点C是底面直径所对弧的中点，则，平面，故平面，则即为直线与平面所成的角，因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，故，，则,故,在中，,即直线与平面所成的角的正切值为，故答案为：46．（2223高一下·山东威海·期末）已知三棱锥中，平面，，，.在此棱锥表面上，从点经过棱上一点到达点的路径中，最短路径的长度为，则该棱锥外接球的表面积为.【答案】【分析】根据几何体的线面关系可将其放进一个长方体，外接球直径就是体对角线长，此时需要长方体的长宽高数据，根据题干中的最短路径数据，转化成平面问题列余弦定理方程求解.【详解】

由于平面，，可将三棱锥放在一个如上图的长方体里，长方体的外接球直径就是三棱锥的外接球，就是体对角线的长，下将翻折到和共面的状态，如下图：

由平面，平面，故，在上图长方体中，显然平面，又平面，故，在中，，则，于是，由题意，点经过棱上一点到达点的路径中，最短路径的长度为，则平面图中的，设，在中，由余弦定理，，整理得，解得（负值舍去）.故长方体中，，则，即为外接球直径，故外接球的表面积是.故答案为：47．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时分钟．

【答案】19【分析】根据