6.3二项式定理课件高二下学期数学人教A版选择性

6.3.1二项式定理德宏州民族第一中学(1)组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示.(2)组合数公式:课前回顾德宏州民族第一中学答案:(1)B

(2)0课前回顾德宏州民族第一中学1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.解决与二项式定理有关的简单问题.德宏州民族第一中学学习目标探究德宏州民族第一中学德宏州民族第一中学下面我们对上述猜想的正确性予以说明．德宏州民族第一中学德宏州民族第一中学运用二项式定理的解题策略(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点,前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉二项式公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.德宏州民族第一中学因此，展开式第4项的系数是280．德宏州民族第一中学德宏州民族第一中学德宏州民族第一中学1.求某项的二项式系数、系数或展开式中含xr的项的系数,主要是利用通项公式求出相应的项,特别要注意某项的二项式系数与系数两者的区别.2.二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.德宏州民族第一中学(1)n的值;(2)展开式中含x3的项.德宏州民族第一中学变式训练1：本例条件不变,求二项展开式中的常数项.变式训练2.本例条件不变,求二项展开式中的所有有理项.德宏州民族第一中学求二项展开式的特定项常见题型及处理措施(2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(3)求有理项.对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.德宏州民族第一中学【例4】

(1)(x+y)(2x+y)5的展开式中x3y3的系数为(

)A.80 B.120 C.240

D.320(2)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=

.

解析:(1)(x+y)(2x+y)5=(x+y)(32x5+80x4y+80x3y2+40x2y3+10xy4+y5),故展开式中x3y3的系数为40+80=120.(2)由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,故(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.答案:(1)B

(2)3德宏州民族第一中学1.两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点.(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.(3)分别求解后相乘,求和即得.2.三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.德宏州民族第一中学【变式训练】

(1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于(

)A.-4 B.-3 C.-2 D.-1(2)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是(

)A.-15 B.85 C.-120 D.274(2)展开式中含x4的项应从5个括号中选4个x,1个常数,故x4的系数为(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.答案:(1)D

(2)A德宏州民族第一中学第31页当堂检测练习（第31页）D德宏州民族第一中学课堂小结课后作业习题6.3（第34页）DB06.3.2二项式系数的性质德宏州民族第一中学德宏州民族第一中学课前回顾课前回顾德宏州民族第一中学课前回顾德宏州民族第一中学1.能运用函数思想分析处理二项式系数的性质.2.理解和掌握二项式系数的性质,并会求解与二项式系数有关的问题.德宏州民族第一中学学习目标n(a+b)n的展开式的二项式系数1234561112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561通过计算、填表，你发现了什么规律？从表6.3-1可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图6.3-1所示的形式．…………………………………………………………………二项式系数的性质【问题思考】观察以下图形,发现规律:(a+b)n的展开式的二次项系数,当n取正整数时可以表示成如下形式:图①

图②

(1)每一行中,与首末两端等距离的二项式系数有怎样的关系?(2)二项式系数的最大值有何规律?(3)第一行中各数之和为多少?第二、三、四、五行呢?由此你能得出怎样的结论?提示:(1)相等.(2)当n=2,4,…时,中间一项最大,当n=3,5,…时中间两项最大.(3)21,22,23,24,25.第n行各数之和为2n.观察图6.3-1，你还能发现哪些规律？7个孤立的点Orf(r)6361420f（r）n为奇数；如n=720103035On743f（r）rnO615201n为偶数；如n=61112113311464115101051161520156111121133114641151010511615201561……和为2481632643．各二项式系数的和【例1】

已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②变式训练1：本例中条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值.解法一:(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1

093+1

094=2

187.解法二:∵|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|是(1+2x)7展开式中各项的系数和,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2

187.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.【变式训练2】

已知(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.解:(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,故a0+a1+a2+a3+a4=1.(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4,①令x=-1,得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0-a1+a2-a3+a4)·(a0+a1+a2+a3+a4)=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625.(1)求二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项是第几项?变式训练：在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.解:由本例(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,第6项的系数为负,第7项的系数为正.1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.2.二项展开式中系数的最大项的求法,求二项展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,设二项展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第r+1项最大,应用

解出r,即