集合与常用逻辑用语讲义高考数学一轮复习

知识点一集合的定义与表示【基础指数框架】1.定义：具有相同性质的元素所构成的整体，称为集合。2.集合的性质：（1）确定性：即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量；（2）互异性：在一个集合中，任何两个元素都是不同的对象；（3）无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序.3.集合的表示方法：（1）列举法：将集合的元素逐一列举出来的方式；使用条件：有限集；（2）描述法：将集合表示为；使用条件：无限集；（3）韦恩图：用平面上的矩形或圆形表示一个集合；使用条件：表示集合关系.【例题分析】例1．对于、，规定，集合，则中元素的个数为（）A．6 B．8 C．15 D．16例2．下列说法：①集合用列举法可表示为}；②实数集可以表示为为所有的实数或；③一次函数和的图像象交点组的集合为，正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0例3．已知、、为非零实数，记代数式的值所组成的集合为，则下列判断中正确的是（

）A．0M B．4M C．2∈M D．4∈M例4．（2023•东莞市校级三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是A．， B．， C．， D．，

【变式训练】1．（2023秋•金平区期末）下列能构成集合的是A．汕头电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．汕头市所有的中学生 D．，，2．集合用描述法可表示为（

）A． B． C． D．3．下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．4．下列说法中正确的是（

）①某高级中学高一年级所有高个子男生能组成一个集合②③不等式的解集为④在平面直角坐标系中，第二、四象限内的点构成的集合可表示为A．①② B．②④ C．②③④ D．①③④

知识点二集合的基本关系【基础指数框架】1.集合与元素的关系：元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素（1）若元素属于集合，记作；（2）若元素不属于集合，记作；（3）常见数集的表示方法：=1\*GB3①实数集：；=2\*GB3②整数集：；=3\*GB3③有理数集：；=4\*GB3④自然数集：；=5\*GB3⑤正整数集：、=6\*GB3⑥空集：2.集合之间的关系（1）元素与集合的关系：（2）集合与集合的关系：（3）空集本身就是集合，无需加3.子集个数的判断（1）子集：若集合中所有元素都是集合的元素，则称集合包含于集合（集合包含集合），记作；（2）真子集：如果且就说集合是集合的真子集，记作；（3）若集合含有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空真子集有个.4.集合相等若集合中所有元素都是集合的元素，同时集合中所有元素都是集合的元素，就说集合等于集合，记作.5.空集空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【例题分析】例1．（2024•西秀区校级一模）已知集合，，，，则集合的子集共有A．2个 B．3个 C．4个 D．8个例2．（2024•秦淮区校级二模）已知集合，则的子集个数为A．4 B．7 C．8 D．16例3．（2024•迎江区校级四模）集合，，当时，集合的非空真子集个数为A．8 B．7 C．6 D．4例4．（2024•扬州模拟）设集合，，则A． B． C． D．例5．（2024•聊城模拟）已知集合，，若，则的取值范围为A． B．， C． D．，【变式训练】1．（2024•金安区校级模拟）已知集合，1，2，，，，，则的子集共有A．2个 B．4个 C．6个 D．64个2．（2024•内江三模）集合，的子集个数是A．5 B．6 C．7 D．83．（2024•茂名一模）已知集合，1，2，，，0，，，则集合的子集个数为A．2 B．3 C．4 D．84．（2024•东湖区校级一模）已知集合，，则A． B． C． D．5．（2024•抚顺模拟）已知集合，，，若，则实数的值是A．1 B．0 C． D．3

知识点三集合的基本运算【基础指数框架】1．并集的概念给定两个集合、，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合与集合的并集，记作，读作并.2．交集的概念给定两个集合、，把所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与集合的交集，记作，读作交.3．补集的概念对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集，简称为集合A的补集，记作，即．【例题分析】例1．（2024•新高考Ⅰ）已知集合，，，0，2，，则A．， B．， C．，， D．，0，例2．（2023•新高考Ⅰ）已知集合，，0，1，，，则A．，，0， B．，1， C． D．例3．（2022•新高考Ⅰ）若集合，，则A． B． C． D．例4．（2021•新高考Ⅰ）设集合，，3，4，，则A．，3， B．， C．， D．例5．（2022•乙卷）设全集，2，3，4，，集合满足，，则A． B． C． D．例6．（2023•全国）集合，，0，1，，，则A． B．， C．， D．，0，

例7．（2024•湖北模拟）已知集合，，，则下列表述正确的是A． B． C． D．【变式训练】1．（2022•新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，则A．， B．， C．， D．，2．（2024•甲卷）集合，2，3，4，5，，，则A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，3．（2023•天津）已知集合，2，3，4，，，，，2，，则A．，3， B．， C．，2， D．，2，4，4．（2023•乙卷）设集合，集合，，则A． B． C． D．5．（2021•乙卷）已知集合，，，，则A． B． C． D．6．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是A． B． C． D．7．（2023•甲卷）设集合，，，，为整数集，则A．， B．，C．， D．

知识点四集合新定义与含参问题【基础指数框架】1.如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析.2.如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到.3.在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性.4.由集合间关系求解参数的步骤；=1\*GB3①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；=2\*GB3②看集合中是否含有参数，若，且中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；=3\*GB3③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.5.经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【例题分析】例1．（2024•盐湖区一模）已知集合，，，若，则的最大值是A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2024•大理州二模）已知，其中，，则A．0 B．或 C． D．例3．（2024•历城区校级模拟•多选）对于集合中的任意两个元素，，若实数同时满足以下三个条件：①“”的充要条件为“”；②，，；③，都有，，，．则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是A．为 B．为 C．若，则为 D．若为，则也为为自然对数的底数）例4．（2024•宜春模拟•多选）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．【变式训练】1．（2023•上海）已知集合，，，，且，则．2．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则A．2 B．1 C． D．3．（2022•滨海县校级模拟）已知集合，，，若，则实数满足A． B． C．， D．4．（2024•曲靖模拟•多选）已知集合，，定义，，则下列命题正确的是A．若，，，，则与的全部元素之和等于3874 B．若，表示实数集，表示正实数集，则 C．若，表示实数集，则 D．若，表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域5．（2024•河南模拟•多选）对于的两个非空子集，，定义运算，，则A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域

知识点五常用逻辑用语【基础指数框架】1．充分条件与必要条件一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，由可推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件.如果“若，则”为假命题，那么由推不出，记作.此时，不是的充分条件，不是的必要条件.概括地说，如果，则是的充分条件，是的必要条件.如果，则是的必要条件，是的充分条件.2．充要条件一般地，如果既有，又有，就记作.此时，我们说，是的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件从集合的观点看，设集合，若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的必要条件或是的充分条件；若A＝B，则是的充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件．4.命题的否定短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中称为全称量词，用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中称为存在量词，用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.全称量词命题：，它的否定为：.存在量词命题：，它的否定为：.【例题分析】例1．（2024•新高考Ⅱ）已知命题，，命题，，则A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题例2．（2024•天津）设，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例3．（2024•北京）设，是向量，则“”是“或”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例4．（2024•甲卷）已知向量，，则A．“”的必要条件是“” B．“”的必要条件是“” C．“”的充分条件是“” D．“”的充分条件是“”例5．（2015•新课标Ⅰ）设命题，，则为A．， B．， C．， D．，例6．（2015•浙江）命题“，且”的否定形式是A．，且 B．，或 C．，且 D．，或

【变式训练】1．（2023•天津）“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023•北京）若，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分