高考数学一轮复习(新教材新高考)专题03复数专项练习(学生版+解析)

专题03复数（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2023年新Ⅱ卷，第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无2022年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2022年新Ⅱ卷，第2题,5分复数的四则运算无2021年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2021年新Ⅱ卷，第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无2020年新I卷，第1题,5分复数的四则运算无2020年新Ⅱ卷，第2题,5分复数的四则运算无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。知识讲解数集的分类其中正整数的符号为：或虚数单位，规定虚数单位的周期复数的代数形式Z=，叫实部，叫虚部复数的分类复数相等若共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，推广：结论：复数的几何意义复数复平面内的点复数的模，则；复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考点一、复数的四则运算1.（2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题）（

）A． B． C． D．2．（2020年新高考全国Ⅰ卷数学真题）（

）A．1 B．−1C．i D．−i3．（2020年新高考全国Ⅱ卷数学真题）=（

）A． B． C． D．1．（2023·全国·模拟预测）（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数，求复数（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（

）A． B．1 C． D．考点二、求复数的实部与虚部1．（2023·广东·统考模拟预测）若，则复数z的虚部为（

）A．-5 B．5 C．7 D．-72．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A．3 B． C．-3 D．1．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(

).A． B． C．1011 D．2022考点三、复数相等1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且，则的虚部为（

）A． B．2 C．2i D．2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知，复数满足，则（

）A． B． C． D．1．（2023·全国·校联考模拟预测）若复数，则（

）A． B． C．1 D．32．（2023·全国·校联考三模）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2考点四、复数的分类及纯虚数概念考查1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若复数为纯虚数，则实数（）A． B． C．6 D．2．（2023·河北·统考模拟预测）设复数满足，若为纯虚数．则（

）A． B． C． D．1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）复数是纯虚数的充分不必要条件是（

）A．且 B． C．且 D．2．（2023·浙江·校联考三模）已知复数是纯虚数，则的值为（

）A． B．12 C． D．3考点五、复数的几何意义1．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．1．（2023·广东茂名·统考二模）在复平面内，所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．（2023·山东聊城·统考模拟预测）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（

）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．7．（2023·广东湛江·统考二模）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B． C． D．考点六、复数的模长1．（2023·湖南·校联考二模）设复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽黄山·统考三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．31．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．52．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数，且为纯虚数，则（

）A． B． C．1 D．3．（2023·山东·校联考模拟预测）已知是方程的两个根，则值为（

）A． B．2 C． D．4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7考点七、复数的三角形式1．（2023春·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1 B． C． D．i1．（2021秋·四川资阳·高三四川省资阳中学校考开学考试）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数为实数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数考点八、欧拉公式1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（

）A．复数的虚部为 B．若，则复数对应点位于第二象限C．复数的模长等于1 D．复数的共轭复数为1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．（2023·山西晋中·统考三模）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（

）A．-i B．iC． D．3．（多选）（2023·全国·模拟预测）欧拉公式（其中，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．考点九、复数多选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁丹东·统考二模）在复平面内，O为坐标原点，A为对应的点，则（

）A．z的虚部为i B． C． D．1．（2023·浙江温州·统考三模）已知复数，下列命题正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则为实数2．（2023·河北邯郸·统考三模）已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则（

）A． B．C． D．3．（2023·重庆·统考二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则【基础过关】1．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数，则复数的实部和虚部分别是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i2．（2023·河北·校联考一模）已知复数，则（

）A． B． C． D．3．（2023·福建泉州·统考三模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．4．（2023·福建漳州·统考三模）已知复数为复数的共轭复数，且满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（

）A． B． C．1 D．5．（2023·山东聊城·统考二模）若复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．i B． C．1 D．6．（2023·湖北十堰·统考二模）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．7．（2023·湖南岳阳·统考三模）设复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．8．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023·重庆·统考一模）设复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．110．（2023·江苏·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【能力提升】1．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．2 B． C． D．2．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．23．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足为纯虚数，则（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）设复数满足，则的虚部是（

）A． B．3 C． D．45．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（2023·江苏盐城·统考三模）已知，，虚数是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．7．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）复数（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2023·浙江·校联考三模）已知复数是纯虚数，则的值为（

）A． B．12 C． D．39．（2023·重庆·统考三模）在复平面上，复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2023·河北·校联考一模）已知复数，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【真题感知】1．（2023·全国Ⅰ卷·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C．0 D．12．（2022·全国Ⅰ卷·统考高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．23．（2021·全国Ⅰ卷·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国甲卷·统考（理科）高考真题）设，则（

）A．-1 B．0

· C．1 D．25．（2023·全国乙卷·统考（文科）高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．56．（2023·全国乙卷·统考（理科）高考真题）设，则（

）A． B． C． D．7．（2023·全国甲卷·统考（文科）高考真题）（

）A． B．1 C． D．8．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．9．（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·统考高考真题）若．则（

）A． B． C． D．11．（2022·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C． D．12．（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．专题03复数（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2023年新Ⅱ卷，第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无2022年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2022年新Ⅱ卷，第2题,5分复数的四则运算无2021年新I卷，第2题,5分复数的四则运算、共轭复数无2021年新Ⅱ卷，第1题,5分复数的四则运算、复数的几何意义无2020年新I卷，第1题,5分复数的四则运算无2020年新Ⅱ卷，第2题,5分复数的四则运算无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。知识讲解数集的分类其中正整数的符号为：或虚数单位，规定虚数单位的周期复数的代数形式Z=，叫实部，叫虚部复数的分类复数相等若共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，推广：结论：复数的几何意义复数复平面内的点复数的模，则；复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考点一、复数的四则运算（2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.2．（2020年新高考全国Ⅰ卷数学真题）（

）A．1 B．−1C．i D．−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3．（2020年新高考全国Ⅱ卷数学真题）=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接计算出答案即可.【详解】故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.1．（2023·全国·模拟预测）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复数的除法运算即可得出答案.【详解】．故选:D.2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数，求复数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数乘法计算法则可得答案.【详解】，则.故选：C3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘法运算即可化简求解.【详解】，故选：D.考点二、求复数的实部与虚部1．（2023·广东·统考模拟预测）若，则复数z的虚部为（

）A．-5 B．5 C．7 D．-7【答案】A【分析】根据复数的运算、复数的概念求值即可.【详解】依题意，，故z的虚部为-5.故选：A2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A．3 B． C．-3 D．【答案】C【分析】先化简复数，再利用共轭复数及复数的概念求解.【详解】因为，所以，则的虚部是，故选：C．1．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算化简，再由虚部的概念即可得答案.【详解】因为，所以所以的虚部为.故选：A.2．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(

).A． B． C．1011 D．2022【答案】A【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，所以，所以，所以复数z的虚部为1012，故选：A考点三、复数相等1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且，则的虚部为（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.【详解】由可得：，则，所以的虚部为2.故选：B.2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知，复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用复数运算规则求得，求得的值，进而得到的值.【详解】，则，故.故选：D1．（2023·全国·校联考模拟预测）若复数，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】根据复数的四则运算和复数相等的概念分别求出的值即可求解.【详解】因为，所以，则有，解得，所以，故选：D.2．（2023·全国·校联考三模）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】由复数相等的充要条件可得的值.【详解】因为，所以，由复数相等的充要条件得，所以.故选：C.考点四、复数的分类及纯虚数概念考查1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若复数为纯虚数，则实数（）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出，再结合复数的概念求解作答.【详解】依题意，，因为复数是纯虚数，且，则且，解得，所以.故选：D2．（2023·河北·统考模拟预测）设复数满足，若为纯虚数．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据复数的除法运算化简，再根据纯虚数的定义求出，即可得解.【详解】由，得，因为为纯虚数，所以，解得，所以.故选：B.1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）复数是纯虚数的充分不必要条件是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】C【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，又因为且是且的充分不必要条件，所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.2．（2023·浙江·校联考三模）已知复数是纯虚数，则的值为（

）A． B．12 C． D．3【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简，根据纯虚数的概念列式计算，可得答案.【详解】由题意，因为复数是纯虚数，故，解得，故选：C考点五、复数的几何意义1．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2．（2021年新高考全国Ⅱ卷数学真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简，根据对应点所在象限列不等式，从而求得的取值范围.【详解】，对应点，由于点在第一象限，所以，解得.故选：A1．（2023·广东茂名·统考二模）在复平面内，所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用除法运算化简复数，可得到对应点为，即可求得答案【详解】由题意得,故在复平面内所对应的点为,位于第三象限,故选：C.2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.【详解】，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B3．（2023·福建福州·统考模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】设，然后由复数除法运算得，根据对应的点在第二象限可解.【详解】设，则，因为复数对应的点位于第二象限，所以,得，所以复数对应的点在第三象限.故选：C4．（2023·山东聊城·统考模拟预测）若在复数范围内分解为，则在复数平面内，复数对应的点位于（

）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限【答案】B【分析】先求出复数，再根据共轭复数的定义结合复数的减法运算及乘法求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】由，得，当，时，，，所以；当，时，，综上，复数对应的点位于虚轴上.故选：B．5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据复数运算法则求复数的代数形式，根据点所在象限列不等式组即可求解.【详解】由题得，复数在复平面内所对应的点在第四象限，所以，解得：，所以a的取值范围是.故选：C6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数对应点的对称关系得，应用复数除法化简目标式即得结果.【详解】由对应点为，则对应点为，故，所以.故选：D7．（2023·广东湛江·统考二模）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的几何意义得到复数，然后求得，再利用几何意义求解.【详解】解：由题意得，则，所以在复平面内对应的点为，故选：A考点六、复数的模长1．（2023·湖南·校联考二模）设复数（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.【详解】因为，所以．故选：A．2．（2023·安徽黄山·统考三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，进而得出，然后利用复数模的计算公式求解．【详解】因为，所以，所以，.故选：D.3．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】根据分析出对应点轨迹方程，再根据的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】设，因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，又，所以表示圆C上的动点到定点的距离，所以为，故选：B．1．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】利用复数的除法可求，从而可求其模.【详解】由题设可得，故，故，故选：B.2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知复数，且为纯虚数，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据复数的乘法运算法则化简，由纯虚数的概念求出，由复数的除法运算以及复数的模长公式可得结果.【详解】复数，则，依题意得，，解得，即，，所以.故选：.3．（2023·山东·校联考模拟预测）已知是方程的两个根，则值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据求根公式得，然后由复数的模公式计算可得.【详解】，方程有两个虚根，则，，所以．故选：C4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）若复数z满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】首先设复数，()，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.【详解】设，()，由，得，则，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.故选：B.5．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.【详解】由可设：，，（其中），当时，即时，.故选：C.考点七、复数的三角形式1．（2023春·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断.【详解】复数的模为1，辐角为，所以复数的三角形式为.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1 B． C． D．i【答案】B【分析】现将复数表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.【详解】，；故选：B．1．（2021秋·四川资阳·高三四川省资阳中学校考开学考试）任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数为实数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意得到，故，，即可判断.【详解】由为实数，得，故，，即，，故为偶数是“复数为实数”的充要条件.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.考点八、欧拉公式1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是（

）A．复数的虚部为 B．若，则复数对应点位于第二象限C．复数的模长等于1 D．复数的共轭复数为【答案】D【分析】根据欧拉公式，即可由复数的除法运算以及几何意义，模长公式，共轭复数的定义，结合选项即可求解.【详解】，故复数的虚部为，A正确，对应的点为，由于，所以，故对应的点为第二象限，故B正确，对于C，，故模长为，故C正确，，所以共轭复数为，故D错误，故选：D1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据欧拉公式即可代入求解,根据复数的除法运算即可化简求解.【详解】有题意可知，故虚部为，故选：B2．（2023·山西晋中·统考三模）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数，，则（

）A．-i B．iC． D．【答案】B【分析】由欧拉公式求的代数形式，再结合复数运算法则求.【详解】由欧拉公式可得：，，则．故选：B.3．（多选）（2023·全国·模拟预测）欧拉公式（其中，i为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】求得的值判断选项A；举特例否定选项B；分别求得的代数形式进行比较判断选项C；对进行化简整理判断选项D.【详解】由题意得．选项A：，故选项A正确；选项B：当时，，故选项B错误；选项C：，，，故选项C正确；选项D：．，故选项D正确．故选：ACD.考点九、复数多选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断.【详解】对于A，，不一定为实数;对于B，;对于C，;对于D，.故选：BCD.2．（2023·辽宁丹东·统考二模）在复平面内，O为坐标原点，A为对应的点，则（

）A．z的虚部为i B． C． D．【答案】BC【分析】根据复数的虚部概念判断A；根据共轭复数的概念判断B；根据复数模的计算判断C；根据复数的乘方以及复数的几何意义可判断D.【详解】由题意，z的虚部为1，选项A错误．，选项B正确．，则，故，选项C正确．由题意知，故，则，而，，选项D错误，故选：BC1．（2023·浙江温州·统考三模）已知复数，下列命题正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则为实数【答案】AC【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案.【详解】对于A，设，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，设，，，，故C正确；对于D，设，，，当或时，，故D错误.故选：AC.2．（2023·河北邯郸·统考三模）已知复平面内复数对应向量，复数满足，是的共轭复数，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据复数的几何意义和模长公式计算可得A正确；根据共轭复数的概念和复数的乘方运算法则计算可得B正确；根据复数的除法运算法则和模长公式计算可得C错误；D正确.【详解】依题意，，则，故A正确；又，，，，即，故B正确；设，由得，，则，，故C错误；，.故D正确.故选：ABD.3．（2023·重庆·统考二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.【详解】对于A，若，例如：，则，故A错误；对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；对于C，由，则，∵，∴，故C正确；对于D：若，则，故D正确.故选：BCD.【基础过关】1．（2023·辽宁辽阳·统考二模）复数，则复数的实部和虚部分别是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i【答案】C【分析】应用复数乘法运算化简复数，即可确定实部、虚部.【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2.故选：C2．（2023·河北·校联考一模）已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的乘法运算及共轭复数的概念计算即可.【详解】，则.故选：A.3．（2023·福建泉州·统考三模）已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的乘法可求得结果.【详解】因为，则，所以，，因此，.故选：C.4．（2023·福建漳州·统考三模）已知复数为复数的共轭复数，且满足，在复平面内对应的点在第二象限，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据共轭复数的定义，利用复数的运算以及复数相等，建立方程组，结合复数的几何意义，可得实部与虚部，根据复数的模长公式，可得答案.【详解】设，在复平面内对应的点在第二象限，故，则，即，由，得，结合，解得，则，故.故选：C.5．（2023·山东聊城·统考二模）若复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．i B． C．1 D．【答案】C【分析】根据复数的除法法则得到，求出虚部.【详解】由得，故复数z的虚部为1故选：C6．（2023·湖北十堰·统考二模）复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用复数得乘除法运算求出复数z，再根据虚部得定义即可得解.【详解】解：，所以复数的虚部为-2.故选：A.7．（2023·湖南岳阳·统考三模）设复数满足，则复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘除法规则和复数的实部虚部定义求解.【详解】因为复数满足，即，所以，所以复数的虚部是；故选：D.8．（2023·广东汕头·统考三模）已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由复数的运算求出复数z，再由复数几何意义即可解答.【详解】由题意，所以，则复数z在复平面内对应的点，为第四象限内的点.故选：D9．（2023·重庆·统考一模）设复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】设，则，根据复数的乘除法运算可得，结合虚部的定义即可求解.【详解】设，则，所以，，得，解得，所以复数z的虚部为.故选：B.10．（2023·江苏·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．【详解】因为，所以，故复数在复平面内的对应点位于第二象限，故选：B．【能力提升】1．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）已知复数z满足，则复数z的虚部为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的模公式及复数的除法法则，结合复数的定义即可求解.【详解】由题意可知，由，得，所以复数z的虚部为.故选：A.2．（2023·山东烟台·统考三模）已知复数满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】设，代入，利用复数相等求解.【详解】解：设，则，所以，则，解得或，所以，故选：D.3．（2023·湖北武汉·统考三模）设复数满足为纯虚数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数，根据纯虚数的概念以及复数的模长公式可求出结果.【详解】设，则，依题意得，即，则.故选：A4．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）设复数满足，则的虚部是（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据复数的除法的运算和共轭复数及复数虚部的概念即可得到答案.【详解】，则，故，虚部为，故选：C．5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据可得，然后根据复数的除法运算化简，结合复数的几何意义，即可得出答案.【详解】因为，，该复数对应的点为，该点为第一象限.故选：A.6．（2023·江苏盐城·统考三模）已知，，虚数是方程的根，则（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】将虚数z代入方程，利用复数相等解方程组即可得