高考数学第一轮复习导学案(新高考)第49讲平面的性质与点线面的位置关系(原卷版+解析)

第49讲平面的性质与点线面的位置关系1、平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2、空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(1)两条异面直线不能确定一个平面．(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．知识点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．3、知识必备1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．1、【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD−AA．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°2、(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)3、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC3、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)考向一平面的基本性质及应用例1、以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A.0B.1C.2D.3变式1、平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面．变式2、如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点．变式2、如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考向二判断空间直线的位置关系例2、若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是________．(填序号)①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．变式1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断中错误的是________．(填序号)①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．变式2、(1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是()A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.异面 D.平行方法总结：1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.考向三异面直线所成的角例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)变式、(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1C与AD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°方法总结：方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角1、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交2、(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．3、已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)4、如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．第49讲平面的性质与点线面的位置关系1、平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2、空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(1)两条异面直线不能确定一个平面．(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补．(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补．(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向都相反，那么这两个角相等．知识点三空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．3、知识必备1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．1、【2022年新高考1卷】已知正方体ABCD−AA．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°【答案】ABD【解析】如图，连接B1C、BC1，因为DA1//B1因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥B连接A1C，因为A1B1⊥平面BB因为B1C⊥BC1，A1又A1C⊂平面A1连接A1C1，设A因为BB1⊥平面A1B1C因为C1O⊥B1D1，所以∠C1BO为直线B设正方体棱长为1，则C1O=22，所以，直线BC1与平面BB因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线B故选：ABD2、(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)【答案】D【解析】如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).3、(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】过E作EQ⊥CD于Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，设CD＝2，易知EQ＝eq\r(3)，QN＝1，则EN＝eq\r(EQ2＋QN2)＝eq\r(3＋1)＝2，BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2).易知BE＝BD，又∵M为DE的中点，∴BM⊥DE，∴BM＝eq\r(BE2－EM2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)，∴BM＝eq\r(7)>2＝EN.∴BM≠EN.又∵点M，N，B，E均在平面BED内，∴BM，EN在平面BED内，又BM与EN不平行，∴BM，EN是相交直线，故选B.1、a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【答案】C【解析】若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.2、如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC【答案】C【解析】由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3、如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面【答案】A【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．4、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)【答案】C【解析】如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝eq\r(5)，则tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为eq\f(\r(5),2).考向一平面的基本性质及应用例1、以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A.0B.1C.2D.3【解析】①显然是正确的，可用反证法证明；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面．故正确命题的个数为1.【答案】B变式1、平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定______个平面．【解析】若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．【答案】1或4变式2、如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点．【解析】(1)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD.又CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面．(2)易知直线FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH，EG，AC共点变式2、如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.证明因为K∈EH，EH⊂平面ABD，所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，因此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.方法总结：1．证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考向二判断空间直线的位置关系例2、若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是________．(填序号)①l与l1，l2都不相交；②l与l1，l2都相交；③l至多与l1，l2中的一条相交；④l至少与l1，l2中的一条相交．【解析】若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．【答案】④变式1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断中错误的是________．(填序号)①MN与CC1垂直；②MN与AC垂直；③MN与BD平行；④MN与A1B1平行．【解析】如图，连接B1C，B1D1，则M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，所以MN∥B1D1.又BD∥B1D1，所以MN∥BD.因为CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，所以MN⊥CC1，MN⊥AC.又因为A1B1与B1D1相交，所以MN与A1B1不平行．故①②③正确，④错误．【答案】④变式2、(1)(多选)(2022·福州质检)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是()A.MN与PD是异面直线B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB【答案】ABD【解析】如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC，事实上AC∩CH＝C，C说法不正确；因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确.(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直C.异面 D.平行【答案】D【解析】连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.方法总结：1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.考向三异面直线所成的角例3、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【答案】D【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(4,5).变式、(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6) C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)【答案】C【解析】法一如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).法二如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).(2)(2022·湖北重点高中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝eq\r(2)，则异面直线A1C与AD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角.连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C⊂平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1D1C为直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq\r(3)，∴∠CA1D1＝60°.方法总结：方法总结：用平移法求异面直线所成的角的三步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角1、(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交【答案】C【解析】两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直