全称量词命题和存在量词命题的否定 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2全称量词命题和存在量词

命题的否定

一、命题的否定思考1

观察下列命题，思考(1)与(2)，(3)与(4)的联系.(1)56是7的倍数；

(2)56不是7的倍数；(3)空集是集合A={1，2，3}的真子集；

(4)空集不是集合A={1，2，3}的真子集.命题的否定

一般地，对命题p进行否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“命题的否定”

或“非p”.

思考2

原命题的真假与它的否定的真假有什么关系？一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假，只能一真一假.二、全称量词命题的否定思考3(教材P29探究)

写出下列命题的否定：

(1)

所有的矩形都是平行四边形；

(2)

每一个素数都是奇数；

(3)

∀x∈R，x+|x|≥0.命题的否定

(1)并非所有的矩形都是平行四边形；(2)并非每一个素数都是奇数；(3)并非所有的x∈R，x+|x|≥0￢p:存在一个矩形不是平行四边形；￢p:存在一个素数不是奇数；￢p:∃x∈R，x+|x|<0.思考4

探究思考3中命题的否定形式有什么特征?全称量词命题全称量词命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，￢p(x)二、全称量词命题的否定例1(教材P29例3)

写出下列全称量词命题的否定：

(1)

所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)

每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；

(3)

对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.存在一个能被3整除的整数不是奇数.存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.∃x∈Z，x2的个位数字等于3.训练1(教材P31练习1改编)

写出下列命题的否定：

(1)

∀x∈Z，n∈Q；

(2)

任意奇数的平方还是奇数；

(3)

每个平行四边形都是中心对称图形；(4)对任意k∈R，函数y=kx+b随x值的增大而减小.∃x∈Z，n∉Q.存在一个奇数的平方不是奇数.有一个平行四边形不是中心对称图形.存在k∈R，函数y=kx+b不随x值的增大而减小.三、存在量词命题的否定思考5(教材P30探究)写出下列命题的否定:

(1)

存在一个实数的绝对值是正数；

(2)

有些平行四边形是菱形；

(3)

∃x∈R，x2-2x+3=0.命题的否定

(1)不存在一个实数，它的绝对值是正数；￢p:所有实数的绝对值都不是正数;(2)没有一个平行四边形是菱形；￢p:任意一个平行四边形都不是菱形;(3)不存在x∈R，x2-2x+3=0.￢p:∀x∈R，x2-2x+3≠0思考6

探究中命题的否定形式有什么变化?存在量词命题存在量词命题的否定∃x∈M，p(x)∀x∈M，￢p(x)三、存在量词命题的否定例2(教材P30例4)

写出下列存在量词命题的否定：

(1)

∃x∈R，x+2≤0；

(2)

有的三角形是等边三角形；

(3)

有一个偶数是素数.∀x∈R，x+2>0.所有的三角形都不是等边三角形.任意一个偶数都不是素数.训练2(教材P31练习2)

写出下列命题的否定：

(1)

有些三角形是直角三角形；

(2)

有些梯形是等腰梯形；

(3)

存在一个实数，它的绝对值不是正数.所以三角形都不是直角三角形.所有梯形都不是等腰梯形.任意实数的绝对值是正数.原词语至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个否定词语一个也没有至少有两个至多有(n-1)个至少有(n+1)个常见词语的否定形式从集合视角来看，你有什么发现吗？四、依据含量词命题的综合运用例3“存在x∈R，x2+2x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围是

.

法一：即对任意x∈R，x2+2x+a≠0为真命题.所以Δ=4-4a<0，故a>1.法二：存在x∈R，x2+2x+a=0，则Δ=4-4a≥0，故a≤1.又因为原命题为假命题，故a>1.原命题p原命题的否定￢p集合A集合A的补集∁UA设集合A={x|p(x)}，命题的否定与集合的关系四、依据含量词命题的综合运用训练3(作业P200第10题)

已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2