新课标2答案 - 解析几何

第一节：圆锥曲线的定义和标准方程

1.★★（2014河北唐山高三摸底）已知双曲线二—与=1（。〉0/〉0）的左、右焦点分

ab

别为6,招，以玛|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3,4）,则此双曲线的方程

为（）

222222

A.工-匕=1B.土-工~=1C.土-匕=1Df

1693491643

答案:C

2.★（2013河北石家庄一模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线x?=20y的焦点重合，且其

渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为()

222^2222

工上=1工_21=12__工=i21_£_

A.916B.169c,916D.169

答案：C

3.★2014邯郸二模文)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程

为

29222222

A.-------=JB.-------=1C.--------=1D.--------=1

412124106610

答案：A

4.★★（2014河北衡水五调）已知抛物线丁=2〃乂〃>0）上一点历（1,㈤到其焦点的

距离为5,双曲线/一匕=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实

a

数a=—

答案：1

4

5.★（2014河北唐山一模理）双曲线V—y2=4左支上一点p（a,b）到直线yj的距离

为4,则a+b=

A.-2B.2C.-4D.4

答案：B

6.★（2014河北唐山一模理）过抛物线C：：/=4%的焦点F作直线/交抛物线C于A、B

两点，若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=.

生自16

答案：g

22

7.★设K，K分别是椭圆会+版=1的左、右焦点，尸为椭圆上一点，"是耳P的中

点，|OM|=3,则。点到椭圆左焦点的距离为

（）.

A.4B.3C.2D.5

答案：A

8.★在平面直角坐标系x勿中，椭圆。的中心为原点，焦点耳，鸟在x轴上，离心率为手.

过耳的直线/交C于AB两点，且鸟的周长为16,那么椭圆C的方程为.

22

答口案木—16+—8=1

9.★吃。"•烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点耳，月在x轴上，P（2,J5）是椭圆上一

点，且|尸耳|,|百巴|,忙6|成等差数列，则椭圆方程为（）.

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1C.——+—=1D.—+—=1

8616684164

答案A

22

10.★（2014•青岛模拟）设椭圆二+二=1（〃z〉O,〃〉0）的右焦点与抛物线y2=8x的

m~n

焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为.

2—

,xy

口井1612

尤2V2

11.★已知尸为双曲线G瓦—木=1的左焦点，P,Q为C上的点.若P。的长等于虚轴

长的2倍，点A（5,O）在线段P。上，则APQ尸的周长为.

答案：44

22

12.★（1）（2014•大连模拟）设尸是双曲线亮一为=1上一点，K，玛分别是双曲线左、

右两个焦点,若|P£|=9,则|Pg|=

).

A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对

答案(DB

13.★★已知厂是双曲线-一二=1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则

412I/

|尸目十|/科的最小值为（）.

A.5B.5+4^/3C.7D.9

解析:设双曲线的右焦点为反则£（4,0）.由双曲线的定义及标准方程得|Q|一|郎|=4,

则|图+|甥|=4+|阕+|川.由图可得,当4只£三点共线时，（|阳+|阳|）・产|屈

=5,

从而|阳+1%的最小值为9.

答案:D

15.★（2014•郑州二模）设用是双曲线/一二=1的两个焦点，。是双曲线上的一点,

24

且3|「耳|=4|桃则的面积等于（）.

A.40B.86C.24D.48

|小I一I找1=2,|/|=8,

解析由可解得

3|刈=43|,|/^|=6.

又由川=10可得△野用是直角三角形,

则S△/用=:用|X|%|=24.

答案C

兀Y2V2

16.★（2013•湖北卷）已知0<。<一，则双曲线C,：——^^—=1与

4'sin20cos20

22

。,:々一+一^=1的（）.

■sin20cos-0

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

nV/

解析V0<0<—,Asin&<cos。.由双曲线：F下——丁方=1知实轴长为2sin9,

4sin0cos0G-

虚轴长为2c°s焦距为2,离心率为1寸.由双曲线如京y万一x中二1知实轴长

为2cos0,虚轴长为2sin0,焦距为2,离心率为」下.

答案D

X2y2

17.★（2014•日照二模）已知双曲线二一彳=1（。>0,b>0）的一个焦点与圆

ab，

9+产一10户0的圆心重合，且双曲线的离心率等于小，则该双曲线的标准方程为（）.

x2y2x1y2

A.———=1B.-----=1

5202520

2222

C.上上=1D,£上=1

2052025

解析由题意知圆心坐标为（5,0）,即c=5,又e=：=4，.,•才=5,炉=20,.,.双曲线的

22

标准方程为三一女=1.

答案A

第二节：圆锥曲线的几何性质

1.★★（2014河北邢台一模）设百、鸟分别是椭圆器+纭=1的左、右焦点，点P在

椭圆上，若"66为直角三角形，则公尸耳鸟的面积等于

A.473B.6C.12或6D.46或6

答案：B

22

2.★（203河北唐山二模试）双曲线土-匕的顶点和焦点到其渐近线距离的比是（）

54

（A）-（B）-（C）至（D）旦

5355

答案：D

3.★（2014河北省高阳第一次月考）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线

上的点P（M,-2）到焦点的距离为4,则帆的值为（）

A.4B.-2C.4或一4D.12或一2

答案：c

4.★（2013河南郑州三模）抛物线V=I2x的准线与双曲线上+二=1的两条渐近线

412

围成的三角形的面积为

A.6B.673C.9D.973

答案：D

5.★★（2014河南郑州二模）10.如图，FLF2是双曲线与-匕=1（。＞0）

/24

的左、右焦点，过耳的直线/与双曲线分别交于点A,3,若AA8Q为等边

三角形，则凶片石的面积为

A.8B.872C.8y/3D.16

答案：C

6.★★（2014河北邯郸9月摸底）已知。（2,1）,F为抛物线尸=4%的焦点，P是抛物线

上一个动点，则|P耳+|也的最小值为

【答案】3

7.★★（2014唐山二模理）已知E,4为双曲线C：/一2_=1的左、右焦点，点产在。

3

上，|P£|=2|Pg|,则cosN£PE=.

答案:十

8.★★（2014邯郸二模理）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A,8两点，若

|AB|=8,则直线A8的倾斜角为

7Tp.57T兀一3冗兀一27TTC

A.—或——B.一或一C.一或一D.—

6644332

答案：B

第三节：离心率和焦点弦问题

1.★★（2014河北唐山二模理）己知椭圆。|：讶一方=13〉万>0）与圆炉+产二万，

若在椭圆G上存在点P,使得由点P,所作的圆G的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率

的取值范围是

（A）[1,1»（B）停净©[冬1）（D）哼,1）

答案：C

22

2.★★（2014河北石家庄高三调研）设分别是双曲线二一二•=1（。>0,8>0）的

ab

左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（。尸+。月）•鸟尸=0（。为坐标原点），且

\PFt\=y/3\PF2\,则该双曲线的离心率为.

答案：V3+1

22

3.★★（2014河南省方城一调）点P为双曲线G：；■—二=l（a>0,6>0）和圆

a~Zr

C2：x?+y2=/+£的一个交点，且2/2耳6=/"6，其中"，鸟为双曲线0的两个

焦点，则双曲线G的离心率为（）

A.6+1B.72+1C.73D.2

答案：A

22

4.★★（2014河北邢台一模）已知双曲线二―二=13>0/>0）的渐近线与圆

a"Zr

（X-2）2+V=I相交，则双曲线的离心率的取值范围是

A.（1,3）B.+8）C.（1,D.（3,+

8）

答案：c

5.★（2014邯郸一模文）焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程是x—6y=O,此

双曲线的离心率为

A.x/3B.C.2D.V2

3

答案：C

22

6.★（2014河南中原二联）7.己知双曲线二-马=1,以右顶点为圆心，实半轴长为半径

ab-

的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（）

A.也B.—C.V5D.—

32

答案：B

X2y2

7.★★（2014河南郑州期中）12.已知居分别是双曲线C:一=1的左、右焦点,

a

若巴关于渐近线的对称点恰落在以耳为圆心，|o娟为半径的圆上，则双曲线c的离心率

为

A.73B.3C.V2D.2

答案：D

8.★（2014河南郑州期中）4.已知双曲线依2-y2=1伏＞0）的一条渐近线与直线

2x+y+l=0垂直，则双曲线的离心率是（）

A.—B.—C.4A/3D.

22

答案：A

22

9.★★（2014河北邯郸9月摸底）已知耳，鸟分别是双曲线，一斗=1的左、右焦点，

若居关于渐近线的对称点为M,且有|阿|=C,则此双曲线的离心率为（）

A.V2B.C.2721).2

【答案】D

10.★★(2013山西忻州四次联考）己知A、B、P是双曲线，—乌=1上的不同三

2

点，且A、3连线经过坐标原点，若直线P4尸3的斜率乘积原A•女网二］，则该双曲线

的离心率e=（）

A.@B.逅C.V2D.巫

223

答案：D

11.★★（2013河南郑州二模）如图所示,KF2是双曲线

［一］=1（4>0/>0）（a>0,b>0）的两个焦点，以坐标原

a~b-

点0为圆心，|OF"为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分

别为A,B,且AFzAB是等边三角形，则双曲线的离心率为

“国】B.用1，.浮〃亨

答案：B

12.★（2013河南十所名校高三三次联）双曲线f-4y2=4的离心率为（）

A.屈B.百C.—D.—

22

答案：D

13.★★（2014河南方城第一调）过抛物线丁=4%的焦点尸且倾斜角为60°的直线/与抛

物线在第一、四象限分别交于A、5两点，则空1等于（）

IBFI

A.5B.4C.3D.2

答案：C

14.★★（2013山西泉阳二模）双曲线=1（a>0,6>0）的左右焦点分别为耳，

F2,P为双曲线上任一点，己知卜耳、「巴|的最小值为机.当?〈加〈鼻•时，其中

c=yja2+b2,则双曲线的离心率e的取值范围是

A.（1,0）B.（|,2）C.（1,乎］D.V2］

答案：D

x2y2

15.★★（2013山西泉阳）过双曲线二=1(。>Q,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),

a

作圆的切线，切点为后，延长在交双曲线右支于点P,若

-4

0E=」（0尸+0P）,则双曲线的离心率为（）

2

八叵B.叵C.回D.6

25

答案：A

16.★（2014山西山大附中5月模考）过抛物线V=4x焦点厂的直线交其于4,3两点，

。为坐标原点.若|AF|=3,则A403的面积为

A.—B.V2C.女旦D.272

22

答案：C

17.★★（2013山西泉阳）已知圆M:f+y2+2mx-3=0（加＜0）的半径为2,椭圆

C:%+±=1（a＞0）的左焦点为尸（-。,0）,若垂直于X轴且经过厂点的直线与圆M

相切，则。的值为（）

3

A.-B.4C.1D.2

4

答案：D

22

18.★★（2014山西5中月考）已知双曲线的方程为三一与=1（。＞0,6＞0）,双曲线

Qb

的一个焦点到一条渐近线的距离为正C（其中C为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离

3

心率为（）

3V53A/55

AA.-BD.CR.-----nD.一

2222

答案：A

22

19.★★（2013山西太原四校联考）设耳，匿分别为双曲线「一3=1（。＞0力＞0）的左、

ab~

右焦点，若在双曲线右支上存在一点P,满足|叫|=|月耳且耳到直线P耳的距离等

于双曲线的实轴长，则双曲线离心率为

答案：D

22

20.★★（2014邯郸二模理）已知产是双曲线的右焦点二一二=1的右焦点，点A,8分

a~b

别在其两条渐进线上，且满足而=2而，荏=0（。为坐标原点），则该双曲线的

离心率为.

内心2\/3

答案：——

3

22

21.★★（2014河北保定一模）设F”R分别为双曲线C:[一]=1（。>0/>0）的左、

ab~

右焦点,A为双曲线的左顶点，以£鸟为直径的圆交双曲线某条渐近线于“、N两点，

若/MAN=135°,则该双曲线的离心率为

答案：加

22.★★（2014河北衡水五调）已知双曲线J一二=1的左右焦点分别为耳、E，。为

双曲线的中心,P是双曲线右支上的点，工的内切圆的圆心为/,且圆/与x轴

相切于点A,过工作直线P/的垂线，垂足为8,若e为双曲线的离心率，贝1（）

A.\OB\=e\OA\B.\OA\=e\OB\C.\OB\^OA\D.|。4|与关系不确

答案：C

第四节：直线与圆锥曲线的位置关系

22o1

1.★★已知椭圆C:^+%*=l（a>b>0）的焦距为2衣，且过点&卞今.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知/:y=Ax-l,

是否存在k使得点A关于/的对称点B（不同于点A）在椭圆C上?

若存在求出此时直线/的方程，若不存在说明理由.

解：(I)—+y2=\

3

(H)法1：当％=°时，直线=点仇日,一$不在椭圆上；

131

当上。0时，可设直线M:y=——(%--)+-,即2工+26—3—2二0

k22

丫2

代入y+r=1整理得(4廿+12)/-4k(k+3)y+(Z+3)2-12=0

中斗，4k(k+3)

因为“为二许7

4严伏+3)12(%+3)

所以X|+尤2=(k+3)_(©]+62)=/+3—

4^+124^+12

若A,B关于直线/对称,

l/什〜i/6(Z+3)2Z(Z+3)、〜+八、,…

则其中点(A~~-，T——-)在直线y="-1上

4二+124严+12

所以2"+3)=6"+3)_],解得《=i

4k2+124k2+12

31

因为此时点4一,一)在直线/上，

22

所以对称点8与点4重合，不合题意

所以不存在k满足条件.

r2

法2：设AB:X=—6+M,代入椭圆方程、+产=1化简得

(左？+3)y2—2kmy+m2-3-0,

2hn叱…2k2m.6m

%+%=1r5所以小2-正/2"=门

3/nkm

若AB关于直线/对称，则其中点()在直线y=依-1上,

/+3'/2+3

km3km

所以-1,即2km=k2+3

k2+3k2+3

又74(—,—)在直线AB:x--ky+/n_h,

22

所以2机一左=3,

消加得(3+Q％=公+3,所以2=1

因为此时点A(3工与1在直线/上,

22

所以对称点8与点A重合，不合题意,

所以不存在k满足条件.

法3：由=可知直线/恒过点P(0,-1),

设点A关于/的对称点B坐标为(x0,y0),

因为点A,8关于/对称，所以|PA|=|P8|

ccQ

所以/2+(%+])-=5①

又5在椭圆上，所以孝■+%2=1②

33

而=5瓦=-5

联立①②解得2或2

1

%=7

因为3(±3,上1)与A点重合,舍,

22

31

因为与4关于x=0对称

所以不存在k满足条件.

2.★★设4,8是椭圆W:工+汇=1上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点

43

M(与点A,8不重合)，。为坐标原点.

(I)如果点M是椭圆”的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线的方程；

(II)设N为x轴上一点，且OM-QV=4,直线AN与椭圆历的另外一个交点为C,

证明：点B与点C关于x轴对称.

答案：椭圆”的右焦点为M(1,O),............1分

因为线段MB的中点在y轴上，

所以点B的横坐标为-1,

因为点8在椭圆灶,

3

将x=-l代入椭圆/的方程，得点B的坐标为(一1,土式).............3

2

所以直线48(即MB)的方程为3x-4y-3=0或3x+4y-3=0...........5

(H)证明：设点3关于x轴的对称点为耳(在椭圆/夕上)，

要证点B与点C关于x轴对称,

只要证点B｝与点C重合，.

又因为直线AN与椭圆（的交点为C（与点A不重合）,

所以只要证明点A,N,4三点共线.............7

以下给出证明：

由题意，设直线43的方程为丁=丘+加（攵。0）,A（%,y）,B（x2,y2）,则

-

4(W，'372>•

由(3x2+4/=12,

Iy=kx+m,

得(3+4A:2)x2+Skmx+4m2-12=0,9

所以A=(3km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

8km4M一12

…=一彳记’为”5中10

m

在y=^+m中，令y=0,得点M的坐标为（一~-,0）,

k

4〃

由OM・ON=4,得点N的坐标为(——,0),11

m

设直线M4,Ng的斜率分别为女叫，

4k4k

工2乂+XX——+玉%+%x——

则&VA-伟=~与彳一必mm12分

4k4k、,4l-

X+—%2-----(XH----)*2-----)

mmmm

4Z4k

因为9%+yx—+玉为+为x——

mm

=x(kx+加)+(3+m)x---FX](Zx)+加)+(您+〃2)x——

2lm~m

422

=2kxx+(根+---)(再+12)+84

i2m

2

4m-124公8km、o/

=2-(M^)+(r(一m)+8Z

8mlk-24k-8m1k-32A?+24%+32公

=0，

3+4-

所以^NA-=°，

所以点A,N,q三点共线，

即点B与点C关于x轴对称......14分

3.★★已知椭圆三+今=1的一个焦点为F（2,0）,且离心率为手.

（I）求椭圆方程；

（II）过点M（3,0）且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为C,

求面积的最大值.

答案：（I）依题意有c=2,£=《6.

a3

可得/=6,b2=2.

故椭圆方程为三+汇=1...................................5分

62

（II）直线/的方程为y=/x—3）.

y=k(x-3),

联立方程组，工22

——+-=1.

162

消去y并整理得(3公+1)%2-18公x+27公-6=0.(*)

设A(X］，M),B(x2,y2).

砧18^27女2-6

故…二门

不妨设玉＜%2，显然不工2均小于3.

则s,c=g,|2x|・（3—xj=|x|（3-xj，

S布=；・|2»（々-芭）=闻（々-不）.

SA~B§|^X|=&3「用（

=|矶9-3(%+x)+xx]=

212:F

/3网一

-赤F

等号成立时，可得々2=J_,此时方程(*)为2Y—6X+3=0,满足△＞().

3

所以AMBC面积S的最大值为晋.........................13分

4.★★已知椭圆E的两个焦点分别为(—1,())和(1,0),离心率e=、一.

2

(I)求椭圆£的方程；

(II)设直线/:y=x+m(m^O)与椭圆E交于4、3两点，线段AB的垂直平分

线交X轴于点T,当加变化时，求力48面积的最大值.

答案：(I)由已知椭圆的焦点在X轴上，c=\,,

a2

:.a=①,b=l,------2分

.・•椭圆E的方程为二+丁=1-----4分

2

y=x+m

(II)<九2,消去y得3%2+4/噂+2m2-2=()

—+y2=1

2

直线/与椭圆有两个交点，＞0,可得〃，＜3(*)------6分

设A(X”M),B(x2,y2)

4m2m2-2

2

&+龙2=---玉々=-------IAB|=—V6-2/7J

,弦长3,------8分

m

A3中点A/(——,设T(x,0),/.kAB=-1,/.—-----1=-1,

------x

3

mT(-^,0)|即=立=

x=---

33,3------11分

j0,r\IQQ

22

S=-\AB\\MT\=-J（6-2-2）m2=一l-2（m-1）+|

22

m<3,「.m=一2时,Siiidx=--3-，----14分

（或:S=；IA8||MT1="J（6—2加2）-2=|J（6—2个）返

2

6-2w+2trr2_

J（2123=垃

-9\29V23,

”="当且仅当机2=一时成立，5,“稣=^.（用其它解法相应给分）

2lllaA3

5.★★已知椭圆后的两个焦点分别为（一1,0）和（1,0）,离心率6二二一.

2

（I）求椭圆E1的方程；

（II）若直线I:y=kx+m（Z。0）与椭圆£|交于不同的两点AB,且线段AB

的垂直平分线过定点P（；,（）），求实数k的取值范围.

c

答案：（I）由已知椭圆的焦点在X轴上，c=l,,

a2

a=&,b-\,--------2分

v.2

椭圆E的方程为---1-y?=1--------4分

2

(II)<,消去y得(1+2公)％2+4幼优+2m2-2=0-------6分

直线/与椭圆有两个交点，>0,可得m2<1+242（*）--------8分

设A（%，x）,B（x2,y2）

-4km-2km

・••玉+九2=----21A8中点的横坐标飞=------

AB中点的纵坐标y0=Ax()+m=----10分

1+2左

4M〜2kmm、

A3的中点0(-----------r,——-r)

\+2k21+2公

设中垂线/'的方程为：y=—L(x--)

k2

_1-2k2

。在/'上，。点坐标代入/的方程可得机=――土（**）12分

2k

将加2＜1+2公（*）代入解得人＞也，或一也

22

・・.)lG(-O0,--)

2

6.★★★已知椭圆G的离心率为亚，其短轴两端点为A（0,1）,3（0,-1）.

2

（I）求椭圆G的方程；

（II）若c,。是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,5。与x轴分别交于点

M,N.判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由.

答案：

（I）由已知可设椭圆G的方程为：

22

二j=1（。＞1）・---------------------------------------------------1分

a~1

由6=^,可得

2

解得合=2,

------------------------------------------------3分

22

所以椭圆的标准方程为三+工=1.

2I

---------------------------------------------------------------------4分

(II)法一：

设C(x0,y0),且为尸0，则。(-%,%).

------------------------------------------------------------------5分

因为A(0,l),B(0,—1),

所以直线AC的方程为y=%」x+l.

%

------------------------------------------------------------------6分

令y=0,得"=~^，所以-------------------------------------7

%T%T

分

同理直线6。的方程为丫=为里x-l,求得N(二^,0).------------------------8分

~xo%+1

AM=(-,-l),AN=(户

1一%1+%

---------------------------------------9分

所以+------------