高考数学一轮复习(新教材新高考)第04讲三角函数的伸缩平移变换专项练习(学生版+解析)

第04讲三角函数的伸缩平移变换（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国甲卷理数，第10题,5分三角函数图象的综合应用求图象变化前(后)的解析式无2022年全国甲卷文数，第5题,5分由正弦(型)函数的奇偶性求参数求图象变化前(后)的解析式无2022年浙江卷，第6题,5分描述正(余)弦型函数图象的变换过程无2021年全国乙卷理数，第7题,5分求图象变化前(后)的解析式无2020年江苏卷，第10题,5分求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求图象变化前(后)的解析式无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考知识讲解三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下伸缩平移变换①先平移后伸缩向左平移个单位→，横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→②先伸缩后平移横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→，向左平移个单位→三角函数图象的变换常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．考点一、同名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（北京·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．（江苏·高考真题）为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）1．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．2．（四川·高考真题）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A． B．C． D．3．（天津·高考真题）把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A． B．C． D．考点二、异名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度1．（山东·高考真题）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位2．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2考点三、三角函数伸缩平移变换的综合应用1．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．3．（山东·高考真题）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A． B． C． D．4．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（

）A．函数是偶函数B．的图象关于点对称C．在上是增函数D．当时，函数的值域是6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．在上单调递减B．在上有2个零点C．的图象关于直线对称D．在上的值域为1．（天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到函数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（

）A． B． C． D．3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（

）A． B． C． D．【基础过关】一、单选题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．3．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（

）A． B． C． D．5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（

）A． B． C． D．6．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．17．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A．B．C．点是的一个对称中心D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称9．（2023·广东广州·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．是图象的一个对称中心C．当时，取得最大值D．函数在区间上单调递增【能力提升】一、单选题1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（

）

A．B．C．点为曲线的一个对称中心D．将曲线向右平移个单位长度得到曲线2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（

）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2二、多选题3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（

）A．的最大值为2B．是偶函数C．在上单调递增D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（

）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D．在区间上单调递增6．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D．若函数在区间上的值域为7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数的图像关于点中心对称，且在区间内恰有三个极值点，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间内有3个零点C．直线是曲线的对称轴D．将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数8．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象9．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知是的导函数（

）A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的C．的对称中心坐标是D．是的一条切线方程.三、填空题10．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则．【真题感知】1．（全国·高考真题）为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位2．（全国·高考真题）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于A． B． C． D．3．（天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则A． B． C． D．4．（全国·高考真题）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A． B． C． D．5．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2020·江苏·统考高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.7．（安徽·高考真题）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________.8．（全国·高考真题）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则=.

第04讲三角函数的伸缩平移变换（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国甲卷理数，第10题,5分三角函数图象的综合应用求图象变化前(后)的解析式无2022年全国甲卷文数，第5题,5分由正弦(型)函数的奇偶性求参数求图象变化前(后)的解析式无2022年浙江卷，第6题,5分描述正(余)弦型函数图象的变换过程无2021年全国乙卷理数，第7题,5分求图象变化前(后)的解析式无2020年江苏卷，第10题,5分求正弦(型)函数的对称轴及对称中心求图象变化前(后)的解析式无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考知识讲解三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下伸缩平移变换①先平移后伸缩向左平移个单位→，横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→②先伸缩后平移横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→，向左平移个单位→三角函数图象的变换常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．考点一、同名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（北京·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.

3．（江苏·高考真题）为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.【详解】记，变换后所得函数为，对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.1．（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.2．（四川·高考真题）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A． B．C． D．【答案】C【详解】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－);再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.3．（天津·高考真题）把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是A． B．C． D．【答案】C【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.【详解】向左平移个单位得：将横坐标缩短为原来的得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.考点二、异名三角函数伸缩平移变换的基本应用1．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】A【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】，将函数向左平移个长度单位，得到，故，解得，即向左平移个长度单位.故选：A2．（天津·高考真题）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】A【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动个单位长度，则函数为，于是选A.3．（全国·高考真题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.1．（山东·高考真题）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】用诱导公式化为同名函数，同时的系数不变，然后再由平移变换得结论．【详解】，∴只要把的图像向右平移个单位即得．故选：A．【点睛】本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量的系数），然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．2．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.考点三、三角函数伸缩平移变换的综合应用1．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.2．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：①的最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．3．（山东·高考真题）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A． B． C． D．【答案】B【详解】得到的偶函数解析式为，显然【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.4．（2023·浙江·校联考二模）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的解析式为，因为所得函数为奇函数，所以，则有，因为，所以，所以，，因为，所以，所以由，可得，所以，且，则，所以，故选:B.5．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（

）A．函数是偶函数B．的图象关于点对称C．在上是增函数D．当时，函数的值域是【答案】BD【分析】化简可得，进而根据已知求出，.根据图象变换可得.求出即可判断A项；代入检验，结合正弦函数的性质，即可判断B、C、D.【详解】因为.由可得，.由已知可得，，所以，.将函数的图象沿轴向左平移个单位，可得的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的的图象，所以.对于A项，因为，所以函数不是偶函数，故A项错误；对于B项，因为，所以的图象关于点对称，故B项正确；对于C项，因为，所以.因为函数在上单调递增，在上单调递减，故C项错误；对于D项，因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，，故D项正确.故选：BD.6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．在上单调递减B．在上有2个零点C．的图象关于直线对称D．在上的值域为【答案】BC【分析】由题意，由函数的图象变换规律，求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得到的图象；再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，时，，则在单调递减，在单调递增，故A错误；令，得，即，因为，所以，解得，因为，所以或，所以在上有2个零点，故B正确；因为，为的最大值，所以直线是的图象的一条对称轴，故C正确；当时，，，故D错误.故选：BC1．（天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到函数的图象，若存在，使得对任意恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的变换规则求出的解析式，依题意可得关于点对称，即可得到，，即可得解.【详解】将函数的图象上的点横坐标变为原来的（纵坐标变）得到，若存在，使得对任意恒成立，所以关于点对称，则，，解得，，因为，所以.故选：C3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）（多选）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可.【详解】因为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则，当时，，则，由得，可得，所以，，解得，故选：CD.【基础过关】一、单选题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C【分析】利用三角函数的平移法则求解即可.【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，故选：C.2．（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由图象平移变换得到，再由正弦函数的性质求出的单调递增区间.【详解】将的图象向右平移个单位长度后，得到，即的图象，令，，解得，，所以的单调递增区间为，.故选：C.3．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.【详解】向左平移，得，时，，在上单调递减，即，故.故选：C4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把的解析式化成的形式，然后根据平移求出解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出的对称中心，进而可得答案.【详解】，因为的图像向右平移个单位长度得函数的图像，所以，因为的对称中心为，所以当时，，即函数的对称中心为，当时，对称中心为.故选：A.5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出，，得到最小正值.【详解】，故图象向右平移个单位长度得到，又，令，，解得，，当时，取得最小正值，最小正值为.故选：A6．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据平移得到，最后求出的值.【详解】由图象可知，，得，所以，所以，，又因为在函数的图象上，所以，所以，，即，，又，所以，即.又在函数的图象上，所以，即，即.所以，所以.故选：D.7．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，当时，可以推导出函数为偶函数，而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A二、多选题8．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A．B．C．点是的一个对称中心D．函数的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称【答案】AC【分析】根据函数图象可得、，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析，再根据正弦函数的性质及三角函数的变换规则判断即可.【详解】由图可知，，所以，即，解得，所以，又，所以，解得，又，所以，所以，故A正确，B错误；，所以点是的一个对称中心，故C正确；将函数的图象向左平移个单位得到，显然函数不是偶函数，故D错误；故选：AC9．（2023·广东广州·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】，故A正确；函数的最小正周期为，故B正确；由，得，故C错误；由的图象向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：AB10．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（

）A．B．是图象的一个对称中心C．当时，取得最大值D．函数在区间上单调递增【答案】BD【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则，A错；对于B选项，，则是图象的一个对称中心，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，D对.故选：BD.【能力提升】一、单选题1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（

）

A．B．C．点为曲线的一个对称中心D．将曲线向右平移个单位长度得到曲线【答案】D【分析】由函数图象求出，将点的坐标代入求出可判断A；求出的解析式，求可判断B；令，求出，可判断C；由图象的平移变换可判断D.【详解】由图象知：，解得，将点的坐标代入得，由图象可知，点在的下降部分上，且，所以，所以A不正确；将点的坐标代入，得，即，所以，所以，所以B不正确；令，解得，取，则,所以对称中心为，所以C不正确；将曲线向右平移个单位长度得到曲线，所以D正确；故选：D.2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（

）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2【答案】C【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.【详解】曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.故选：C.二、多选题3．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（

）

A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到【答案】AC【分析】根据函数图象，求解参数，代入的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得，解得，故，由，所以，又，所以，所以，，对于A，因为，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以点不是函数的图象的对称中心，故B错误；对于C，由，得，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得，故D错误.故选：AC.4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数的图象关于对称，则（

）A．的最大值为2B．是偶函数C．在上单调递增D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称【答案】AB【分析】依题意可求出，从而可得，结合函数的图象性质逐一判断即可.【详解】因为函数的图象关于对称，所以，解得，所以，其最大值为2，故A正确；令，定义域为，，所以即是偶函数，故B正确；时，，在单调递增，在单调递减，故C错误；把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为，所以的图象不关于点对称，故D错误.故选：AB5．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（

）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D．在区间上单调递增【答案】ABC【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知，于是，于是，∴，又，∴，∴，对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；对于B，因为，所以将的图象向右平移个单位长度后得，则，所以不关于原点对称，故B错误；对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．故选：ABC．6．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D．若函数在区间上的值域为【答案】AB【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．【详解】由题意知，所以．对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；对于选项B，由，，得，，则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为，所以，所以，所以，即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB.7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数的图像关于点中心对称，且在区间内恰有三个极值点，则（

）A．在区间上单调递增B．在区间内有3个零点C．直线是曲线的对称轴D．将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数【答案】BC【分析】根据给定条件，求出的值并代入函数式，再结合三角函数的性质逐项分析判断作答.【详解】因函数的图象关于点中心对称，则，即，当时，，依题意，，解得，因此，，对于A，当时，，而正弦函数在上不单调，A不正确；对于B，当时，，则时，即函数在区间内有3个零点，B正确；对于C，因，即直线是曲线的对称轴，C正确；对于D，图象向左平移个单位，所得图象对应的函数，因为，所以函数不是奇函数，D不正确.故选：BC8．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象【答案】ACD【分析】根据相邻对称轴间的距离为，可得，可求，根据点是其中的一个对称中心及可求，从而可得的解析式，再逐项判断即可.【详解】因为函数图象相邻对称轴间的距离为，则，即，所以正确；因为，则，即，且点是对称中心，当时，，即，又，所以，即.令,解得，所以函数的对称轴为，所以错误；令,解得，函数的单调增区间为：，所以C正确；函数图象上所有