专题2-6 导数大题证明不等式归类（原卷版）

专题2-6导数大题证明不等式归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01不等式证明方法 1题型02单变量构造：利用第一问结论 2题型03单变量构造：数列型 3题型04数列不等式：无限和裂项型 4题型05数列不等式：累积相消型 5题型06数列不等式：取对数型 6题型07虚设根型证不等式 6题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式 7题型09同构型不等式证明 8题型10双变量型构造 9题型11极值点偏移型：和型证明 10题型12极值点偏移型：积型证明 11题型13极值点偏移型：平方型证明 12题型14三角函数型不等式证明 12题型15韦达定理代换型 13题型16切线放缩型证明 14高考练场 14题型01不等式证明方法【解题攻略】利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．【典例1-1】（陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学（理）试题）设函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【典例1-2】已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)求证：当时，.【变式1-1】（湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求a，b的值；(2)证明：．【变式1-2】（湖北省华中师范大学潜江附属中学2021-2022学年高三4月数学试题）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；(2)讨论f（x）的单调性.【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．题型02单变量构造：利用第一问结论【解题攻略】一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向1.可以利用第一问单调性提炼出不等式2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3.可以利用题干和第一问结论构造新函数（新不等式）【典例1-1】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)证明：.【典例1-2】（2021下·北京丰台·高三统考）已知函数在处有极值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：．【变式1-1】（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数，其中为自然对数的底数，曲线在处切线的倾斜角的正切值为．（1）求的值；（2）证明：．【变式1-2】（2022下·山东聊城·高三练习）已知函数.(1)讨论的单调性并求极值；(2)证明：当时，.【变式1-3】（20122安徽马鞍山·统考模拟）已知函数.(1)若在定义域内无极值点，求实数的取值范围；(2)求证：当时，恒成立.题型03单变量构造：数列型【解题攻略】数列型不等式证明对于n型数列不等式证明，可以转化为定义域为X1,在实数范围内证明不等式。一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为n的正整数属性，注意对应换元的取值范围数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)证明：；(2)讨论的单调性，并证明：当时，．【典例1-2】2012·河北衡水·统考一模）设函数,其中．(1)当时，在时取得极值，求；(2)当时，若在上单调递增，求的取值范围；(3)证明对任意的正整数,不等式都成立．【变式1-1】2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．求常数的值；当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；求证：．【变式1-2】（2023上·河南南阳·高三统考期中）（1）已知函数，判断函数的单调性并证明；（2）设为大于1的整数，证明：.【变式1-3】（2017下·黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数；(1)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；(2)当时，求函数在上的最值；(3)当时，对大于1的任意正整数，试比较与的大小关系．题型04数列不等式：无限和裂项型【解题攻略】证明不等式，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，即这样一来，设，则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.【典例1-1】（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数．(1)求函数的极值；(2)求证：．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)证明:．【变式1-1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知函数）.(1)讨论的单调性；(2)若时，，求实数的取值范围；(3)对任意，证明：.【变式1-2】（2023上·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.(1)若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：（为自然对数的底数）【变式1-3】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，．(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；(2)已知，，，，求证：；(3)证明：．题型05数列不等式：累积相消型【解题攻略】累加列项相消证明法证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型这样一来，设，则只需证，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如果能够证出恒成立，则原不等式也就成立.【典例1-1】（2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习）已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2(是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)求证：×…×<(n≥2，n∈N*)【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求的值；(2)证明：当且时，．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：

.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设整数，，且，函数．(1)求证：；(2)求证：．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；(2)求证：.题型06数列不等式：取对数型【解题攻略】取对数型证明不等式为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求证：当时，；(2)已知e为自然对数的底数，求证：，．【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，证明：．【变式1-1】（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，；(3)设为整数，若对于成立，求的最小值．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的函数（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，【变式1-3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数(1)若单调递增，求a的值；(2)判断（且）与的大小，并说明理由.题型07虚设根型证不等式【解题攻略】虚设零点法：涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决【典例1-1】已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【典例1-2】（20122·浙江·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．【变式1-1】（2023上·福建福州·高三校联考）设函数．(1)求时，的单调区间；(2)求证：当时，．【变式1-2】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，令，若为的极大值点，证明：.【变式1-3】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数,.(1)判断的单调性;(2)若,求证:,其中e是自然对数的底数.题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式【解题攻略】凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.【典例1-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.【典例1-2】已知函数．（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：．【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，证明：．【变式1-2】已知，（1）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：对一切，都有．【变式1-3】已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．（I）若f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝e（e为自然对数的底数），证明：当x＞0时，f（x）＜xex+．题型09同构型不等式证明【解题攻略】常见同构技巧：【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．【典例1-2】（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）已知函数，为自然对数的底数.(1)试判断函数的零点个数并说明理由；(2)证明：.【变式1-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设，，(1)试讨论的单调性；(2)当时，证明恒成立.【变式1-2】已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．题型10双变量型构造【典例1-1】（2022贵州黔东南·统考一模）已知函数.(1)试讨论函数的单调性；(2)对，且，证明：.【典例1-2】（2023上·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)已知m，n是正整数，且，证明．【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，试证明．【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知函数．（1）求证：函数在上单调递增；（2）设，求证：．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；（2）设，且，求证.题型11极值点偏移型：和型证明【解题攻略】极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数有两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．【典例1-2】（2023·山西·校考模拟预测）已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：.【变式1-1】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，且，证明：，且．【变式1-2】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．(1)求a的取值范围；(2)证明：．题型12极值点偏移型：积型证明【解题攻略】处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.【典例1-1】（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数.(1)若有唯一极值，求的取值范围；(2)当时，若，，求证：.【典例1-2】（2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考）已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若，求函数的最小值；(3)若有两个零点，，证明：.【变式1-1】（2023上·重庆渝中·高三统考）已知函数．(1)若函数是减函数，求的取值范围；(2)若有两个零点，且，证明：．【变式1-2】（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的零点个数.(2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明.题型13极值点偏移型：平方型证明【典例1-1】（2023下·辽宁·高三统考）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.【典例1-2】（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【变式1-1】（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点（），求证：.【变式1-2】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．题型14三角函数型不等式证明【解题攻略】利用导数证明三角函数型不等式正余弦的有界性三角函数与函数的重要放缩公式：.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)证明：；(2)当时，证明不等式，在上恒成立.【典例1-2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数．(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；(2)当时，对于任意，证明：．【变式1-1】（2022·新疆·统考三模）已知函数，(1)若在处的切线为，求实数a的值；(2)当，时，求证：【变式1-2】设函数，，.(1)求的最小值，并证明：；(2)若不等式：成立，求实数a的取值范围.题型15韦达定理代换型【解题攻略】利用韦达定理证明不等式1.题干条件大多数是与函数额极值x1，x2有关。2.利用韦达定理代换：可以消去参数【典例1-1】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.【典例1-2】已知函数f（x）＝lnx＋ax2－x.（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值；（2）设f′（x）为f（x）的导函数，若x1，x2是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x1）＋f（x2）<x1＋x2－5【变式1-1】已知函数，（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积．（2）是的导函数，若函数有两个极值点，且，求证：．【变式1-2】已知函数，（）．（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若，为的两个极值点，证明：．题型16切线放缩型证明【解题攻略】常用的切线放缩有：（1）；（2）；（3）；（4）.【典例1-1】(2023·青岛模拟改编)已知x1lnx1＝x2lnx2＝a，且x1<x2，求证：x2－x1<2a＋1＋e－2.求证：|a－b|<eq\f(\r(n,n1－n),lnn)t＋eq\r(n,n).【典例1-2】已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）且时，证明：曲线的图象恒在切线的上方；（3）证明：不等式：.【变式1-1】已知函数f(x)＝4ex－1＋ax2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx＋1.(1)求实数a，b的值；(2)x>0且x≠1时，证明：曲线y＝f(x)的图象恒在切线y＝bx＋1的上方；(3)证明不等式：4xex－1－x3－3x－2lnx≥0.【变式1-2】（2013·新课标II卷）已知函数①（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；（2）当时，证明：高考练场1.2021·福建莆田·统考二模）设函数．（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；（2）证明：当时，．2.2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.3.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程，(2)证明：.4.（2023·全国·高三专题练习）设函数是函数的导函数.(1)讨论的单调性；(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？(3)利用（2）中的不等式证明：.5.（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若函数在定义域内是单调增函数，求实数的取值范围；(2)求证：，．6.（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：恒成立；(2)当时，证明：．7.（2020·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）设是的导函数的零点，若，求证：.8.（天津市红桥区20