定积分的应用-毕业论文

学士学位论文BACHELOR’STHESISPAGE1编号学士学位论文定积分的应用学生姓名：艾麦提江·吾拉木江学号：20210101037系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2021-1班指导教师：热米拉·阿不都克依木完成日期：2021年4月日中文摘要定积分是一元函数积分学中的另一个基本概念，它是从大量的实际问题中抽象出来的在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，该论文主要讨论从几何问题物理问题出发叙述应用定积分解决各种问题的优越性。关键词：微元；体积；面积；参数方程；重心；旋转体；变化率为；22736中文摘要 120910引言 140521.定积分的应用 173101.1定积分在几何方面的应用 1304521.1.1微元法 1127391.1.2用定积分求平面图形的面积 2224641.2极坐标下平面图形的面积 713432.应用定积分求旋转体的体积 8302882.1平行截面积已知的立体体积. 8125712.1.1旋转体体积 9153653.定积分在物理上的应用 1356183.1重心 1377683.2变力做功 15286903.3电学上的应用 15291424.定积分在经济中的应用 168356总结 1727926参考文献 1823961致谢 19PAGE1引言定积分在数学，物理上有好多个应用比如：求曲边梯形的面积，旋转体的体积，物体的重心，变力做功，转动惯量等等，为什么把这些问题应用定积分来计算？答案是很简单这些问题都与求和有关系，但是求和没那么容易事所以必须用定积分这工具来解决。1.定积分的应用定积分在几何，物理及经济上有广泛的应用。首先我们介绍以下定积分这个概念。定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若>0，>0，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要<，就有<，则称函数在区间上可积或数称为在上的定积分，记作下面我们介绍以下定积分若干方面的应用。1.1定积分在几何方面的应用我们用什么样的方法把定积分应用在几何方面的问题？我们引入微元法这一概念。1.1.1微元法以曲边梯形面积为列，如图曲边梯形选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间在区间上任取一个小区间并记为。图1-1以点处的函数值为高，以为底的矩形面积作为其中称为面积微元，记为于是面积为1.1.2用定积分求平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积。设函数在上连续求由曲线及直线（<)所围成图形的面积。分析：在上任取小区间设此小区间上的面积为，它近似于高为底为的小矩形面积，如图1-2所示，从而的面积微元为以为被积表达式，在区间作定积分图1-2就是所求图形的面积在这个公式中无论曲线在轴的上方与下方都成立，只要在下方即可。例求由曲线所围成平面图形的面积。分析：先对曲线进行分析，显然曲线有无穷多个零点。且。时，我们可以画出草图如图1-3.进一步分析可知：时，，时，. 图1-3所求面积解：由于可得求由曲线及直线所围成图形面积在区间上任取小区间，设此小区间上的面积为，则近似于高为，低为的小矩形面积，从而得面积微元于是所求面积为。例2．求由叁数方程所围成图形的面积，分析：对参数方程所围图形，与直角坐标图形相似，必须讨论其所给曲线的几何特征，尔后确定积分变量被积函数及积分区间。解：函数为周期（针对变量t而言）函数，因而在直角坐标系中只须考虑0≤t≤2范围内的叁数方程即可，原方程可变形为，0≤t≤2.时，，↗，↗此时，曲线单升，至最右点为。时，↘，↗，曲线至最左点为，↘，↘，曲线至最左点为.，↗，↘，曲线至最低点为，↗，↗，曲线至点，，↘，↗，曲线至点图象如图1-4所示 图1-41.2极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程在上连续，且，求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积如图1-3所示，在区间上任取一个小区间设此小区间上曲边扇形的面积，则近似于半径为中心角为的扇形面积，从而得到面积微元为可得面积为例1..利用定积分求曲线围成面积。解：如图4-18，阴影部分即为所求面积曲线，故所求面积为例2.计算阿基米德螺线上对应于从0变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积。面积微元为于是所求面积为 图1-5图1-52.应用定积分求旋转体的体积2.1平行截面积已知的立体体积.设有一立体价于过点圆垂直于轴的两平面之间如图所示，求此立体的体积.如图价于与之间的薄片的体积近似等于地面面积为高为的扁柱体的体积，即体积微元为图2-1图2-1于是所求的体积为即对截面积从到求积分。zzbx0aybx0ayxx图2-2图2-22.1.1旋转体体积设及所围图形绕轴旋转，如图2-2所示。求所得旋转体的体积，选取为积分变量其变化区间为过点做垂直于轴的平面，截的旋转体截面是半径为的圆，其截面积为从而所求旋转体的体积例1.求绕极轴把面积≤≤旋转而成的旋转体的体积。分析：分析所给面积(≤)确定被积函数及积分上下限，是圆，观察曲线：图2-3,,图2-3则≤,即曲线在以为半径的圆内，定义域为0≤≤或≤≤0≤≤,≤≤在第一第三象限内有定义，由对称性只求第一象限情况下的体积。，时，取最大值。这样，我们基本上掌握了极坐标系下的曲线的基本形状。曲线，与的交点在第一象限内为所求体积，便是如图2-3中阴影部分绕极轴旋转而得的立体体积。根据结论，我们便有为此，需求不定积分令，则即而令，则上述积分可得可得于是，可得例2设函数在上有连续导数，那么曲线及直线所围曲边梯形绕直线旋转所成立体体积等于什么？设为曲线上任意点，曲线在点处的切线为过点作直线的垂线为，即应用定积分的元素法，考虑子区间，设相应于的曲线弧段在直线上的投影长为则当子区图10-15图10-15间的长度充分小时，如图10-15所示，取切线上对应于右端点的点到垂线的距离（在此不妨假设）而点到直线的距离为从而得取积分3.定积分在物理上的应用定积分在物理上有好多个应用比如：求物体的重心，变力做功，转动惯量等等。3.1重心如果平面上有n个质点，它们的质量分别为位置分别为那未这一组点的重心的坐标，可用下列公式求出：﹙1﹚﹙2﹚我们已经知道了求平面薄板的重心坐标公式但是用这个公式求出重心没那么容易，我们解决的是求和问题，可能脑子里出现是否用定积分来计算，我们进一步讨论以下：设具有质量的平面薄板是由曲线，直线和轴所围成的曲边梯形，又设此平面薄板的面密度为常数设把区间分成n个小区间，则整个平面被分成n个小窄条取其中处宽为的小狭条,这个窄条的质量可近似地看作均匀分布在线段上而在该线段均匀分布的质量又可以看作集中于的中点处,于是这个窄条可以用质量为的质点来近似地代替,而整个图形就用个质因小条的质量称质量微元,而点的横坐标是,纵坐标是图3-1图3-1故质点对轴及轴的静力矩是则平面薄板对轴及轴的静力矩为又这整个平面薄板的总质量等于密度与面积的乘积，而面积，故得整个平面薄板的中心为如平面图形是及直线所谓成，假设在区间内则同理可得此平面图形的中心为3.2变力做功下面我们讨论一下变力做功设某物体在力的作用下沿着轴运动力平行于轴并在轴上不同的点处取不同的值，即力是的函数.我们要求物体在这个变力的作用下，由轴上的一点移动到另一点时变力所做的功图3-2（图3-2）由力学知，物体受恒力产生位移，所做的功为功=力距离（等速）故当物体由移动到时，所做的功近似地为（为功微元）在上所做的功就是图3-23.3电学上的应用我们学过电流在单位时间所做的功称为电流的功率，即，由于交流电流随时间在不断变化，因而所求的功是一个非均匀分布的量，我们必须用定积分来计算。交流电流在不断的变化，但是很短的时间隔内可以近似地认为是不变的，因而在时间内对以不变代变，就可求得功局部量的近似值，即功微元在一个周期内消耗的功为因此交流电的平均功率的计算公式是：4.定积分在经济中的应用定积分在经济中也有用处比如设是经济量的函数（生产函数，成本函数，总收益函数等）则导数成为的边际函数或变化率，在经济管理中，可以利用和分法，根据边际函数，求出总函数或总函数在区间上的改变量（1）如已知其产品总产量的变化率为则从时间到该产品的总产量（2）设某产品总产量，如已知其产品成本对产量的变化率为，则产量从到总成本为（3）如某商品收益的变化率为已知时则销售个单位的商品的收益为例1设某产品生产个单位，总收益的变化率为（≥0）﹙1﹚生产40个单位产品时的总收益。﹙2﹚求从生产40个单位产品到60个单位产品时的总收益。解：（1）生产40个单位产品时的总收益为（单位）（2）从产量增加到60时的总收益为：（单位）总结我们已经参阅了定积分的若干应用；主要介绍了把定积分这个工具怎样应用实际问题的方法，也就是求出复杂图形的面积，种种立体的体积，，交流电流所做的功，求物体重心；虽然该论文未全面地叙述定积分的应用但是基本上能为读者提供了定积分应用的优越性。参考文献[1]/jpkc/2021jjsx/pajes/doc/w[2]高等数学-第一册：物理类/文丽，吴良大编-北京：北京大学出版社，2021.9重印ISBN7-301-00700-0,471页～480页，494～495.504～510.[3]数学分析名师导学.上册/《大学数学名师导学丛书》编写组编；北京：中国水利水电出版社。2021-ISBN7-5084-2253-8，332～335,340～343.致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高.在热米拉老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么继续，怎样结束.非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在她们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致敬礼艾麦提江·吾拉木江2021年月日

咖啡店创业计划书第一部分：背景在中国，人们越来越爱喝咖啡。随之而来的咖啡文化充满生活的每个时刻。无论在家里、还是在办公室或各种社交场合，人们都在品着咖啡。咖啡逐渐与时尚、现代生活联系在一齐。遍布各地的咖啡屋成为人们交谈、听音乐、休息的好地方，咖啡丰富着我们的生活，也缩短了你我之间的距离，咖啡逐渐发展为一种文化。随着咖啡这一有着悠久历史饮品的广为人知，咖啡正在被越来越多的中国人所理解。第二部分：项目介绍第三部分：创业优势目前大学校园的这片市场还是空白，竞争压力小。而且前期投资也不是很高，此刻国家鼓励大学生毕业后自主创业，有一系列的优惠政策以及贷款支持。再者大学生往往对未来充满期望，他们有着年轻的血液、蓬勃的朝气，以及初生牛犊不怕虎的精神，而这些都是一个创业者就应具备的素质。大学生在学校里学到了很多理论性的东西，有着较高层次的技术优势，现代大学生有创新精神，有对传统观念和传统行业挑战的信心和欲望，而这种创新精神也往往造就了大学生创业的动力源泉，成为成功创业的精神基础。大学生创业的最大好处在于能提高自己的潜力、增长经验，以及学以致用;最大的诱人之处是透过成功创业，能够实现自己的理想，证明自己的价值。第四部分：预算1、咖啡店店面费用咖啡店店面是租赁建筑物。与建筑物业主经过协商，以合同形式达成房屋租赁协议。协议资料包括房屋地址、面积、结构、使用年限、租赁费用、支付费用方法等。租赁的优点是投资少、回收期限短。预算10-15平米店面，启动费用大约在9-12万元。2、装修设计费用咖啡店的满座率、桌面的周转率以及气候、节日等因素对收益影响较大。咖啡馆的消费却相对较高，主要针对的也是学生人群，咖啡店布局、格调及采用何种材料和咖啡店效果图、平面图、施工图的设计费用，大约6000元左右3、装修、装饰费用具体费用包括以下几种。(1)外墙装饰费用。包括招牌、墙面、装饰费用。(2)店内装修费用。包括天花板、油漆、装饰费用，木工、等费用。(3)其他装修材料的费用。玻璃、地板、灯具、人工费用也应计算在内。整体预算按标准装修费用为360元/平米，装修费用共360*15=5400元。4、设备设施购买费用具体设备主要有以下种类。(1)沙发、桌、椅、货架。共计2250元(2)音响系统。共计450(3)吧台所用的烹饪设备、储存设备、洗涤设备、加工保温设备。共计600(4)产品制造使用所需的吧台、咖啡杯、冲茶器、各种小碟等。共计300净水机，采用美的品牌，这种净水器每一天能生产12l纯净水，每一天销售咖啡及其他饮料100至200杯，价格大约在人民币1200元上下。咖啡机，咖啡机选取的是电控半自动咖啡机，咖啡机的报价此刻就应在人民币350元左右，加上另外的附件也不会超过1200元。磨豆机，价格在330―480元之间。冰砂机，价格大约是400元一台，有点要说明的是，最好是买两台，不然夏天也许会不够用。制冰机，从制冰量上来说，一般是要留有富余。款制冰机每一天的制冰量是12kg。价格稍高550元，质量较好，所以能够用很多年，这么算来也是比较合算的。5、首次备货费用包括购买常用物品及低值易耗品，吧台用各种咖啡豆、奶、茶、水果、冰淇淋等的费用。大约1000元6、开业费用开业费用主要包括以下几种。(1)营业执照办理费、登记费、保险费;预计3000元(2)营销广告费用;预计450元7、周转金开业初期，咖啡店要准备必须量的流动资金，主要用于咖啡店开业初期的正常运营。预计2000元共计： 120000+6000+5400+2250+450+600+300+1200+1200+480+400+550+1000+3000+450+2000=145280元第五部分：发展计划1、营业额计划那里的营业额是指咖啡店日常营业收入的多少。在拟定营业额目标时，必须要依据目前市场的状况，再思考到咖啡店的经营方向以及当前的物价情形，予以综合衡量。按照目前流动人口以及人们对咖啡的喜好预计每一天的营业额为400-800，根据淡旺季的不同可能上下浮动2、采购计划依据拟订的商品计划，实际展开采购作业时，为使采购资金得到有效运用以及商品构成达成平衡，务必针对设定的商品资料排定采购计划。透过营业额计划、商品计划与采购计划的确立，我们不难了解，一家咖啡店为了营业目标的达成，同时有效地完成商品构成与灵活地运用采购资金，各项基本的计划是不可或缺的。当一家咖啡店设定了营业计划、商品计划及采购计划之后，即可依照设定的采购金额进行商品的采购。经过进货手续检验、标价之后，即可写在菜单上。之后务必思考的事情，就是如何有效地将这些商品销售出去。3、人员计划为了到达设定的经营目标，经营者务必对人员的任用与工作的分派有一个明确的计划。有效利用人力资源，开展人员培训，都是我们务必思考的。4、经费计划经营经费的分派是管理的重点工作。通常能够将咖啡店经营经费分为人事类费用(薪资、伙食费、奖金等)、设备类费用(修缮费、折旧、租金等)、维持类费用(水电费、消耗品费、事务费、杂费等)和营业类费用(广告宣传费、包装费、营业税等)。还能够依其性质划分成固定费用与变动费用。我们要针对过去的实际业绩设定可能增加的经费幅度。5、财务计划财务计划中的损益计划最能反映全店的经营成果。咖啡店经营者在营运资金的收支上要进行控制，以便做到经营资金合理的调派与运用。总之，以上所列的六项基本计划(营业额、商品采购、销售促进、人员、经费、财务)是咖啡店管理不可或缺的。当然，有一些咖啡店为求管理上更深入，也能够配合工作实际需要制订一些其他辅助性计划。第六部分：市场分析2019-2021年中国咖啡市场经历了高速增长的阶段，在此期间咖啡市场总体销售的复合增长率到达了17%;高速增长的市场为咖啡生产企业带给了广阔的市场空间，国外咖啡生产企业如雀巢、卡夫、ucc等企业纷纷加大了在中国的投资力度，为争取未来中国咖啡市场的领先地位打下了良好的基础。咖啡饮料主要是指速溶咖啡和灌装即饮咖啡两大类咖啡饮品;在速溶咖啡方面，2018-2021年间中国速溶咖啡市场规模年均增长率到达16%，显示出还处于成长阶段的中国速溶咖啡市场的高增长性和投资空间;在灌装即饮咖啡方面，2008-2010年间中国灌装即饮咖啡市场年均增长率也同样到达15%;未来几年，中国咖啡饮料的前景仍将被看好。现今咖啡店主要是以连